Kuhusu Tatizo la Navier–Stokes la Tuzo ya Milenia

Tunashiriki suluhisho la tatizo la kuwepo na ulaini la Navier–Stokes, mojawapo ya Matatizo ya Tuzo ya Milenia. Uthibitisho huu, uliotolewa na mfumo wa ndani wa OpenAI, unaonyesha kuwa mienendo ya milinganyo ya Navier–Stokes ya mwendo wa viowevu inaweza kuunda upekee ndani ya muda wenye kikomo. Tunashiriki maelezo ya uthibitisho pamoja na urasimishaji wake katika Lean.

Matatizo ya Tuzo ya Milenia⁠(fungua katika dirisha jipya) yanawakilisha baadhi ya maswali ya kina zaidi katika mpaka wa hisabati. Swali la iwapo mwendo laini wa kiowevu chenye vipimo vitatu unaweza kuvurugika halijatatuliwa kwa takribani miaka 90.

Lengo kuu la kazi yetu ni kuwawezesha wanasayansi kuendeleza utafiti na teknolojia zinazowanufaisha wanadamu wote. Ili kutatua tatizo la Navier–Stokes, tulitumia muundo wa ndani wenye uwezo mkubwa zaidi kuliko GPT‑6 Astra. Tunaamini ni muhimu kuufahamisha ulimwengu kuhusu kasi ya maendeleo ya AI na mambo ya kutarajia kutoka kwa miundo ijayo.

Milinganyo ya Navier–Stokes hutumia sheria ya pili ya Newton ya mwendo (“F=ma”) kueleza jinsi viowevu vinavyosonga. Muhimu zaidi, milinganyo hiyo huchukulia kiowevu kuwa kitu endelevu badala ya kufuatilia kila molekuli. Milinganyo hii hutumiwa katika usanifu wa ndege, utabiri wa hali ya hewa na utafiti wa mtiririko wa damu.

Swali la msingi ambalo halijajibiwa kuhusu milinganyo hii ya mienendo ni iwapo ukadiriaji endelevu wa kiowevu unaweza kuvurugika. Hususan, je, milinganyo ya Navier–Stokes ya kiowevu kisichobanika chenye vipimo vitatu na msongamano usiobadilika inaweza kuunda “upekee,” hata ikiwa mwendo unaanza kwa ulaini? Hapa, upekee unamaanisha kuwa mienendo husababisha kasi ndani ya kiowevu kuongezeka bila kikomo katika muda wenye kikomo. Upekee huo ungelazimika kuundwa licha ya mnato, ambao kwa kawaida hulainisha mwendo. Kwa kuwa kiowevu halisi hakiwezi kusonga kwa kasi isiyo na kikomo, hali hii ingeonyesha kuvurugika kwa jinsi milinganyo inavyowakilisha kiowevu. Ili kuendelea kuwakilisha mfumo, ingehitajika kufuatilia tabia ya kila chembe kivyake.

Milinganyo hii ilitokana na kazi za karne ya kumi na tisa za Claude-Louis Navier na George Gabriel Stokes. Mnamo 1934, Jean Leray alithibitisha kuwa suluhisho zipo kwa maana ya jumla, lakini iwapo daima hubaki laini likawa swali kuu lisilojibiwa. Mnamo 2000, Taasisi ya Hisabati ya Clay ilitaja tatizo la kuwepo na ulaini la Navier–Stokes kuwa mojawapo ya Matatizo saba ya Tuzo ya Milenia.

Mfumo wetu ulitoa uthibitisho wa uchanganuzi na urasimishaji katika Lean kwamba kiowevu laini ambacho mwanzoni kimetulia kinaweza kuunda upekee ndani ya muda wenye kikomo. Nguvu laini huwekwa kwenye kiowevu, huku nishati yake ikibaki na kikomo katika mienendo yote, kuanzia hali ya utulivu hadi kuundwa kwa upekee. Hili linatatua tatizo la Navier–Stokes la Tuzo ya Milenia kwa kuthibitisha kauli “C” (na pia “D”) katika ufafanuzi rasmi wa Tuzo ya Milenia⁠(fungua katika dirisha jipya).

Suluhisho ni kimbunga cha kiowevu kinachozunguka, kinachojikunja kuelekea ndani na kurefuka zaidi na zaidi kama tambi. Eneo hili la katikati husinyaa huku kasi yake ikiongezeka kwa namna ambayo nishati yake hubaki na kikomo, kama sheria za fizikia zinavyohitaji. Changamoto ya kiufundi ni kufanya milinganyo iunde mvurugiko kupitia mwendo wenyewe wa kiowevu, badala ya, kwa mfano, sisi kuweka nguvu isiyo na kikomo moja kwa moja. Kwa lugha ya kihisabati zaidi, vipengele vya milinganyo ya Navier–Stokes vinavyoeleza mwendo—mchapuko, miteremko ya shinikizo, uhamishaji wa momentamu na mnato—lazima viwe vikubwa lakini pia vifutane kwa usahihi. Usawazishaji huu makini huacha nguvu laini ya nje hata kasi ya kiowevu inapoongezeka bila kikomo.

Tangu Agosti 28 tumekuwa tukufunza muundo mpya wa ndani ambao umeonyesha utendaji usio na kifani katika vipimo vyetu, vikiwemo vya hisabati. Mafunzo ya muundo huu yanaendelea, na utendaji wake unaendelea kuboreka.

Jumanne, Septemba 1, tulisikia fununu kwamba Matatizo mawili ya Tuzo ya Milenia yalikuwa yametatuliwa. Kwa kuchochewa na fununu hizo na ongezeko kubwa la utendaji wa muundo wetu wa ndani, tulianza juhudi za kuutathmini kwa Matatizo yote ya Tuzo ya Milenia ambayo hayajatatuliwa na matatizo mengine machache yenye athari kubwa.

Tulitumia mfumo wa wakala wanaoratibiwa unaoendeshwa na muundo wetu wa ndani. Wakala walikuwa na zana kama uwezo wa kusoma nakala ya intaneti iliyohifadhiwa na uwezo wa kutekeleza msimbo. Wakala waligawanywa katika vikundi vilivyoweza kuwasiliana ndani ya kila kikundi. Vikundi vilitofautiana kwa ukubwa, na kikundi kilichotoa suluhisho la Navier–Stokes kilikuwa na takribani wakala 10,000 waliofanya kazi kwa wakati mmoja. Wakati wote tulidumisha ulinzi mkali uleule tunaotumia katika tathmini zote za miundo yetu ya mpaka, ikiwemo ufuatiliaji na utengaji.

Kwa kila tatizo, tulivipa vikundi tofauti vya wakala matoleo tofauti ya maelezo ya tatizo, yaliyojumuisha aina zake zote. Kwa tatizo la Navier–Stokes, tulipendekeza matoleo “A” na “B” (aina mahususi za tatizo la Navier–Stokes ambazo zingetoa uthibitisho) na matoleo “C” na “D” (ambayo yangetoa ukanushaji) kwa vikundi tofauti vya wakala.

Mbali na Matatizo kamili ya Tuzo ya Milenia, tuliomba mfumo wetu wa wakala wengi ujaribu seti ya matatizo “rahisi zaidi.” Mojawapo lilikuwa swali sawa kuhusu mlipuko wa suluhisho katika kikomo cha tatizo la Navier–Stokes baada ya kuondoa kipengele cha mnato. Hili linajulikana kama tatizo la ulaini wa milinganyo ya Euler, na wakala wetu walitushangaza kwa kulitatua. Aina mahususi ya swali walilotatua ilikuwa toleo lisilo na nguvu ya nje, ambapo hakuna nguvu ya nje inayowekwa kwenye kiowevu. Takribani wakala 100 walifanya kazi pamoja kwa karibu saa 50 ili kutoa ukanushaji wetu wa ulaini wa Euler¹.

Baada ya kuona suluhisho la Euler, tuliona Navier–Stokes kuwa tatizo lenye matumaini zaidi ya kufanyiwa kazi. Kwa hiyo, tuliamua kuelekeza rasilimali zetu kwa Navier–Stokes. Ili kufanya hivyo, tuliwaondoa wakala kutoka Matatizo mengine ya Milenia na kuwapa suluhisho la Euler kama kidokezo. Toleo lililofunzwa zaidi la muundo wetu wa ndani lilipopatikana wakati wa juhudi hizo, tuliwasasisha wakala wetu watumie muundo huo.

Tulihimiza vikundi tofauti vya wakala kuchunguza mbinu mbalimbali. Baada ya muda, tulibadilishana maarifa kati ya vikundi vya wakala kwa kutumia Codex kuunganisha hoja muhimu zaidi kutoka kwa kila kikundi. Vidokezo hivi vya ufuatiliaji vilitumia matokeo ya kati ya wakala wenyewe. Kikundi kilichopata suluhisho la Navier–Stokes kiliongozwa kwa njia hiyo.

Wakala walifikia suluhisho lao Jumamosi, Septemba 5, takribani saa 88 baada ya wakala wa kwanza kuanzishwa. Urasimishaji na uthibitishaji katika Lean ulichukua saa 17 zaidi kupitia GPT‑6 Astra.

Katika matatizo yote yaliyojaribiwa, wakala walituma ujumbe milioni 4.9 na kutumia takribani tokeni bilioni 300 za matokeo. Katika kutatua tatizo la Navier–Stokes, wakala walituma ujumbe milioni 2.7 na kutumia takribani tokeni bilioni 130 za matokeo.

Juhudi zetu zilianza Septemba 1 baada ya kusikia fununu ambayo baadaye tuligundua ilihusiana na Levent Alpöge, mfanyakazi wa Anthropic, na Tristan Buckmaster, profesa wa hisabati katika NYU.² Baada ya kukamilisha mradi wetu kamili na uthibitishaji wa Lean (Septemba 6), tukiamini kutokana na fununu hiyo kwamba wao pia walikuwa na suluhisho la Navier–Stokes, tuliwasiliana nao na kupendekeza tutoe matokeo yetu kwa wakati mmoja na kutambua kwamba walikuwa wa kwanza katika tangazo la pamoja. Ndipo tulipogundua kwamba, kwa kutumia muundo wa ndani wa Anthropic, walikuwa wametoa suluhisho la tatizo la Euler lenye nguvu ya nje. Katika majadiliano hayo tuliwapa fursa ya kuona vidokezo vyote tulivyotumia na baadaye kuona uthibitisho. Tunatambua kwamba walikuwa wa kwanza kufanya kazi kuhusu Euler yenye nguvu ya nje na tunawapongeza kwa mafanikio yao ya kipekee ya kihisabati.

Sisi (watafiti na wakala) hatukuona kazi yao kwa njia yoyote hadi walipoitoa hadharani—hususan, hakuna data mahususi ya watumiaji iliyofikiwa ili kutatua tatizo hili.

Baada ya uchunguzi, tumethibitisha kuwa vidokezo vya Codex vya Buckmaster katika miezi miwili kabla ya tangazo hili na makala ya Septemba 8, 2026, havingeweza kuathiri mfumo kwa njia yoyote, ikiwemo kupitia mafunzo. Muundo wa ndani wa OpenAI uliotumika kupata matokeo haya uliundwa kupitia mafunzo ya uimarishaji ya kiwango kikubwa juu ya muundo uliokuwa umefunzwa awali. Uthibitisho wetu pia unatofautiana kwa kiasi kikubwa. Kwa Euler, Alpöge na Buckmaster walithibitisha matokeo yenye nguvu ya nje, huku mfumo wa OpenAI ukithibitisha matokeo yasiyo na nguvu ya nje.

Lengo letu la kutoa matokeo haya ni kuripoti maendeleo makubwa ya miundo yetu ya AI. Hatuna nia ya kudai Tuzo ya Milenia kwa matokeo haya.

Hatua hii muhimu inawakilisha kazi kubwa ya wanahisabati na watafiti wa AI. Hata hivyo, huu si mwisho, bali ni picha ya maendeleo ya AI kwa wakati huu.

Tunaamini sasa tumeingia katika kipindi kinachofuata cha maendeleo ya AI⁠, na matokeo ya leo yanatoa ushahidi zaidi wa hilo. Tunalenga kuelewa muundo huu na kutumia tunayojifunza kutusaidia kuongoza na kudhibiti kasi ya maendeleo zaidi ya uwezo. Mojawapo ya malengo yetu muhimu⁠ ni kuunda mifumo ya AI inayoweza kuongozwa, kuwajibika na kushikamana na watu. Huenda hili likahitaji maamuzi ya makusudi zaidi kuhusu kasi ya maendeleo tunapoendelea na dhamira yetu ya kuhakikisha AGI inawanufaisha wanadamu wote.