ریاضی اور تھیوریٹیکل کمپیوٹر سائنس میں دس اہم پیش رفتیں

ہم سائنس دانوں اور ریاضی دانوں کو ایسے آلات فراہم کرنا چاہتے ہیں جو دریافتوں کی رفتار بڑھائیں. اسی لیے ہم نے حال ہی میں ChatGPT for Academic Researchers⁠ کا اعلان کیا, جو 100,000 سائنس دانوں اور ریاضی دانوں کو ہمارے بہترین ChatGPT ماڈلز تک مفت رسائی فراہم کرنے کی ایک پہل ہے. ہم تیاری کے دوران اپنے ماڈلز کو تحقیق کے غیر حل شدہ مسائل پر بھی اپنے ماڈلز کا مسلسل جائزہ لیتے رہتے ہیں.

مئی میں ہم نے ایک غیر ریلیز شدہ ماڈل کا جائزہ لیتے ہوئے دریافت ہونے والی AI کے ذریعے بنائی گئی تردید⁠ شیئر کی, جو Erdős unit-distance conjecture کی تردید پر مبنی تھی. اس کام نے پہلے ہی ریاضی اور تھیوریٹیکل کمپیوٹر سائنس میں مزید پیش رفت کی راہ ہموار کی ہے¹. آج ہم دس نتائج کا ایک منتخب مجموعہ شیئر کر رہے ہیں, جن میں سے ہر نتیجہ کسی دیرینہ حل طلب مسئلے کو حل کرتا ہے یا اس پر نمایاں پیش رفت کرتا ہے. یہ مسائل ہائی ڈائمنشنل جیومیٹری, کوڈنگ تھیوری, اریتھمیٹک سرکٹ کمپلیکسٹی, گروپ تھیوری, آپریٹر الجبراز, کوانٹم کمپلیکسٹی, لیٹس کرپٹوگرافی, اور ایکسٹریمل کومبینیٹورکس جیسے شعبوں پر مشتمل ہیں. یہ تمام مسائل اپنی متعلقہ ریاضیاتی برادریوں کے لیے خاصی اہمیت رکھتے ہیں, جبکہ کئی مسائل مجموعی طور پر پوری ریاضی کے لیے وسیع اہمیت کے حامل ہیں.

ہم درج ذیل مسائل کے لیے نئے نتائج پیش کر رہے ہیں. یہ نتائج Astra کے ایک داخلی ورژن کے ذریعے حاصل کیے گئے, جو ہمارا اگلا بڑا ماڈل ہے. ان مسائل کے حل تلاش کرنے کے لیے درکار ٹوکنز کی مجموعی تعداد کی لاگت Sol API کی شرحوں کے مطابق تقریباً $2,000 بنتی. بعد ازاں انہی نتائج کو اسی ماڈل کی مدد سے انسانوں نے تحقیقی مسودوں کی شکل دی. اس کے بعد ماڈل نے ہر استدلال کو ایک Lean certificate⁠(نئی ونڈو میں کھلتا ہے) میں باضابطہ شکل دی. ہم ہر حل کے ساتھ ماڈل کے اپنے سوچنے کے عمل کی وضاحت بھی جاری کر رہے ہیں.

1. ہائی ڈائمنشنل اسفیئر پیکنگ. کرہ بندی کی کثافت کے لیے Cohn–Elkies تھریشولڈ تک نئی بالائی حدود.
2. بائنری اور اسفیریکل کوڈز: کسی بھی مقررہ کم از کم فاصلے پر بائنری کوڈز کے زیادہ سے زیادہ سائز کے لیے حدوں میں نمایاں بہتری, اور ہائی ڈائمنشنل اسفیریکل کوڈز کے لیے بھی اسی نوعیت کے نتائج.
3. نان سوفک گروپس. ایک ایسی تشکیل جو نان سوفک گروپس کا وجود ثابت کرتی ہے اور گروپ تھیوری کے ایک بنیادی حل طلب سوال سے متعلق نمایاں پیش رفت پیش کرتی ہے.
4. کونز کا قیاسِ صلابت. ایک دیرینہ مفروضے کی تردید, جس کے مطابق بعض گروہ اپنے von Neumann algebras سے منفرد طور پر متعین ہوتے ہیں.
5. حسابی سرکٹ کی پیچیدگی. حسابی سرکٹس اور کلیوں کے ذریعے پرمیننٹ کا حساب لگانے کے لیے نئی زیریں حدود, جن میں n⁴/log n مرتبے کی حسابی کلی کی زیریں حد بھی شامل ہے.
6. کوانٹمی متوازی تکرار. دو کھلاڑیوں والے عمومی کوانٹمی کھیلوں کے لیے ایکسپونینشل متوازی تکرار کا قضیہ, جو کلاسیکی نظریۂ پیچیدگی کے ایک بنیادی اصول کو وسعت دیتا ہے.
7. کلوسیسٹ ویکٹر پرابلم. کلوسیسٹ ویکٹر پرابلم کے لیے تقریب کے حوالے سے پولینومیئل فیکٹر کی سختی, جو پوسٹ کوانٹم کرپٹوگرافی سے متعلق لیٹس کا ایک بنیادی مسئلہ ہے.
8. ایرہارٹ کا حجم کا قیاس. ہر جہت میں ایسے محدب جسم کے زیادہ سے زیادہ ممکنہ حجم کا تعین جس کا مرکزِ ثقل اس کے اندر موجود جالی کا واحد نقطہ ہو.
9. ملٹی کلر ریمزی نمبرز. ملٹی کلر ٹرائینگل ریمزی نمبرز کے لیے ایک سپرایکسپونینشل نچلی حد, جو Erdős پرابلم 183 کو حل کرتی ہے.
10. ایکسٹریمل نمبر کانجیکچرز. ایکسٹریمل گراف تھیوری میں compactness conjecture اور degeneracy conjecture سے متعلق نتائج, جو Erdős پرابلمز 146 اور 180 کو حل کرتے ہیں.

ریاضیاتی تحقیق میں حصہ ڈالنے کے قابل نظاموں کا ظہور ایسے سوالات اٹھاتا ہے جن کے جواب کوئی ٹیکنالوجی کمپنی تنہا نہیں دے سکتی. ریاضی میں AI کے کردار کے بارے میں مختلف نقطۂ نظر موجود ہیں، اور ہم اس کے اثرات پر تشویش رکھنے والوں کے مؤقف کا گہرا احترام اور ادراک رکھتے ہیں، جن میں Leiden declaration on AI and Mathematics⁠(نئی ونڈو میں کھلتا ہے) کے دستخط کنندگان بھی شامل ہیں. ہمارا ماننا ہے کہ انتساب میں دیانت داری سے یہ ظاہر ہونا چاہیے کہ کوئی نتیجہ کیسے حاصل ہوا. مکمل طور پر کسی AI نظام کے تیار کردہ ثبوت کو انسانی تصنیف قرار دینا، اس نظام کی شراکت اور حقیقی انسانی فکری کام کی نوعیت، دونوں کی غلط ترجمانی ہوگی. ہم نے مسودے تیار کرنے اور ثبوتوں کو Lean میں باضابطہ شکل دینے میں مدد کی، اور ہم ان کی صحت کی ذمہ داری قبول کرتے ہیں، جبکہ خود ریاضیاتی استدلال ہمارے نظام نے تیار کیے تھے. ہمیں امید ہے کہ ریاضیاتی برادری ان نتائج پر گہرائی سے غور کرے گی، انہیں مناسب تناظر میں رکھے گی، اور نئی تحقیق و دریافت کے ذریعے ان کے پسِ منظر میں موجود خیالات کو آگے بڑھائے گی.

جب مصنوعی ذہانت کے نظام زیادہ ترقی یافتہ تحقیقی معاون بنتے جا رہے ہیں, تو وسیع رسائی یقینی بنانا سائنس دانوں اور ریاضی دانوں کی مدد کے لیے بنیادی اہمیت رکھتا ہے, تاکہ وہ اس انقلابی دور میں اپنے شعبوں کے مستقبل کی راہ متعین کر سکیں.