Про задачу тисячоліття Нав’є—Стокса

Ми публікуємо розв’язок задачі існування та гладкості Нав’є—Стокса — однієї із задач тисячоліття. Це доведення, створене внутрішньою системою OpenAI, показує, що в динаміці рівнянь Нав’є—Стокса для руху рідини за скінченний час може виникнути сингулярність. Ми публікуємо як опис доведення, так і його формалізацію в Lean.

Задачі тисячоліття⁠(відкривається у новому вікні) належать до найглибших питань на передових рубежах математики. Питання про те, чи може порушитися гладкість тривимірного руху рідини, залишалося нерозв’язаним близько 90 років.

Одна з головних цілей нашої роботи — допомагати науковцям розвивати дослідження й технології на благо всього людства. Щоб розв’язати задачу Нав’є—Стокса, ми використали внутрішню модель, яка значно перевершує GPT‑6 Astra за можливостями. Ми вважаємо важливим інформувати світ про темпи розвитку ШІ та про те, чого очікувати від майбутніх моделей.

Рівняння Нав’є—Стокса використовують другий закон Ньютона («F=ma»), щоб описати рух рідин. Важливо, що рідину в них розглядають як неперервне середовище, а не відстежують окремі молекули. Ці рівняння використовують у проєктуванні літаків, прогнозуванні погоди та дослідженні кровотоку.

Фундаментальним відкритим питанням для цих динамічних рівнянь було те, чи може перестати діяти наближення рідини як неперервного середовища. Зокрема, чи може в рівняннях Нав’є—Стокса для тривимірної нестисливої рідини зі сталою густиною виникнути «сингулярність», навіть якщо початковий рух є гладким? Тут сингулярність означає, що динаміка призводить до необмеженого зростання швидкості рідини за скінченний час. Сингулярність мала б виникнути попри наявність в’язкості, яка зазвичай згладжує рух. Оскільки реальна рідина не може рухатися з нескінченною швидкістю, це означало б, що рівняння перестають адекватно моделювати рідину. Щоб і далі моделювати систему, тоді довелося б окремо відстежувати поведінку кожної частинки.

Ці рівняння беруть початок у працях XIX століття Клода-Луї Нав’є та Джорджа Габріеля Стокса. У 1934 році Жан Лере довів існування розв’язків в узагальненому сенсі, але питання, чи завжди вони залишаються гладкими, стало одним із головних нерозв’язаних питань. У 2000 році Математичний інститут Клея зарахував задачу існування та гладкості Нав’є—Стокса до семи задач тисячоліття.

Наша система створила аналітичне доведення та формалізацію в Lean того, що в початково гладкій нерухомій рідині за скінченний час може виникнути сингулярність. До рідини прикладено гладку силу, а її енергія залишається скінченною протягом усієї динаміки — від стану спокою до утворення сингулярності. Цей результат розв’язує задачу тисячоліття Нав’є—Стокса, установлюючи твердження «C» (а також «D») в офіційному формулюванні задач тисячоліття⁠(відкривається у новому вікні).

Розв’язок являє собою вихор — обертовий потік рідини, що спіраллю прямує всередину й дедалі більше витягується, наче спагеті. Ця центральна область стискається й водночас прискорюється так, що її енергія залишається скінченною, як того вимагають закони фізики. Технічна складність полягає в тому, щоб порушення в рівняннях виникло через рух самої рідини, а не, наприклад, через штучно задану нескінченну силу. Точніше кажучи, члени рівнянь Нав’є—Стокса, що описують рух — прискорення, градієнти тиску, перенесення імпульсу та в’язкість, — мають водночас стати великими й точно компенсувати один одного. Завдяки цьому точному балансу зовнішня сила залишається гладкою, навіть коли швидкість рідини необмежено зростає.

Із 28 серпня ми навчаємо нову внутрішню модель, яка продемонструвала безпрецедентні результати в наших тестах, зокрема з математики. Навчання цієї моделі триває, а її показники й далі поліпшуються.

У вівторок, 1 вересня, ми почули чутки, що дві задачі тисячоліття було розв’язано. Натхнені цими чутками та різким стрибком у показниках нашої внутрішньої моделі, ми вирішили перевірити її на всіх нерозв’язаних задачах тисячоліття й кількох інших важливих задачах.

Ми використали систему скоординованих агентів на базі нашої внутрішньої моделі. Агенти мали доступ до таких інструментів, як читання кешованої версії інтернету та виконання коду. Агентів розподілили на групи, учасники яких могли спілкуватися між собою. Групи мали різний розмір, а до групи, що розв’язала задачу Нав’є—Стокса, входило близько 10 000 агентів, які працювали паралельно. Увесь час ми дотримувалися тих самих суворих заходів безпеки, що й під час усіх оцінювань наших передових моделей, зокрема моніторингу та ізоляції.

Для кожної задачі ми надавали різним групам агентів різні варіанти її формулювання, охоплюючи всі можливі версії. Для задачі Нав’є—Стокса ми запропонували окремим групам агентів версії «A» і «B» (окремі форми задачі Нав’є—Стокса, які дали б доведення) та версії «C» і «D» (які дали б спростування).

Окрім повних задач тисячоліття, ми попросили нашу мультиагентну систему спробувати розв’язати набір «простіших» задач. Одна з них стосувалася аналогічного питання про утворення сингулярності в граничному випадку задачі Нав’є—Стокса без члена в’язкості. Це відоме як задача регулярності для рівнянь Ейлера, і наші агенти здивували нас, розв’язавши її. Вони розв’язали саме варіант без зовнішньої сили, у якому до рідини не прикладається жодна зовнішня сила. Майже 100 агентів працювали разом близько 50 годин, щоб створити наше спростування регулярності для рівнянь Ейлера¹.

Побачивши розв’язок для рівнянь Ейлера, ми вирішили, що найперспективнішою для подальшої роботи є задача Нав’є—Стокса. Тому ми вирішили спрямувати ресурси на задачу Нав’є—Стокса. Для цього ми відкликали агентів з інших задач тисячоліття й надали їм розв’язок для рівнянь Ейлера. Коли під час роботи стала доступною версія нашої внутрішньої моделі, що пройшла подальше навчання, ми перевели агентів на неї.

Ми заохочували різні групи агентів досліджувати різноманітні підходи. Згодом ми налагодили обмін ідеями між групами агентів, використавши Codex для узагальнення найкорисніших висновків кожної групи. Ці подальші запити спиралися на проміжні результати самих агентів. Саме так ми спрямовували групу, яка знайшла розв’язок задачі Нав’є—Стокса.

Агенти отримали розв’язок у суботу, 5 вересня, приблизно через 88 годин після запуску перших агентів. Формалізація та перевірка в Lean за допомогою GPT‑6 Astra тривали ще 17 годин.

Працюючи над усіма задачами, агенти надіслали 4,9 мільйона повідомлень і використали близько 300 мільярдів вихідних токенів. У процесі розв’язання задачі Нав’є—Стокса агенти надіслали 2,7 мільйона повідомлень і використали приблизно 130 мільярдів вихідних токенів.

Наша робота почалася 1 вересня після того, як ми почули чутку, яка, як ми згодом зрозуміли, стосувалася співробітника Anthropic Левента Альпьоґе та професора математики Нью-Йоркського університету Трістана Бакмастера.² Завершивши весь проєкт і перевірку в Lean 6 вересня та вважаючи на підставі чутки, що вони також розв’язали задачу Нав’є—Стокса, ми зв’язалися з ними, запропонували одночасно оприлюднити наш результат і визнати їхній пріоритет у спільному оголошенні. Тоді ми дізналися, що за допомогою внутрішньої моделі Anthropic вони розв’язали задачу Ейлера із зовнішньою силою. Під час цих обговорень ми запропонували показати їм усі використані нами запити, а згодом — і саме доведення. Ми визнаємо пріоритет їхньої роботи над задачею Ейлера із зовнішньою силою та вітаємо їх із видатним математичним досягненням.

Ми — дослідники й агенти — жодним чином не бачили їхньої роботи до її публічного оприлюднення. Зокрема, для розв’язання цієї задачі не було отримано доступу до конкретних даних користувачів.

За результатами розслідування ми підтвердили, що запити Бакмастера до Codex протягом двох місяців перед цим оголошенням і публікацією статті 8 вересня 2026 року не могли жодним чином вплинути на систему, зокрема через навчання. Внутрішню модель OpenAI, використану для отримання цього результату, було розроблено шляхом масштабного навчання з підкріпленням на основі попередньо навченої моделі. Наші доведення також суттєво відрізняються. У випадку рівнянь Ейлера Альпьоґе й Бакмастер довели результат із зовнішньою силою, тоді як система OpenAI довела результат без зовнішньої сили.

Публікуючи цей результат, ми прагнемо повідомити про значний прогрес наших моделей ШІ. Ми не маємо наміру претендувати на Премію тисячоліття за цей результат.

Це важливе досягнення стало результатом значної роботи математиків і дослідників ШІ. Однак це не завершення, а лише відображення прогресу в розвитку ШІ на цей момент.

Ми вважаємо, що вже вступили в наступний період розвитку ШІ⁠, і сьогоднішні результати є ще одним свідченням цього. Ми зосереджені на вивченні цієї моделі та використовуємо здобуті знання, щоб визначати напрям і темп подальшого розширення можливостей. Одна з наших ключових цілей⁠ — створювати керовані й підзвітні системи ШІ, пов’язані з людьми. Це може вимагати виваженішого вибору темпів прогресу, поки ми продовжуємо виконувати свою місію — забезпечити, щоб AGI приносив користь усьому людству.