OpenAI کے ایک ماڈل نے ڈسکریٹ جیومیٹری کے ایک مرکزی قیاس کو غلط ثابت کر دیا ہے

تقریباً 80 برس سے، ریاضی دان ایک بظاہر سادہ سوال کا مطالعہ کر رہے ہیں: اگر آپ سطح میں $n$ نقاط رکھیں، تو کتنے جوڑے نقاط کے درمیان بالکل $1$ کا فاصلہ ہو سکتا ہے؟

یہ مستوی اکائی فاصلے کا مسئلہ ہے، جسے پہلی بار پال ایرڈوش نے 1946 میں پیش کیا تھا۔ یہ امتزاجی جیومیٹری کے سب سے معروف سوالات میں سے ایک ہے، بیان کرنے میں آسان اور حل کرنے میں غیر معمولی طور پر مشکل۔ 2005 کی کتاب Research Problems in Discrete Geometry، از Brass، Moser، اور Pach، اسے “ممکنہ طور پر امتزاجی جیومیٹری کا سب سے معروف (اور سمجھانے میں سب سے آسان) مسئلہ” کہتی ہے۔ پرنسٹن کے سرکردہ ترکیبیات دان نوگا ایلون اسے “ایردوش کے پسندیدہ مسائل میں سے ایک” قرار دیتے ہیں۔ ایرڈوش نے تو اس مسئلے کو حل کرنے پر نقد انعام بھی پیش کیا تھا۔

آج ہم یونٹ فاصلے کے مسئلے میں ایک بڑی پیش رفت شیئر کر رہے ہیں۔ ایرڈوش کے اصل کام کے بعد سے، غالب خیال یہ رہا ہے کہ نیچے مزید دکھائی گئی “مربع گرڈ” تعمیرات، یونٹ فاصلے والے جوڑوں کی تعداد زیادہ سے زیادہ کرنے کے لیے بنیادی طور پر بہترین تھیں۔ OpenAI کے ایک داخلی ماڈل نے اس دیرینہ قیاس کو غلط ثابت کر دیا ہے، اور مثالوں کا ایک لامتناہی خاندان فراہم کیا ہے جو کثیر رقمی بہتری دیتا ہے۔ اس ثبوت کو بیرونی ریاضی دانوں کے ایک گروہ نے جانچا ہے۔ انہوں نے ایک ساتھ دیا گیا مقالہ بھی لکھا ہے جو استدلال کی وضاحت کرتا ہے اور نتیجے کی اہمیت کے لیے مزید پس منظر اور سیاق فراہم کرتا ہے۔

یہ نتیجہ اس وجہ سے بھی قابلِ ذکر ہے کہ یہ کیسے حاصل ہوا۔ یہ ثبوت ایک نئے عمومی مقصد کے ریزننگ ماڈل سے آیا، نہ کہ ایسے نظام سے جسے خاص طور پر ریاضی کے لیے تربیت دی گئی ہو، ثبوتی حکمتِ عملیوں میں تلاش کے لیے scaffold کیا گیا ہو، یا خاص طور پر یونٹ فاصلے کے مسئلے کو ہدف بنایا گیا ہو۔ اس وسیع تر کوشش کے حصے کے طور پر کہ آیا جدید ماڈلز سرحدی تحقیق میں حصہ ڈال سکتے ہیں، ہم نے اسے ایرڈوش کے مسائل کے ایک مجموعے پر جانچا۔ اس معاملے میں، اس نے ایک ایسا ثبوت پیدا کیا جس نے اس کھلے مسئلے کو حل کر دیا۔

یہ ثبوت ریاضی اور AI برادریوں کے لیے ایک اہم سنگ میل ہے۔ یہ پہلی بار ہے کہ ریاضی کی ایک ذیلی شاخ کے مرکز میں موجود ایک نمایاں کھلا مسئلہ AI نے خود مختار طور پر حل کیا ہے۔ یہ اس ریزننگ کی گہرائی بھی دکھاتا ہے جس کی یہ نظام اب حمایت کرتے ہیں۔ ریاضی ریزننگ کے لیے خاص طور پر واضح آزمائشی میدان فراہم کرتی ہے: مسائل دقیق ہوتے ہیں، ممکنہ ثبوت جانچے جا سکتے ہیں، اور ایک طویل استدلال تبھی کام کرتا ہے جب ریزننگ ابتدا سے انتہا تک مربوط رہے۔ جس طریقے سے یہ مسئلہ حل ہوا، وہ بھی قابلِ ذکر ہے۔ یہ ثبوت الجبری عددی نظریے سے غیر متوقع اور نفیس خیالات کو ایک ابتدائی جیومیٹری سوال پر لاگو کرتا ہے۔

فیلڈز میڈلسٹ Tim Gowers نے، ساتھ دیے گئے مقالے میں لکھتے ہوئے، اس نتیجے کو “AI ریاضی میں ایک سنگ میل” کہا ہے۔ ممتاز عددی نظریہ دان Arul Shankar کے مطابق، “میری رائے میں یہ مقالہ دکھاتا ہے کہ موجودہ AI ماڈلز صرف انسانی ریاضی دانوں کے مددگار ہونے سے آگے بڑھ چکے ہیں – وہ اصل ذہین خیالات پیدا کرنے، اور پھر انہیں کامیابی تک پہنچانے کی صلاحیت رکھتے ہیں”۔

ثبوت یہاں⁠(نئی ونڈو میں کھلتا ہے) دستیاب ہے۔ نمایاں بیرونی ریاضی دانوں کا ساتھ دیا گیا مقالہ یہاں⁠(نئی ونڈو میں کھلتا ہے) دستیاب ہے۔ آپ ماڈل کی chain of thought کا مختصر نسخہ یہاں⁠(نئی ونڈو میں کھلتا ہے) دیکھ سکتے ہیں۔

فرض کریں $u(n)$ سطح میں $n$ نقاط کے درمیان یونٹ فاصلے والے جوڑوں کی ممکنہ سب سے بڑی تعداد ہو۔ خطی نمو کی شرح حاصل کرنے والی مثالیں بنانا آسان ہے: $n$ نقاط کو ایک لکیر میں رکھنے سے $n-1$ جوڑے ملتے ہیں، جبکہ مربع گرڈ تقریباً $2n$ جوڑے دیتا ہے۔ پہلے سے معروف بہترین تعمیر، جو دوبارہ پیمانہ بند مربع گرڈ سے آتی ہے، دراصل اس سے بھی زیادہ دیتی ہے: $n^{1 + C / \log \log(n)}$، جہاں $C$ ایک مستقل ہے۔ چونکہ $\log \log(n)$، $n$ کے ساتھ لامتناہی کی طرف بڑھتا ہے، اس لیے اس میں اضافی حد $0$ کی طرف جاتی ہے، یعنی یہ تعمیرات صرف خطی سے ذرا تیز نمو حاصل کرتی ہیں۔ دہائیوں تک وسیع طور پر یہ مانا جاتا رہا کہ یہ شرح بنیادی طور پر ممکنہ بہترین ہے، اور کوئی بھی تعمیر مربع گرڈ پر نمایاں بہتری نہیں لا سکتی۔ تکنیکی اصطلاح میں، ایرڈوش نے $n^{1+o(1)}$ کی ایک بالائی حد کا قیاس کیا تھا، جس میں اضافی $o(1)$ ایسی حد کو ظاہر کرتا ہے جو $n$ کے ساتھ $0$ کی طرف جاتی ہے۔

ہمارا نیا نتیجہ اس قیاس کو غلط ثابت کرتا ہے۔ مزید واضح طور پر، $n$ کی لامتناہی بہت سی قدروں کے لیے، ثبوت $n$ نقاط کی ایسی ترتیبیں بناتا ہے جن میں کم از کم $n^{1+\delta}$ یونٹ فاصلے والے جوڑے ہوں، کسی مقررہ قوت نما $\delta > 0$ کے لیے۔ (اصل AI ثبوت کوئی صریح $\delta$ نہیں دیتا، لیکن پرنسٹن کے ریاضی کے پروفیسر Will Sawin کی آئندہ اصلاح نے دکھایا ہے کہ $\delta=0.014$ لیا جا سکتا ہے۔)

مسئلے کا پس منظر یہ سمجھنے میں مدد دیتا ہے کہ نتیجہ حیران کن کیوں ہے۔ معروف بہترین زیریں حد، ایرڈوش کی 1946 کی اصل تعمیر کے بعد سے، بنیادی طور پر غیر تبدیل شدہ رہی تھی۔ معروف بہترین بالائی حد، $O(n^{4/3})$، 1984 میں Spencer، Szemerédi، اور Trotter کے کام سے آتی ہے، اور بعد کی اصلاحات اور متعلقہ ساختی کام، جو Székely، Katz and Silier، Pach، Raz، اور Solymosi اور دیگر نے کیا، کے باوجود یہ بالائی حد بنیادی طور پر غیر تبدیل شدہ رہی ہے۔ قیاس کے حق میں ثبوت کے طور پر، Matoušek اور Alon-Bucić-Sauermann نے سطح میں غیر اقلیدسی فاصلوں کے ساتھ اس مسئلے کا مطالعہ کیا، اور ثابت کیا کہ ان غیر اقلیدسی فاصلوں میں سے "زیادہ تر" کسی نہ کسی معنی میں اس قیاس کی پیروی کرتے ہیں۔

حیرت انگیز طور پر، اس تعمیر کے کلیدی اجزا ریاضی کے ایک بالکل مختلف حصے سے آتے ہیں جسے الجبری عددی نظریہ کہا جاتا ہے، جو ایسے تصورات کا مطالعہ کرتا ہے جیسے صحیح اعداد کی توسیعات میں تجزیہ، جنہیں الجبری عددی میدان کہا جاتا ہے۔

اعلیٰ سطح پر، ثبوت ایک مانوس جیومیٹری خیال سے شروع ہوتا ہے اور اسے ایک غیر متوقع سمت میں لے جاتا ہے۔

ایرڈوش کی اصل زیریں حد کو Gaussian integers کے ذریعے سمجھا جا سکتا ہے: $a+bi$ کی شکل کے اعداد، جہاں $a$ اور $b$ صحیح اعداد ہیں اور $i$، $-1$ کا مربع جذر ہے۔ Gaussian integers عام صحیح اعداد کو وسیع کرتے ہیں اور ان کی طرح ان میں بھی ایسی خصوصیات ہوتی ہیں جیسے اول اعداد میں یکتا تجزیہ۔ عام صحیح اعداد یا ناطق اعداد کی ایسی توسیعات کو الجبری عددی میدان کہا جاتا ہے۔ نیا استدلال Gaussian integers کی جگہ الجبری عددی نظریے کی زیادہ پیچیدہ تعمیمات رکھتا ہے، جن میں زیادہ بھرپور تقارن ہوتے ہیں اور جو کہیں زیادہ یونٹ لمبائی کے فرق پیدا کر سکتے ہیں۔

درست استدلال infinite class field towers اور Golod–Shafarevich theory جیسے اوزار استعمال کرتا ہے تاکہ دکھایا جا سکے کہ اس استدلال کے لیے درکار عددی میدان واقعی موجود ہیں۔ یہ خیالات الجبری عددی نظریہ دانوں میں معروف تھے، لیکن یہ بڑی حیرت کی بات تھی کہ ان تصورات کے اقلیدسی سطح کے جیومیٹری سوالات پر بھی اثرات ہیں۔

یہ نتیجہ AI اور ریاضی کے باہمی تعامل میں ایک اہم لمحہ ہے: ایک AI نظام نے ایک فعال میدان کے مرکز میں موجود ایک دیرینہ کھلے مسئلے کو خود مختار طور پر حل کیا ہے۔ یہ AI اور انسانی ریاضی دانوں کے درمیان تعاون کی ایک نئی قسم کی ابتدائی جھلک بھی پیش کرتا ہے۔ اس معاملے میں، بیرونی ریاضی دانوں کا ساتھ دیا گیا کام، صرف اصل حل کے مقابلے میں، کہیں زیادہ بھرپور تصویر پیش کرتا ہے۔

جیسا کہ Thomas Bloom ساتھ دیے گئے نوٹ میں لکھتے ہیں:

“جب میں AI سے تیار کردہ کسی ثبوت کی اہمیت اور اثر کا جائزہ لیتا ہوں، تو میں اپنے آپ سے ایک سوال پوچھتا ہوں: کیا اس نے ہمیں مسئلے کے بارے میں کچھ نیا سکھایا ہے؟ کیا اب ہم ڈسکریٹ جیومیٹری کو بہتر سمجھتے ہیں؟ میرے خیال میں اس کا جواب ایک معتدل ہاں ہے: یہ دکھاتا ہے کہ عددی نظریاتی تعمیرات کے پاس اس قسم کے سوالات کے بارے میں کہنے کو ہماری توقع سے کہیں زیادہ ہے؛ مزید یہ کہ مطلوب عددی نظریہ بہت گہرا ہو سکتا ہے۔ اس میں شک نہیں کہ آنے والے مہینوں میں بہت سے الجبری عددی نظریہ دان ڈسکریٹ جیومیٹری کے دوسرے کھلے مسائل کو قریب سے دیکھیں گے۔”

حل سے سامنے آنے والا الجبری عددی نظریے اور ڈسکریٹ جیومیٹری کے درمیان غیر متوقع تعلق، اسی چیز کا حصہ ہے جو اس نتیجے کو قابلِ ذکر بناتا ہے۔ یہ صرف ایک مخصوص قیاس کو طے نہیں کرتا، بلکہ ممکن ہے کہ ریاضی دانوں کو مزید متعلقہ مسائل کی کھوج شروع کرنے کے لیے ایک پل فراہم کرے۔

Bloom ایک وسیع تر امکان کی طرف بھی اشارہ کرتے ہیں:

“علم کی سرحدیں بہت نوکیلی ہیں، اور اس میں شک نہیں کہ آنے والے مہینوں اور برسوں میں ریاضی کے بہت سے دوسرے شعبوں میں بھی ایسی ہی کامیابیاں نظر آئیں گی، جہاں دیرینہ کھلے مسائل کو AI غیر متوقع روابط ظاہر کر کے اور موجودہ تکنیکی ڈھانچے کو اس کی حد تک دھکیل کر حل کرے گا۔ AI ہمیں اس ریاضی کے گرجا نما ڈھانچے کو زیادہ مکمل طور پر دریافت کرنے میں مدد دے رہا ہے جسے ہم نے صدیوں میں تعمیر کیا ہے؛ پردے کے پیچھے اور کون سے ان دیکھے عجائبات منتظر ہیں؟”

یہ نتیجہ ایک امید افزا مثال فراہم کرتا ہے: AI نہ صرف ایک حل دے رہا ہے، بلکہ ایک ایسی ریاضیاتی دریافت بھی، جس کی اہمیت بعد کی انسانی فہم کے ذریعے زیادہ واضح اور زیادہ بھرپور ہو جاتی ہے۔

حاصلِ کلام اس مخصوص نتیجے سے بڑا ہے۔ بہتر ریاضیاتی ریزننگ AI کو ایک زیادہ مضبوط تحقیقی شریک بنا سکتی ہے: ایسی چیز جو مشکل فکری سلسلوں کو جوڑے رکھ سکے، علم کے دور دراز شعبوں کے درمیان خیالات کو ملا سکے، امید افزا راستے سامنے لا سکے جنہیں ماہرین نے شاید ترجیح نہ دی ہو، اور محققین کو ایسے مسائل پر پیش رفت میں مدد دے سکے جو بہت پیچیدہ یا وقت طلب ہوتے۔

یہ صلاحیتیں ریاضی سے آگے بھی اہم ہیں۔ اگر کوئی ماڈل ایک پیچیدہ استدلال کو مربوط رکھ سکتا ہے، علم کے دور دراز شعبوں میں خیالات کو جوڑ سکتا ہے، اور ایسا کام پیدا کر سکتا ہے جو ماہرین کی جانچ پر پورا اترے، تو یہ حیاتیات، طبیعیات، مواد سائنس، انجینئرنگ، اور طب میں بھی مفید صلاحیتیں ہیں، اور یہ زیادہ خودکار تحقیق کی طرف ہمارے طویل مدتی راستے کا حصہ ہیں: ایسے نظام جو سائنس دانوں اور انجینئروں کو مزید خیالات کھوجنے اور زیادہ مشکل تکنیکی سوالات پر کام کرنے میں مدد دے سکیں۔

AI تحقیق کے تخلیقی حصوں میں، اور سب سے بڑھ کر خود AI تحقیق میں، بہت سنجیدہ کردار ادا کرنے والا ہے۔ اگرچہ یہ پیش رفت غیر متوقع نہیں، لیکن یہ AI کی ترقی کے اس اگلے مرحلے کو سمجھنے، بہت ذہین نظاموں کو ہم آہنگ کرنے کے چیلنجز، اور انسان-AI تعاون کے مستقبل کے بارے میں ہماری فوری تشویش کو مزید مضبوط کرتی ہے۔

وہ مستقبل اب بھی انسانی فیصلے پر منحصر ہے۔ مہارت کی قدر کم نہیں، بلکہ زیادہ ہو جاتی ہے۔ AI تلاش، تجویز، اور تصدیق میں مدد کر سکتا ہے۔ لوگ ان مسائل کا انتخاب کرتے ہیں جو اہم ہوں، نتائج کی تشریح کرتے ہیں، اور طے کرتے ہیں کہ اگلا کن سوالات پر توجہ دی جائے۔