கணிதம் மற்றும் கோட்பாட்டுக் கணினி அறிவியலில் பத்து முன்னேற்றங்கள்

கண்டுபிடிப்புகளை விரைவுபடுத்தும் கருவிகளை அறிவியலாளர்களுக்கும் கணிதவியலாளர்களுக்கும் வழங்க விரும்புகிறோம். அதனால்தான், 100,000 அறிவியலாளர்களுக்கும் கணிதவியலாளர்களுக்கும் எங்களின் சிறந்த ChatGPT மாடல்களை இலவசமாக அணுகும் வாய்ப்பை வழங்கும் கல்விசார் ஆராய்ச்சியாளர்களுக்கான ChatGPT⁠ முன்னெடுப்பை அண்மையில் அறிவித்தோம். உருவாக்கத்தின்போது தீர்க்கப்படாத ஆராய்ச்சிச் சிக்கல்களைக் கொண்டு எங்கள் மாடல்களைத் தொடர்ந்து மதிப்பீடு செய்தும் வருகிறோம்.

மே மாதத்தில், வெளியிடப்படாத ஒரு மாடலை மதிப்பிடும்போது கண்டறியப்பட்ட எர்டோஷின் அலகுத் தொலைவுக் கருதுகோளுக்கான செயற்கை நுண்ணறிவு உருவாக்கிய மறுப்புச் சான்றை⁠ பகிர்ந்தோம். இந்தப் பணி ஏற்கெனவே கணிதம் மற்றும் கோட்பாட்டுக் கணினி அறிவியலில் மேலும் பல முன்னேற்றங்களுக்கு ஊக்கமளித்துள்ளது¹. நீண்டகாலமாகத் தீர்க்கப்படாத சிக்கலைத் தீர்க்கும் அல்லது அதில் குறிப்பிடத்தக்க முன்னேற்றத்தை ஏற்படுத்தும் பத்து முடிவுகளை இன்று பகிர்கிறோம். இச்சிக்கல்கள் உயர் பரிமாண வடிவியல், குறியீட்டுக் கோட்பாடு, எண்கணிதச் சுற்றுச் சிக்கல்தன்மை, குழுக் கோட்பாடு, இயக்கி இயற்கணிதங்கள், குவாண்டம் சிக்கல்தன்மை, பின்னல் குறியாக்கவியல் மற்றும் உச்சநிலைக் கூட்டியலை உள்ளடக்குகின்றன. இந்தச் சிக்கல்கள் அனைத்தும் அவற்றுக்குரிய கணிதச் சமூகங்களுக்கு மிகுந்த ஆர்வமுடையவை; அவற்றில் பல, ஒட்டுமொத்த கணிதத் துறைக்கும் பரந்த முக்கியத்துவம் வாய்ந்தவை.

பின்வரும் சிக்கல்களுக்கான புதிய முடிவுகளை வழங்குகிறோம். எங்களின் அடுத்த முக்கிய மாடலான Astra-இன் அகப் பதிப்பு இந்த முடிவுகளை எட்டியது. இந்தச் சிக்கல்களுக்குத் தீர்வு காணத் தேவையான மொத்த டோக்கன்களுக்கு Sol API கட்டண விகிதத்தில் சுமார் $2,000 செலவாகும். அதே மாடலின் உதவியுடன் மனிதர்கள் இந்த வாதங்களை ஆய்வுக் கையெழுத்துப் பிரதிகளாகத் தயாரித்தனர். பின்னர், ஒவ்வொரு வாதத்தையும் மாடல் ஒரு Lean சான்றிதழாக⁠(புதிய சாளரத்தில் திறக்கும்) முறையாக்கியது. ஒவ்வொரு தீர்வுக்கும், மாடல் தனது சிந்தனைச் செயல்முறையை விவரிக்கும் உரையையும் வெளியிடுகிறோம்.

1. உயர் பரிமாணக் கோளப் பொதிப்பு. கோன்–எல்கீஸ் வரம்புவரையிலான கோளப் பொதிப்பு அடர்த்திக்குப் புதிய மேல் வரம்புகள்.
2. ஈரடிமான மற்றும் கோளக் குறியீடுகள்: குறிப்பிட்ட எந்தக் குறைந்தபட்சத் தொலைவிலும் ஈரடிமானக் குறியீடுகளின் அதிகபட்ச அளவுக்கான அடுக்குக்குறி ரீதியில் மேம்பட்ட வரம்புகள்; உயர் பரிமாணக் கோளக் குறியீடுகளுக்கும் இதையொத்த முடிவுகள்.
3. சோஃபிக் அல்லாத குழுக்கள். சோஃபிக் அல்லாத குழுக்கள் இருப்பதை நிறுவும் ஓர் அமைப்பு, குழுக் கோட்பாட்டின் மையத் தீர்க்கப்படாத கேள்விக்குப் பதிலளிக்கிறது.
4. கோன்ஸின் விறைப்புத்தன்மைக் கருதுகோள். சில குழுக்கள் அவற்றின் வான் நியூமன் இயற்கணிதங்களால் தனித்துவமாகத் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன என்ற நீண்டகாலக் கருதுகோளின் மறுப்பு.
5. எண்கணிதச் சுற்றுச் சிக்கல்தன்மை. எண்கணிதச் சுற்றுகள் மற்றும் சூத்திரங்களைக் கொண்டு பெர்மனென்டைக் கணக்கிடுவதற்கான புதிய கீழ் வரம்புகள்; இதில் n⁴/log n வரிசையிலான எண்கணிதச் சூத்திரக் கீழ் வரம்பும் அடங்கும்.
6. குவாண்டம் இணைநிலை மறுமுறை. பொதுவான இரு-வீரர் குவாண்டம் விளையாட்டுகளுக்கான அடுக்குக்குறி இணைநிலை மறுமுறைத் தேற்றம், செவ்வியல் சிக்கல்தன்மைக் கோட்பாட்டின் அடிப்படைக் கொள்கையை விரிவுபடுத்துகிறது.
7. மிக அண்மைய திசையன் சிக்கல். குவாண்டத்துக்குப் பிந்தைய குறியாக்கவியலுடன் தொடர்புடைய அடிப்படைப் பின்னல் கேள்வியான மிக அண்மைய திசையன் சிக்கலைத் தோராயமாக்குவதில் பல்லுறுப்புக்கோவைக் காரணி கடினத்தன்மை.
8. எர்ஹார்ட்டின் கனஅளவுக் கருதுகோள். ஒவ்வொரு பரிமாணத்திலும், தனது மையநிறையே ஒரே உட்புறப் பின்னல் புள்ளியாகக் கொண்ட குவிவான பொருளின் மிகப்பெரிய சாத்தியமான கனஅளவைத் தீர்மானித்தல்.
9. பலவண்ண ராம்சே எண்கள். பலவண்ண முக்கோண ராம்சே எண்களுக்கான மீஅடுக்குக்குறிக் கீழ் வரம்பு, எர்டோஷின் 183வது சிக்கலைத் தீர்க்கிறது.
10. உச்சநிலை எண் கருதுகோள்கள். உச்சநிலை வரைபடக் கோட்பாட்டின் கச்சிதத்தன்மை மற்றும் சிதைவுத்தன்மைக் கருதுகோள்கள் குறித்த முடிவுகள், எர்டோஷின் 146 மற்றும் 180வது சிக்கல்களைத் தீர்க்கின்றன.

கணித ஆராய்ச்சிக்குப் பங்களிக்கக்கூடிய முறைமைகளின் தோற்றம், ஒரு தொழில்நுட்ப நிறுவனம் மட்டும் பதிலளிக்க முடியாத கேள்விகளை எழுப்புகிறது. கணிதத்தில் செயற்கை நுண்ணறிவின் பங்கு குறித்து பல்வேறு கருத்துகள் உள்ளன. அதன் தாக்கம் குறித்துக் கவலைப்படுபவர்கள், குறிப்பாக செயற்கை நுண்ணறிவு மற்றும் கணிதம் குறித்த லைடன் பிரகடனத்தில்⁠(புதிய சாளரத்தில் திறக்கும்) கையொப்பமிட்டவர்கள் மீது எங்களுக்கு ஆழ்ந்த மரியாதையும் புரிதலும் உள்ளது. ஒரு முடிவு எவ்வாறு உருவானது என்பதைப் பங்களிப்புக் குறிப்பு நேர்மையாகப் பிரதிபலிக்க வேண்டும் என நம்புகிறோம். செயற்கை நுண்ணறிவு முறைமை முழுமையாக உருவாக்கிய சான்றுக்கு மனித ஆசிரியர் உரிமை கோருவது, அந்த முறைமையின் பங்களிப்பையும் உண்மையான மனித அறிவுப் பணியின் இயல்பையும் தவறாகச் சித்தரிக்கும். கையெழுத்துப் பிரதிகளைத் தயாரிக்கவும் சான்றுகளை Lean-இல் முறையாக்கவும் உதவினோம்; அவற்றின் சரியான தன்மைக்குப் பொறுப்பேற்கிறோம். ஆனால் கணித வாதங்களை எங்கள் முறைமையே உருவாக்கியது. கணிதச் சமூகம் இந்த முடிவுகளை ஆழமாக ஆராய்ந்து, அவற்றை உரிய சூழலில் புரிந்துகொண்டு, அவற்றின் அடிப்படைக் கருத்துகளுக்குப் புதிய ஆராய்ச்சி மற்றும் கண்டுபிடிப்புகளின் மூலம் உயிரூட்டும் என நம்புகிறோம்.

செயற்கை நுண்ணறிவு முறைமைகள் மேலும் மேம்பட்ட ஆராய்ச்சிக் கூட்டாளிகளாக வளரும்போது, இந்த மாற்றமிக்க காலத்தில் அறிவியலாளர்களும் கணிதவியலாளர்களும் தங்கள் துறைகளின் எதிர்காலத்தை ஆராய்ந்து வரையறுக்க உதவுவதற்குப் பரவலான அணுகலை உறுதிசெய்வது அடிப்படையானது.