ஒரு OpenAI மாடல் தனித்த வடிவியலின் மைய ஊகத்தை மறுத்துள்ளது

கிட்டத்தட்ட 80 ஆண்டுகளாக, கணிதவியலாளர்கள் ஏமாற்றும் அளவுக்கு எளிய ஒரு கேள்வியை ஆய்வு செய்து வருகின்றனர்: தளத்தில் $n$ புள்ளிகளை வைத்தால், எத்தனை புள்ளி ஜோடிகள் துல்லியமாக $1$ தூரத்தில் இருக்க முடியும்?

இது தள அலகுத் தூரப் பிரச்சினை; இதை 1946 ஆம் ஆண்டில் பால் எர்டோஷ் முதன்முதலில் முன்வைத்தார். இது கூட்டியல் வடிவியலில் மிகவும் அறியப்பட்ட கேள்விகளில் ஒன்று; சொல்ல எளிதானது, தீர்க்க மிகவும் கடினமானது. 2005-ஆம் ஆண்டின் ரிசர்ச் பிராப்ளம்ஸ் இன் டிஸ்கிரீட் ஜியோமேட்ரி என்ற பிராஸ், மோஸர் மற்றும் பக் எழுதிய புத்தகம், இதை «கூட்டியல் வடிவியலில் மிகவும் அறியப்பட்ட (மேலும் விளக்க எளிய) பிரச்சினையாக இருக்கலாம்» என்று அழைக்கின்றனர். பிரின்ஸ்டனில் உள்ள முன்னணி சேர்க்கையியல் கணிதவியலாளரான நோகா அலோன், அதை «எர்டோஷுக்கு மிகவும் பிடித்த பிரச்சினைகளில் ஒன்று» என விவரிக்கிறார். இந்தச் சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்காக எர்டோஷ் பணப் பரிசுகூட அறிவித்தார்.

இன்று, அலகு தூரப் பிரச்சினையில் ஒரு முன்னேற்றத்தைப் பகிர்கிறோம். எர்டோ ஸின் ஆரம்பப் பணிக்குப் பிறகு, கீழே மேலும் காட்டப்பட்டுள்ள “சதுர கட்ட” கட்டமைப்புகளே அலகு-தூர ஜோடிகளின் எண்ணிக்கையை அதிகப்படுத்துவதற்கு அடிப்படையில் சிறந்தவை என்ற நம்பிக்கை நிலவியது. ஒரு அக OpenAI மாடல், பல்லுறுப்பியல் மேம்பாட்டை வழங்கும் முடிவில்லா எடுத்துக்காட்டுக் குடும்பத்தை வழங்கி, இந்த நீண்டகால ஊகத்தை மறுத்துள்ளது. இந்தச் சான்றை வெளிப்புற கணிதவியலாளர்கள் குழு ஒன்று சரிபார்த்துள்ளது. அவர்கள், வாதத்தை விளக்கியும் முடிவின் முக்கியத்துவத்திற்கான கூடுதல் பின்னணி மற்றும் சூழலை வழங்கியும் ஒரு துணை ஆய்வுக் கட்டுரையையும் எழுதியுள்ளனர்.

இந்த முடிவு எவ்வாறு கண்டுபிடிக்கப்பட்டது என்பதாலும் குறிப்பிடத்தக்கது. இந்தச் சான்று, குறிப்பாக கணிதத்திற்காகப் பயிற்சியளிக்கப்பட்ட அமைப்பிலிருந்தோ, சான்று உத்திகளைத் தேடுமாறு கட்டமைக்கப்பட்ட சிஸ்டத்திலிருந்தோ, அல்லது குறிப்பாக அலகு தூரப் பிரச்சினையை நோக்கிய சிஸ்டத்திலிருந்தோ அல்ல; புதிய பொதுப் பயன்பாட்டு ரீஸனிங் மாடலிலிருந்து வந்தது. மேம்பட்ட மாடல்கள் அதிநவீன ஆராய்ச்சிக்கு பங்களிக்க முடியுமா என்பதைச் சோதிக்கும் விரிவான முயற்சியின் ஒரு பகுதியாக, எர்டோஸ் பிரச்சினைகளின் தொகுப்பில் இதை மதிப்பீடு செய்தோம். இந்தச் சூழலில், திறந்த பிரச்சினையைத் தீர்க்கும் ஒரு சான்றை இது உருவாக்கியது.

இந்தச் சான்று கணித மற்றும் AI சமூகங்களுக்கு ஒரு முக்கிய சாதனை ஆகும். கணிதத்தின் ஒரு துணைத்துறையின் மையத்தில் உள்ள ஒரு முக்கிய திறந்த பிரச்சினை, AI மூலம் தன்னிச்சையாகத் தீர்க்கப்பட்ட முதல் முறை இதுவாகும். இந்த சிஸ்டங்கள் இப்போது ஆதரிக்கும் ரீஸனிங்கின் ஆழத்தையும் இது காட்டுகிறது. கணிதம் ரீஸனிங்கிற்கான மிகவும் தெளிவான சோதனைத் தளத்தை வழங்குகிறது: பிரச்சினைகள் துல்லியமானவை, சாத்தியமான சான்றுகளைச் சரிபார்க்கலாம், மேலும் ஒரு நீண்ட வாதம் தொடக்கம் முதல் முடிவு வரை ரீஸனிங் உறுதியாக இருந்தால்தான் செயல்படும். இந்தப் பிரச்சினை தீர்க்கப்பட்ட முறையும் குறிப்பிடத்தக்கது. இந்தச் சான்று, ஒரு அடிப்படை வடிவியல் கேள்வியில், அல்ஜீப்ரா எண் கோட்பாட்டிலிருந்து எதிர்பாராத மற்றும் நுட்பமான கருத்துகளைப் பயன்படுத்துகிறது.

ஃபீல்ட்ஸ் பதக்கம் வென்ற டிம் கோவர்ஸ், துணை ஆய்வுக் கட்டுரையில் எழுதும்போது, இந்த முடிவை “AI கணிதத்தில் ஒரு சாதனை” என்று அழைக்கிறார். முன்னணி எண் கோட்பாட்டாளர் அருள் சங்கர் கூறுவதன்படி, “என் கருத்தில், இந்தக் கட்டுரை தற்போதைய AI மாடல்கள் மனித கணிதவியலாளர்களுக்கான உதவியாளர்களைத் தாண்டிச் செல்கின்றன என்பதை காட்டுகிறது – அவை அசல் புத்திசாலித்தனமான கருத்துகளை உருவாக்கவும், பின்னர் அவற்றை முழுமையாக நிறைவேற்றவும் திறன் கொண்டவை”.

இந்தச் சான்று இங்கே⁠(புதிய சாளரத்தில் திறக்கும்) கிடைக்கிறது. முன்னணி வெளிப்புற கணிதவியலாளர்கள் எழுதிய துணை ஆய்வுக் கட்டுரை இங்கே⁠(புதிய சாளரத்தில் திறக்கும்) கிடைக்கிறது. மாடலின் செயின்-ஆஃப்-தாட்டின் சுருக்கப்பட்ட பதிப்பை இங்கே⁠(புதிய சாளரத்தில் திறக்கும்) காணலாம்.

தளத்தில் உள்ள $n$ புள்ளிகளில், அலகு-தூர ஜோடிகளின் மிக அதிகமான சாத்திய எண்ணிக்கையை $u(n)$ எனக் கொள்ளுங்கள். நேரியல் வளர்ச்சி விகிதத்தை அடையும் எடுத்துக்காட்டுகளை அமைப்பது எளிது: $n$ புள்ளிகளை ஒரு கோட்டில் வைத்தால் $n-1$ ஜோடிகள் கிடைக்கும்; சதுர கட்டம் சுமார் $2n$ ஜோடிகளை வழங்கும். முன்பு அறியப்பட்ட சிறந்த கட்டமைப்பு, மறுஅளவிடப்பட்ட சதுர கட்டத்திலிருந்து வருவது, உண்மையில் இன்னும் அதிகத்தை வழங்குகிறது: ஒரு மாறிலி $C$-க்காக $n^{1 + C / \log \log(n)}$. $\log \log(n)$, $n$ உடன் முடிவிலிக்குச் செல்லுவதால், அடுக்கில் உள்ள கூடுதல் உறுப்பு, $0$-க்கு நெருங்குகிறது; அதாவது, இந்தக் கட்டமைப்புகள் நேரியலைவிட சற்றே வேகமான வளர்ச்சியை மட்டுமே அடைகின்றன. பல தசாப்தங்களாக, இந்த விகிதமே அடிப்படையில் சிறந்த சாத்தியம் என்றும், எந்தக் கட்டமைப்பும் சதுர கட்டத்தை விட குறிப்பிடத்தக்க அளவில் மேம்பட முடியாது என்றும் பரவலாக நம்பப்பட்டது. தொழில்நுட்ப ரீதியில், எர்டோஸ் $n^{1+o(1)}$ என்ற மேல் வரம்பை ஊகித்தார்; இதில் கூடுதல் $o(1)$ என்பது $n$ உடன் $0$-க்கு நெருங்கும் உறுப்பைக் குறிக்கிறது.

எங்கள் புதிய முடிவு இந்த ஊகத்தை மறுக்கிறது. மேலும் துல்லியமாகச் சொன்னால், முடிவில்லாமல் பல $n$ மதிப்புகளுக்கு, சில நிலையான அடுக்கு $\delta > 0$-க்காக, குறைந்தது $n^{1+\delta}$ அலகு-தூர ஜோடிகளைக் கொண்ட $n$ புள்ளிகளின் உள்ளமைப்புகளை இந்தச் சான்று உருவாக்குகிறது. (அசல் AI சான்று வெளிப்படையான $\delta$ ஒன்றைக் கொடுக்கவில்லை; ஆனால் பிரின்ஸ்டன் கணிதப் பேராசிரியர் வில் சாவின் வழங்கிய வரவிருக்கும் மேம்பாடு, $\delta=0.014$ என எடுத்துக்கொள்ளலாம் என்பதை காட்டியுள்ளது.)

இந்தப் பிரச்சினையின் வரலாறு, முடிவு ஏன் ஆச்சரியமளிப்பதாக இருக்கிறது என்பதைப் புரிந்துகொள்ள உதவுகிறது. அறியப்பட்ட சிறந்த கீழ் வரம்பு, எர்டோஸின் 1946-ஆம் ஆண்டின் அசல் கட்டமைப்பிலிருந்து அடிப்படையில் மாறாமல் இருந்தது. அறியப்பட்ட சிறந்த மேல் வரம்பான $O(n^{4/3})$, 1984-இல் ஸ்பென்ஸர், செமேரேடி மற்றும் டிரோட்டர் ஆகியோரின் பணியிலிருந்து வந்தது; பின்னர் செகெலே, கேட்ஸ் மற்றும் சிலியர், பக், ராஸ், மற்றும் சோலிமோசி உள்ளிட்டோரின் மேம்பாடுகள் மற்றும் தொடர்புடைய கட்டமைப்பு பணிகள் இருந்தபோதிலும், மேல் வரம்பு அடிப்படையில் மாறாமல் உள்ளது. ஊகத்துக்கு ஆதாரமாக, மாட்டோஷெக் மற்றும் ஆலோன்-பூசிட்ச்-ஸோவர்மன் தளத்தில் யூக்ளிடியன் அல்லாத தூரங்களுடன் இந்தப் பிரச்சினையை ஆய்வு செய்து, இந்த யூக்ளிடியன் அல்லாத தூரங்களில் "பெரும்பாலானவை" ஏதோ ஒரு பொருளில் அந்த ஊகத்தைக் கடைப்பிடிக்கின்றன என்பதை நிரூபித்தனர்.

ஆச்சரியமாக, இந்தக் கட்டமைப்பின் முக்கிய கூறுகள், அல்ஜீப்ரா எண் கோட்பாடு எனப்படும் கணிதத்தின் முற்றிலும் வேறுபட்ட பகுதியிலிருந்து வருகின்றன; அது அல்ஜீப்ரா எண் புலங்கள் எனப்படும் முழு எண்களின் விரிவாக்கங்களில் காரணியாக்கம் போன்ற கருத்துகளை ஆய்வு செய்கிறது.

உயர் நிலை பார்வையில், இந்தச் சான்று ஒரு பரிச்சயமான வடிவியல் கருத்துடன் தொடங்கி, அதை எதிர்பாராத திசையில் முன்னெடுக்கிறது.

எர்டோஸின் அசல் கீழ் வரம்பை காஸியன் முழு எண்கள் மூலம் புரிந்துகொள்ளலாம்: $a+bi$ என்ற வடிவிலான எண்கள்; இதில் $a$ மற்றும் $b$ முழு எண்கள், $i$ என்பது $-1$ இன் வர்க்கமூலம். காஸியன் முழு எண்கள் சாதாரண முழு எண்களை விரிவாக்குகின்றன; அவற்றைப் போலவே, பகா எண்களாக தனித்த காரணியாக்கம் போன்ற பண்புகளையும் கொண்டுள்ளன. சாதாரண முழு எண்கள் அல்லது விகிதமுறு எண்களின் இத்தகைய விரிவாக்கங்கள் அல்ஜீப்ரா எண் புலங்கள் என அழைக்கப்படுகின்றன. புதிய வாதம், காஸியன் முழு எண்களை, அல்ஜீப்ரா எண் கோட்பாட்டிலிருந்து வரும் மேலும் சிக்கலான பொதுமைப்படுத்தல்களால் மாற்றுகிறது; அவற்றின் செறிவான சமச்சீர்கள் இன்னும் பல அலகு-நீள வேறுபாடுகளை உருவாக்க முடியும்.

இந்த வாதத்தின் துல்லியமான வடிவம், முடிவிலா கிளாஸ் ஃபீல்டு டவர்ஸ் மற்றும் கோலட்–ஷாஃபரெவிச் கோட்பாடு போன்ற கருவிகளைப் பயன்படுத்தி, வாதத்திற்குத் தேவையான எண் புலங்கள் உண்மையில் உள்ளன என்பதை காட்டுகிறது. இந்தக் கருத்துகள் அல்ஜீப்ரா எண் கோட்பாட்டாளர்களுக்கு நன்கு அறியப்பட்டவை; ஆனால் இக்கருத்துகள் யூக்ளிடியன் தளத்தில் உள்ள வடிவியல் கேள்விகளுக்கு விளைவுகளை ஏற்படுத்தும் என்பது பெரிய ஆச்சரியமாக இருந்தது.

இந்த முடிவு, AI மற்றும் கணிதம் இடையிலான தொடர்பில் ஒரு முக்கிய தருணத்தை குறிக்கிறது: செயலில் உள்ள ஒரு துறையின் மையத்தில் நீண்டகாலமாக திறந்திருந்த ஒரு பிரச்சினையை, ஒரு AI சிஸ்டம் தன்னிச்சையாகத் தீர்த்துள்ளது. இது AI மற்றும் மனித கணிதவியலாளர்கள் இடையிலான புதிய வகை ஒத்துழைப்பின் ஆரம்பக் கண்ணோட்டத்தையும் வழங்குகிறது. இந்தச் சூழலில், வெளிப்புற கணிதவியலாளர்களின் துணைப் பணி, அசல் தீர்வு மட்டும் அளிப்பதை விட மிகவும் செறிவான ஒரு படத்தை வரைகிறது.

தாமஸ் புளூம் துணைக் குறிப்பில் எழுதுவது போல:

“AI உருவாக்கிய ஒரு சான்றின் முக்கியத்துவத்தையும் தாக்கத்தையும் மதிப்பிடும்போது, நான் என்னைக் கேட்டுக்கொள்ளும் கேள்வி இதுதான்: இது இந்தப் பிரச்சினையைப் பற்றி எங்களுக்கு புதிதாக ஏதாவது கற்றுத்தந்ததா? இப்போது நாம் தனித்த வடிவியலைச் சிறப்பாகப் புரிந்துகொள்கிறோமா? என் எண்ணத்தில் பதில் மிதமான அளவு ஆம் என்பதாகும்: இத்தகைய கேள்விகளைப் பற்றி எண் கோட்பாட்டு கட்டமைப்புகள் நாம் சந்தேகித்ததை விட மிகவும் அதிகமாகச் சொல்லக்கூடியவை என்பதை இது காட்டுகிறது; மேலும், தேவையான எண் கோட்பாடு மிகவும் ஆழமானதாக இருக்கலாம். வரவிருக்கும் மாதங்களில், அல்ஜீப்ரா எண் கோட்பாட்டாளர்களில் பலர் தனித்த வடிவியலின் பிற திறந்த பிரச்சினைகளை நெருக்கமாகப் பார்ப்பார்கள் என்பதில் சந்தேகமில்லை.”

தீர்வு வெளிப்படுத்திய அல்ஜீப்ரா எண் கோட்பாடு மற்றும் தனித்த வடிவியல் இடையிலான எதிர்பாராத தொடர்பே இந்த முடிவை குறிப்பிடத்தக்கதாக்கும் காரணங்களில் ஒன்று. இது ஒரு குறிப்பிட்ட ஊகத்தைத் தீர்ப்பதிலேயே முடிவதில்லை; மாறாக, மேலும் தொடர்புடைய பிரச்சினைகளை ஆராயத் தொடங்க கணிதவியலாளர்களுக்கு ஒரு பாலமாக அமையலாம்.

புளூம் மேலும் ஒரு விரிவான சாத்தியத்தைச் சுட்டிக்காட்டுகிறார்:

“அறிவின் எல்லைகள் மிகவும் கூர்மையானவை; வரவிருக்கும் மாதங்களிலும் ஆண்டுகளிலும், கணிதத்தின் பல பகுதிகளில் இதேபோன்ற வெற்றிகள் நிகழும் என்பதில் சந்தேகமில்லை. அங்கு நீண்டகால திறந்த பிரச்சினைகள், எதிர்பாராத தொடர்புகளை வெளிப்படுத்தி, ஏற்கனவே உள்ள தொழில்நுட்ப அமைப்புகளை அதன் எல்லை வரை தள்ளும் AI மூலம் தீர்க்கப்படும். பல நூற்றாண்டுகளாக நாம் கட்டிய கணிதக் கோட்பாடுகளை மேலும் முழுமையாக ஆராய AI எங்களுக்கு உதவுகிறது; இன்னும் காணப்படாத எந்த அதிசயங்கள் பின்னணியில் காத்திருக்கின்றன?”

இந்த முடிவு ஒரு நம்பிக்கையூட்டும் எடுத்துக்காட்டை வழங்குகிறது: AI ஒரு தீர்வை மட்டும் அல்ல, பின்னர் வரும் மனிதப் புரிதலின் மூலம் அதன் முக்கியத்துவம் மேலும் தெளிவாகவும் செறிவாகவும் ஆகும் ஒரு கணிதக் கண்டுபிடிப்பையும் வழங்குகிறது.

இதிலிருந்து பெற வேண்டிய கருத்து, இந்த குறிப்பிட்ட முடிவை விட பெரியது. மேம்பட்ட கணித ரீஸனிங், AI-ஐ வலுவான ஆராய்ச்சி கூட்டாளியாக மாற்ற முடியும்: கடினமான சிந்தனைத் தொடர்களை ஒருங்கிணைத்து வைத்திருக்கவும், அறிவின் தொலைதூர பகுதிகளுக்கிடையில் கருத்துகளை இணைக்கவும், நிபுணர்கள் முன்னுரிமை அளிக்காமல் இருக்கக்கூடிய நம்பிக்கையூட்டும் பாதைகளை வெளிக்கொணரவும், இல்லையெனில் மிகச் சிக்கலான அல்லது அதிக நேரம் தேவைப்படும் பிரச்சினைகளில் ஆராய்ச்சியாளர்கள் முன்னேற உதவவும் கூடிய ஒன்றாக இருக்கும்.

அந்த திறன்கள் கணிதத்தைத் தாண்டியும் முக்கியமானவை. ஒரு மாடல் சிக்கலான வாதத்தை ஒழுங்காக வைத்திருக்கவும், அறிவின் தொலைதூர பகுதிகளுக்கிடையில் கருத்துகளை இணைக்கவும், நிபுணர் ஆய்வைத் தாங்கும் பணியை உருவாக்கவும் முடிந்தால், அவை உயிரியல், இயற்பியல், பொருள் அறிவியல், பொறியியல், மற்றும் மருத்துவத்திலும் பயனுள்ள திறன்களாகும்; மேலும், விஞ்ஞானிகளும் பொறியாளர்களும் மேலும் பல கருத்துகளை ஆராயவும் கடினமான தொழில்நுட்பக் கேள்விகளைத் தொடரவும் உதவும், அதிக தானியக்கமடைந்த ஆராய்ச்சிக்கான எங்கள் நீண்டகால பாதையின் ஒரு பகுதியாகவும் அவை உள்ளன.

ஆராய்ச்சியின் படைப்பாற்றல் சார்ந்த பகுதிகளில், குறிப்பாக AI ஆராய்ச்சியிலேயே, AI மிகவும் முக்கியமான பங்கை ஏற்கத் தொடங்கியுள்ளது. இந்த முன்னேற்றம் எதிர்பாராததல்ல என்றாலும், AI வளர்ச்சியின் இந்த அடுத்த கட்டத்தைப் புரிந்துகொள்வது, மிகுந்த புத்திசாலித்தனமான சிஸ்டங்களை ஒழுங்குபடுத்தும் சவால்கள், மற்றும் மனித-AI ஒத்துழைப்பின் எதிர்காலம் ஆகியவற்றைப் பற்றிய எங்கள் அவசர உணர்வை இது மேலும் வலுப்படுத்துகிறது.

அந்த எதிர்காலம் இன்னும் மனிதத் தீர்மானத்தையே சார்ந்துள்ளது. நிபுணத்துவத்தின் மதிப்பு குறைவதில்லை; அதிகரிக்கிறது. AI தேடவும், பரிந்துரைக்கவும், சரிபார்க்கவும் உதவ முடியும். எந்தப் பிரச்சினைகள் முக்கியம் என்பதை மனிதர்களே தேர்வு செய்கிறார்கள், முடிவுகளை விளக்குகிறார்கள், அடுத்து எந்தக் கேள்விகளைத் தொடர வேண்டும் என்பதையும் தீர்மானிக்கிறார்கள்.