நேவியர்–ஸ்டோக்ஸ் மில்லேனியம் பரிசுச் சிக்கல் குறித்து

மில்லேனியம் பரிசுச் சிக்கல்களில் ஒன்றான நேவியர்–ஸ்டோக்ஸ் இருப்பு மற்றும் மென்மைத்தன்மைச் சிக்கலுக்கான தீர்வைப் பகிர்கிறோம். OpenAI-இன் உள் அமைப்பு உருவாக்கிய இந்த நிரூபணம், திரவ இயக்கத்திற்கான நேவியர்–ஸ்டோக்ஸ் சமன்பாடுகளின் இயக்கவியல் வரையறுக்கப்பட்ட காலத்திற்குள் ஒரு ஒருமைப்புள்ளியை உருவாக்கக்கூடும் என்பதைக் காட்டுகிறது. நிரூபணத்தின் விளக்கத்தையும் Lean-இல் அதன் முறையான வடிவாக்கத்தையும் பகிர்கிறோம்.

மில்லேனியம் பரிசுச் சிக்கல்கள்⁠(புதிய சாளரத்தில் திறக்கும்), கணிதத்தின் அதிநவீன எல்லையில் உள்ள மிக ஆழமான கேள்விகளில் சிலவற்றைக் குறிக்கின்றன. மென்மையான முப்பரிமாணத் திரவ இயக்கம் சிதைவடையுமா என்ற கேள்வி சுமார் 90 ஆண்டுகளாகத் தீர்க்கப்படாமல் இருந்துள்ளது.

மனிதகுலம் முழுவதற்கும் பயனளிக்கும் ஆராய்ச்சியையும் தொழில்நுட்பத்தையும் முன்னேற்ற அறிவியலாளர்களுக்கு வலுவூட்டுவது எங்கள் பணியின் முக்கிய இலக்காகும். நேவியர்–ஸ்டோக்ஸ் சிக்கலைத் தீர்க்க, GPT‑6 அஸ்ட்ராவைவிடக் குறிப்பிடத்தக்க அளவு திறன்மிக்க உள் மாடலைப் பயன்படுத்தினோம். செயற்கை நுண்ணறிவின் முன்னேற்ற வேகம் குறித்தும் வரவிருக்கும் மாடல்களிடமிருந்து என்ன எதிர்பார்க்கலாம் என்பது குறித்தும் உலகிற்குத் தெரிவிப்பது முக்கியம் என நம்புகிறோம்.

திரவங்கள் எவ்வாறு நகர்கின்றன என்பதை விவரிக்க நேவியர்–ஸ்டோக்ஸ் சமன்பாடுகள் நியூட்டனின் இரண்டாவது இயக்க விதியை (“F=ma”) பயன்படுத்துகின்றன. முக்கியமாக, தனித்தனி மூலக்கூறுகளைக் கண்காணிப்பதற்குப் பதிலாக ஒரு திரவத்தைத் தொடர்ச்சியான ஊடகமாக அவை கருதுகின்றன. விமான வடிவமைப்பு, வானிலை முன்னறிவிப்பு, இரத்த ஓட்ட ஆய்வு ஆகியவற்றில் இந்தச் சமன்பாடுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

திரவத்திற்கான தொடர்ச்சி தோராய மதிப்பீடு சிதைவடையுமா என்பது இந்த இயக்கவியல் சமன்பாடுகள் குறித்த அடிப்படையான விடைதெரியாத கேள்வியாக இருந்துள்ளது. குறிப்பாக, இயக்கம் மென்மையாகத் தொடங்கினாலும்கூட, மாறாத அடர்த்தியுள்ள முப்பரிமாண அமுக்கவியலாத திரவத்திற்கான நேவியர்–ஸ்டோக்ஸ் சமன்பாடுகள் ஓர் “ஒருமைப்புள்ளியை” உருவாக்குமா? இங்கு, இயக்கவியலால் வரையறுக்கப்பட்ட காலத்திற்குள் திரவத்தின் வேகம் வரம்பின்றி அதிகரிப்பதே ஒருமைப்புள்ளி எனப்படுகிறது. இயக்கத்தை மென்மையாக்கும் பாகுத்தன்மை இருந்தபோதிலும் ஒருமைப்புள்ளி உருவாக வேண்டியிருக்கும். உண்மையான திரவம் முடிவிலா வேகத்தில் நகர முடியாது என்பதால், திரவத்தைச் சமன்பாடுகள் உருவகப்படுத்தும் விதம் சிதைவடைந்ததை இது குறிக்கும். அதன்பின் அமைப்பைத் தொடர்ந்து உருவகப்படுத்த, ஒவ்வொரு துகளின் நடத்தையையும் தனித்தனியாகக் கண்காணிக்க வேண்டியிருக்கும்.

இந்தச் சமன்பாடுகள் க்ளோட்-லூயி நேவியர் மற்றும் ஜார்ஜ் கேப்ரியல் ஸ்டோக்ஸ் ஆகியோரின் பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டுப் பணிகளில் தோன்றியவை. 1934-இல், பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பொருளில் தீர்வுகள் உள்ளன என ஜான் லெரே நிரூபித்தார். ஆனால் அவை எப்போதும் மென்மையாக இருக்குமா என்பது விடைதெரியாத மையக் கேள்வியானது. 2000-இல், க்ளே கணித நிறுவனம் நேவியர்–ஸ்டோக்ஸ் இருப்பு மற்றும் மென்மைத்தன்மைச் சிக்கலை ஏழு மில்லேனியம் பரிசுச் சிக்கல்களில் ஒன்றாக அறிவித்தது.

தொடக்கத்தில் ஓய்வில் இருக்கும் மென்மையான திரவம் வரையறுக்கப்பட்ட காலத்திற்குள் ஒருமைப்புள்ளியை உருவாக்கக்கூடும் என்பதற்கான பகுப்பாய்வு நிரூபணத்தையும் Lean முறையான வடிவாக்கத்தையும் எங்கள் அமைப்பு உருவாக்கியது. திரவத்தின் மீது மென்மையான விசை செலுத்தப்படுகிறது. ஓய்வு நிலையிலிருந்து ஒருமைப்புள்ளி உருவாகும்வரை, இயக்கவியல் முழுவதிலும் அதன் ஆற்றல் வரையறுக்கப்பட்டதாகவே உள்ளது. மில்லேனியம் பரிசின் அதிகாரப்பூர்வ வரையறையில்⁠(புதிய சாளரத்தில் திறக்கும்) உள்ள கூற்று “C”-ஐயும் (“D”-ஐயும்) நிறுவுவதன் மூலம், நேவியர்–ஸ்டோக்ஸ் மில்லேனியம் பரிசுச் சிக்கலை இது தீர்க்கிறது.

இந்தத் தீர்வு ஒரு சுழலாகும். சுழன்று கொண்டிருக்கும் இந்தத் திரவச் சுழல் உள்நோக்கிச் சுருண்டு, நூடுல்ஸ் போல மேலும் மேலும் நீள்கிறது. இந்த மையப் பகுதி சுருங்கியபடியே வேகமடைகிறது. எனினும், இயற்பியல் விதிகள் கோருவதுபோல் அதன் ஆற்றல் வரையறுக்கப்பட்டதாகவே உள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, நாமே முடிவிலா விசையைச் செலுத்துவதால் அல்லாமல், திரவத்தின் சொந்த இயக்கத்தின் மூலமே சமன்பாடுகளில் சிதைவு உருவாக வேண்டும் என்பதே தொழில்நுட்பச் சவால். இதை இன்னும் கணிதத் துல்லியமாகக் கூறினால், இயக்கத்தை விவரிக்கும் நேவியர்–ஸ்டோக்ஸ் சமன்பாடுகளின் கூறுகளான முடுக்கம், அழுத்தச் சரிவுகள், உந்தப் பரிமாற்றம், பாகுத்தன்மை ஆகியவை பெரிதாகவும் வேண்டும்; அதேவேளையில் துல்லியமான முறையில் ஒன்றையொன்று ஈடுசெய்யவும் வேண்டும். திரவத்தின் வேகம் வரம்பின்றி அதிகரித்தாலும், இந்த நுட்பமான சமநிலை மென்மையான வெளிப்புற விசையைத் தக்கவைக்கிறது.

ஆகஸ்ட் 28 முதல், கணிதம் உட்பட எங்கள் தரஅளவீடுகளில் முன்னெப்போதும் இல்லாத செயல்திறனை வெளிப்படுத்திய புதிய உள் மாடலுக்குப் பயிற்சியளித்து வருகிறோம். இந்த மாடலின் பயிற்சி தொடர்கிறது; அதன் செயல்திறனும் தொடர்ந்து மேம்படுகிறது.

செப்டம்பர் 1, செவ்வாய்க்கிழமை அன்று இரண்டு மில்லேனியம் பரிசுச் சிக்கல்கள் தீர்க்கப்பட்டதாக வதந்திகளைக் கேள்விப்பட்டோம். இந்த வதந்திகளாலும் எங்கள் உள் மாடலின் செயல்திறனில் ஏற்பட்ட திடீர் உயர்வாலும் ஊக்கமடைந்து, விடைதெரியாத அனைத்து மில்லேனியம் பரிசுச் சிக்கல்களிலும் வேறு சில அதிகத் தாக்கமுள்ள சிக்கல்களிலும் அதை மதிப்பிடும் முயற்சியைத் தொடங்கினோம்.

எங்கள் உள் மாடலால் இயக்கப்படும், ஒருங்கிணைந்து செயல்படும் ஏஜென்ட்களின் அமைப்பைப் பயன்படுத்தினோம். இணையத்தின் தற்காலிகமாகச் சேமிக்கப்பட்ட பதிப்பைப் படிப்பது, நிரலை இயக்குவது போன்ற கருவிகளை ஏஜென்ட்கள் அணுக முடிந்தது. குழுவிற்குள் தொடர்புகொள்ளும் திறனுடன் ஏஜென்ட்கள் பல குழுக்களாகப் பிரிக்கப்பட்டனர். குழுக்களின் அளவுகள் வேறுபட்டன. நேவியர்–ஸ்டோக்ஸ் தீர்வை உருவாக்கிய குழுவில் ஏறத்தாழ 10,000 ஏஜென்ட்கள் ஒரே நேரத்தில் செயல்பட்டனர். கண்காணிப்பும் தனிமைப்படுத்தலும் உட்பட, எங்கள் அதிநவீன மாடல் மதிப்பீடுகள் அனைத்திலும் பயன்படுத்தும் அதே கடுமையான பாதுகாப்பு நடவடிக்கைகளை எல்லா நேரங்களிலும் பின்பற்றினோம்.

ஒவ்வொரு சிக்கலுக்கும், அதன் அனைத்து வகைகளையும் உள்ளடக்கும் விதமாகச் சிக்கல் கூற்றின் வெவ்வேறு வடிவங்களை வெவ்வேறு ஏஜென்ட் குழுக்களுக்கு வழங்கினோம். நேவியர்–ஸ்டோக்ஸ் சிக்கலுக்கு, நிரூபணத்தை வழங்கக்கூடிய குறிப்பிட்ட வடிவங்களான “A”, “B” பதிப்புகளையும், மறுப்பை வழங்கக்கூடிய “C”, “D” பதிப்புகளையும் தனித்தனி ஏஜென்ட் குழுக்களுக்கு வழங்கினோம்.

முழுமையான மில்லேனியம் பரிசுச் சிக்கல்களுடன், ஒப்பீட்டளவில் “எளிதான” சில சிக்கல்களையும் முயலுமாறு எங்கள் பல-ஏஜென்ட் அமைப்பிடம் கேட்டோம். பாகுத்தன்மைக் கூறு நீக்கப்பட்ட நேவியர்–ஸ்டோக்ஸ் சிக்கலின் எல்லைக்கான இதேபோன்ற வெடிப்பு குறித்த கேள்வி அவற்றில் ஒன்றாகும். இது ஆய்லர் சமன்பாடுகளின் ஒழுங்குத்தன்மைச் சிக்கல் எனப்படுகிறது. இந்தக் கேள்வியைத் தீர்த்து எங்கள் ஏஜென்ட்கள் எங்களை வியப்பில் ஆழ்த்தினர். அவர்கள் தீர்த்த கேள்வியின் குறிப்பிட்ட வகை, திரவத்தின் மீது வெளிப்புற விசை செலுத்தப்படாத விசையற்ற பதிப்பாகும். எங்கள் ஆய்லர் ஒழுங்குத்தன்மை மறுப்பை உருவாக்க, ஏறத்தாழ 100 ஏஜென்ட்கள் சுமார் 50 மணிநேரம் இணைந்து பணியாற்றினர்¹.

ஆய்லர் தீர்வைக் கண்டதும், தொடர்ந்து ஆராய்வதற்கு நேவியர்–ஸ்டோக்ஸ்தான் அதிக வாய்ப்புள்ள சிக்கல் எனக் கருதினோம். எனவே, எங்கள் வளங்களை நேவியர்–ஸ்டோக்ஸ் சிக்கலுக்கு அர்ப்பணிக்க முடிவெடுத்தோம். இதற்காக, மற்ற மில்லேனியம் சிக்கல்களிலிருந்து ஏஜென்ட்களை மாற்றி, அவர்களுக்கு ஆய்லர் தீர்வை வழங்கினோம். முயற்சி நடைபெற்றுக் கொண்டிருந்தபோது, கூடுதலாகப் பயிற்சியளிக்கப்பட்ட எங்கள் உள் மாடலின் பதிப்பு கிடைத்ததும் ஏஜென்ட்களை அந்த மாடலுக்கு மாற்றினோம்.

வெவ்வேறு ஏஜென்ட் குழுக்கள் பல்வேறு அணுகுமுறைகளை ஆராய ஊக்குவித்தோம். சிறிது காலத்திற்குப் பிறகு, ஒவ்வொரு ஏஜென்ட் குழுவின் மிகப் பயனுள்ள நுண்ணறிவுகளையும் Codex மூலம் ஒருங்கிணைத்து, குழுக்களுக்கு இடையே அவற்றைப் பரிமாறினோம். இந்தத் தொடர் அறிவுறுத்தல்கள் ஏஜென்ட்களின் சொந்த இடைக்கால முடிவுகளை அடிப்படையாகக் கொண்டிருந்தன. நேவியர்–ஸ்டோக்ஸ் தீர்வைக் கண்டறிந்த குழு இவ்வாறே வழிநடத்தப்பட்டது.

முதல் ஏஜென்ட்கள் தொடங்கப்பட்டு சுமார் 88 மணிநேரத்திற்குப் பிறகு, செப்டம்பர் 5, சனிக்கிழமை அன்று ஏஜென்ட்கள் தங்கள் தீர்வை எட்டினர். GPT‑6 அஸ்ட்ரா வழியாக Lean முறையான வடிவாக்கத்திற்கும் சரிபார்ப்பிற்கும் மேலும் 17 மணிநேரம் தேவைப்பட்டது.

முயன்ற அனைத்துச் சிக்கல்களிலும், ஏஜென்ட்கள் 49 லட்சம் செய்திகளை அனுப்பி, சுமார் 30,000 கோடி வெளியீட்டுத் துண்டுகளைப் பயன்படுத்தினர். நேவியர்–ஸ்டோக்ஸ் சிக்கலைத் தீர்க்கும் செயல்முறையில், ஏஜென்ட்கள் 27 லட்சம் செய்திகளை அனுப்பி, ஏறத்தாழ 13,000 கோடி வெளியீட்டுத் துண்டுகளைப் பயன்படுத்தினர்.

பின்னர் ஆந்த்ரோபிக் ஊழியர் லெவென்ட் அல்போகே மற்றும் நியூயார்க் பல்கலைக்கழகக் கணிதப் பேராசிரியர் டிரிஸ்டன் பக்மாஸ்டர் ஆகியோருடன் தொடர்புடையது என அறிந்த ஒரு வதந்தியைக் கேட்டு, செப்டம்பர் 1 அன்று எங்கள் முயற்சி தொடங்கியது.² எங்கள் முழுத் திட்டமும் Lean சரிபார்ப்பும் செப்டம்பர் 6 அன்று நிறைவடைந்தபின், அவர்களிடமும் நேவியர்–ஸ்டோக்ஸ் தீர்வு இருப்பதாக அந்த வதந்தியின் அடிப்படையில் நம்பினோம். எனவே, எங்கள் முடிவுகளை ஒரே நேரத்தில் வெளியிடவும் கூட்டறிவிப்பில் அவர்களின் முன்னுரிமையை அங்கீகரிக்கவும் முன்வந்து அவர்களைத் தொடர்புகொண்டோம். அப்போது, ஆந்த்ரோபிக்கின் உள் மாடலைப் பயன்படுத்தி அவர்கள் விசை செலுத்தப்பட்ட ஆய்லர் சிக்கலுக்குத் தீர்வு உருவாக்கியிருந்ததை அறிந்தோம். இந்தக் கலந்துரையாடல்களில், நாங்கள் பயன்படுத்திய அனைத்து அறிவுறுத்தல்களையும் அவர்களுக்குக் காட்டவும், பின்னர் நிரூபணத்தைக் காண அனுமதிக்கவும் முன்வந்தோம். விசை செலுத்தப்பட்ட ஆய்லர் குறித்த அவர்களின் பணியின் முன்னுரிமையை அங்கீகரிப்பதுடன், அவர்களின் குறிப்பிடத்தக்க கணிதச் சாதனைக்கு வாழ்த்துத் தெரிவிக்கிறோம்.

அவர்கள் தங்கள் பணியைப் பொதுவெளியில் வெளியிடும்வரை, நாங்கள், அதாவது ஆராய்ச்சியாளர்களும் ஏஜென்ட்களும், அதை எந்த வழியிலும் காணவில்லை. குறிப்பாக, இந்தச் சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்காக எந்தவொரு குறிப்பிட்ட பயனர் தரவும் அணுகப்படவில்லை.

விசாரணைக்குப் பிறகு, இந்த அறிவிப்புக்கும் 2026 செப்டம்பர் 8 தேதியிட்ட ஆய்வுக் கட்டுரைக்கும் முந்தைய இரண்டு மாதங்களில் பக்மாஸ்டர் அளித்த Codex அறிவுறுத்தல்கள், பயிற்சி உட்பட எந்த விதத்திலும் அமைப்பில் தாக்கம் செலுத்தியிருக்க முடியாது என்பதை உறுதிசெய்துள்ளோம். இந்த முடிவுக்குப் பயன்படுத்தப்பட்ட OpenAI-இன் உள் மாடல், ஏற்கெனவே முன்பயிற்சியளிக்கப்பட்ட மாடலின் மீது பெரிய அளவிலான ரீஇன்ஃபோர்ஸ்மென்ட் லெர்னிங் மூலம் உருவாக்கப்பட்டது. எங்கள் நிரூபணங்களும் குறிப்பிடத்தக்க அளவில் வேறுபடுகின்றன. ஆய்லர் சிக்கலில், அல்போகேவும் பக்மாஸ்டரும் வெளிப்புற விசையுடனான முடிவை நிரூபித்தனர். OpenAI-இன் அமைப்பு வெளிப்புற விசையற்ற முடிவை நிரூபித்தது.

எங்கள் செயற்கை நுண்ணறிவு மாடல்களின் கணிசமான முன்னேற்றத்தைத் தெரிவிப்பதே இந்த முடிவை வெளியிடுவதன் நோக்கமாகும். இந்த முடிவுக்காக மில்லேனியம் பரிசைக் கோரும் எண்ணம் எங்களுக்கு இல்லை.

இந்த மைல்கல், கணிதவியலாளர்களும் செயற்கை நுண்ணறிவு ஆராய்ச்சியாளர்களும் செய்த கணிசமான பணியைப் பிரதிபலிக்கிறது. ஆனால், இது செயற்கை நுண்ணறிவு மேம்பாட்டின் உச்சம் அல்ல; ஒரு குறிப்பிட்ட தருணத்தில் அதன் முன்னேற்றம் எங்குள்ளது என்பதைக் காட்டும் படம் மட்டுமே.

செயற்கை நுண்ணறிவு முன்னேற்றத்தின் அடுத்த காலகட்டத்தில் இப்போது நாம் இருப்பதாக நம்புகிறோம்⁠. இன்றைய முடிவுகள் இதற்கு மேலும் சான்றளிக்கின்றன. இந்த மாடலைப் புரிந்துகொள்வதிலும், திறனில் மேலும் முன்னேற்றங்களை அடையும் விதத்தையும் வேகத்தையும் வழிநடத்த நாங்கள் கற்றுக்கொள்வதைப் பயன்படுத்துவதிலும் கவனம் செலுத்துகிறோம். மனிதகுலம் முழுவதற்கும் AGI பயனளிப்பதை உறுதிசெய்யும் எங்கள் பணியைத் தொடரும்போது, வழிநடத்தக்கூடிய, பொறுப்பேற்கக்கூடிய, மக்களுடன் இணைந்த செயற்கை நுண்ணறிவு அமைப்புகளை உருவாக்குவது எங்கள் முக்கிய இலக்குகளில்⁠ ஒன்றாகும். இதற்கு முன்னேற்றத்தின் வேகம் குறித்து இன்னும் கவனமான தேர்வுகள் தேவைப்படலாம்.