Десять здобутків у математиці й теоретичній інформатиці

Ми прагнемо надати науковцям і математикам інструменти, що прискорюють відкриття. Саме тому нещодавно ми оголосили про ініціативу ChatGPT для академічних дослідників⁠, яка надає 100 000 науковців і математиків безплатний доступ до наших найкращих моделей ChatGPT. Під час розробки ми також продовжуємо перевіряти наші моделі на відкритих дослідницьких задачах.

У травні ми оприлюднили створене ШІ спростування⁠ гіпотези Ердеша про одиничні відстані, знайдене під час оцінювання ще не випущеної моделі. Ця робота вже надихнула на подальші дослідження в математиці й теоретичній інформатиці¹. Сьогодні ми представляємо добірку з десяти результатів, кожен із яких розв’язує давню відкриту проблему або забезпечує суттєвий прогрес у її розв’язанні. Ці проблеми охоплюють геометрію високих вимірностей, теорію кодування, складність арифметичних схем, теорію груп, алгебри операторів, квантову складність, ґраткову криптографію та екстремальну комбінаторику. Усі ці проблеми становлять значний інтерес для відповідних математичних спільнот, а кілька з них мають велике значення для математики загалом.

Ми представляємо нові результати щодо наведених нижче проблем. Ці результати отримано за допомогою внутрішньої версії Astra — нашої наступної великої моделі. За тарифами Sol API загальна кількість токенів, потрібних для пошуку розв’язків цих проблем, коштувала б приблизно 2 000 доларів США. Потім люди за допомогою тієї самої моделі оформили ці доведення як наукові рукописи. Після цього модель формалізувала кожне доведення у вигляді сертифіката Lean⁠(відкривається у новому вікні). Для кожного розв’язку ми також публікуємо опис процесу міркування моделі.

1. Пакування сфер у просторах високої вимірності. Нові верхні межі щільності пакування сфер аж до межі Кона—Елкіса.
2. Бінарні та сферичні коди: експоненційно поліпшені межі максимального розміру бінарних кодів для будь-якої заданої мінімальної відстані та аналогічні результати для сферичних кодів високої вимірності.
3. Несофічні групи. Конструкція, яка доводить існування несофічних груп і дає відповідь на одну з ключових відкритих проблем теорії груп.
4. Гіпотеза Конна про жорсткість. Спростування давньої гіпотези про те, що певні групи однозначно визначаються їхніми алгебрами фон Неймана.
5. Складність арифметичних схем. Нові нижні межі обчислення перманента за допомогою арифметичних схем і формул, зокрема нижня межа порядку n⁴/log n для арифметичних формул.
6. Квантове паралельне повторення. Теорема про експоненційне паралельне повторення для загальних квантових ігор із двома гравцями, що поширює фундаментальний принцип класичної теорії складності.
7. Задача про найближчий вектор. Складність апроксимації задачі про найближчий вектор з поліноміальним множником — фундаментальної задачі про ґратки, пов’язаної з постквантовою криптографією.
8. Гіпотеза Ергарта про об’єм. Визначення в кожній вимірності максимально можливого об’єму опуклого тіла, центроїд якого є його єдиною внутрішньою точкою ґратки.
9. Багатоколірні числа Рамсея. Надекспоненційна нижня межа багатоколірних чисел Рамсея для трикутників, що розв’язує задачу Ердеша № 183.
10. Гіпотези про екстремальні числа. Результати щодо гіпотез про компактність і виродженість в екстремальній теорії графів, які розв’язують задачі Ердеша № 146 і 180.

Поява систем, здатних робити внесок у математичні дослідження, порушує питання, на які технологічна компанія не може відповісти самотужки. Існує чимало поглядів на роль ШІ в математиці. Ми глибоко поважаємо й розуміємо тих, кого непокоїть його вплив, зокрема підписантів Лейденської декларації про ШІ та математику⁠(відкривається у новому вікні). Ми вважаємо, що зазначення авторства має чесно відображати спосіб отримання результату: приписувати людині авторство доведення, повністю створеного системою ШІ, означало б хибно представляти як внесок системи, так і природу справжньої інтелектуальної праці людини. Ми допомогли підготувати рукописи й формалізувати доведення в Lean та відповідаємо за їхню правильність, однак самі математичні аргументи створила наша система. Сподіваємося, що математична спільнота ґрунтовно опрацює ці результати, розгляне їх у належному контексті й розвине закладені в них ідеї в нових дослідженнях і відкриттях.

У міру того як системи ШІ стають дедалі досконалішими партнерами в дослідженнях, забезпечення широкого доступу до них має вирішальне значення для підтримки науковців і математиків, які в цю добу докорінних змін осмислюють і визначають майбутнє своїх галузей.