Muundo wa OpenAI umekanusha dhana kuu katika jiometri ya diskreti

Kwa karibu miaka 80, wanahisabati wamechunguza swali linaloonekana rahisi kwa udanganyifu: ukiweka pointi $n$ kwenye ndege, ni jozi ngapi za pointi zinaweza kuwa kwa umbali wa $1$ hasa?

Hili ni tatizo la umbali wa kipeo cha bapa, lililoulizwa kwa mara ya kwanza na Paul Erdős mnamo mwaka 1946. Ni mojawapo ya maswali yanayojulikana sana katika jiometri mchanganyiko, ambalo ni rahisi kulieleza lakini ni gumu sana kulitatua. Kitabu cha 2005 Research Problems in Discrete Geometry, cha Brass, Moser, na Pach, kinakiita “labda tatizo linalojulikana zaidi (na rahisi zaidi kuelezea) katika jiometri ya mchanganyiko.” Noga Alon, mwanahisabati mtaalamu wa jiometri ya mchanganyiko huko Princeton, analielezea tatizo hili kama “mojawapo ya matatizo yaliyopendwa zaidi na Erdős.” Erdős hata alitoa tuzo ya pesa kwa yeyote atakayelitatua tatizo hili.

Leo, tunashiriki hatua kubwa kwenye tatizo la umbali wa kitengo. Tangu kazi ya awali ya Erdős, imani iliyotawala imekuwa kwamba miundo ya “gridi ya mraba” iliyoonyeshwa chini zaidi ilikuwa karibu bora kabisa kwa kuongeza idadi ya jozi za umbali wa kitengo. Muundo wa ndani wa OpenAI umekanusha dhana hii ya muda mrefu, ukitoa familia isiyo na kikomo ya mifano inayotoa uboreshaji wa polinomu. Ushahidi huo umekaguliwa na kundi la wanahisabati wa nje. Pia wameandika karatasi ya ziada inayoeleza hoja hiyo na kutoa historia na muktadha zaidi kuhusu umuhimu wa matokeo.

Matokeo haya pia yanajulikana kwa jinsi yalivyopatikana. Ushahidi ulitoka kwa muundo mpya wa uwazaji wa matumizi ya jumla, badala ya mfumo uliofunzwa mahsusi kwa hisabati, ulioundwa kutafuta mikakati ya ushahidi, au uliolengwa hasa kwa tatizo la umbali wa kitengo. Kama sehemu ya juhudi pana za kupima kama miundo ya hali ya juu inaweza kuchangia utafiti wa mipaka ya maarifa, tuliitathmini kwa mkusanyiko wa matatizo ya Erdős. Katika hali hii, ilitoa ushahidi uliotatua tatizo lililo wazi.

Ushahidi huu ni hatua muhimu kwa jamii za hisabati na AI. Hii ni mara ya kwanza kwa tatizo wazi maarufu, lililo katikati ya tawi dogo la hisabati, kutatuliwa kwa kujitegemea na AI. Pia inaonyesha kina cha uwazaji ambacho mifumo hii sasa inaunga mkono. Hisabati hutoa mazingira wazi hasa ya kupima uwazaji: matatizo ni sahihi, ushahidi unaowezekana unaweza kukaguliwa, na hoja ndefu hufanya kazi tu ikiwa uwazaji unashikamana kutoka mwanzo hadi mwisho. Mbinu ambayo tatizo lilitatuliwa nayo pia ni ya kutambulika. Ushahidi huu unaleta mawazo yasiyotarajiwa na ya hali ya juu kutoka nadharia ya namba za aljebra kwenye swali la msingi la jiometri.

Mshindi wa Medali ya Fields Tim Gowers, akiandika katika karatasi ya ziada, anaita matokeo haya “hatua muhimu katika hisabati ya AI.” Kulingana na mtaalamu mashuhuri wa nadharia ya namba Arul Shankar, “Kwa maoni yangu karatasi hii inaonyesha kwamba miundo ya sasa ya AI imevuka kuwa wasaidizi tu wa wanahisabati wa binadamu – ina uwezo wa kuwa na mawazo asilia ya kiubunifu, na kisha kuyatekeleza hadi kukamilika”.

Ushahidi unapatikana hapa⁠(fungua katika dirisha jipya). Karatasi ya ziada ya wanahisabati mashuhuri wa nje inapatikana hapa⁠(fungua katika dirisha jipya). Unaweza kupata toleo lililofupishwa la msururu wa mawazo wa muundo hapa⁠(fungua katika dirisha jipya).

Wacha $u(n)$ iwe idadi kubwa zaidi inayowezekana ya jozi za umbali wa kipeo kati ya pointi $n$ kwenye bapa. Mifano inayofikia kasi ya ukuaji wa mstari ni rahisi kuunda: kuweka pointi $n$ kwenye mstari mmoja kunatoa jozi $n-1$, wakati gridi ya mraba inatoa takriban jozi $2n$. Muundo uliojulikana zaidi hapo awali, unaotokana na gridi ya mraba iliyorekebishwa, unaonekana kutoa zaidi: $n^{1 + C / \log \log(n)}$ kwa ajili ya $C$ isiyobadilika. Kwa kuwa $\log \log(n)$ inaelekea kwenye upeo usio na mwisho kadiri $n$ inavyoongezeka, namba ya ziada kwenye kipeo inaelekea kwenye $0$, ikimaanisha miundo hii inafikia ukuaji wa kasi kubwa kidogo tu kuliko ule wa mstari. Kwa miongo kadhaa, iliaminika sana kwamba kiwango hiki kimsingi kilikuwa bora zaidi, na hakuna muundo ambao ungeweza kuboreshwa kwa kiasi kikubwa zaidi ya gridi ya mraba. Kwa lugha ya kiufundi, Erdős alikisia mpaka wa juu wa $n^{1+o(1)}$ ambapo $o(1)$ ya ziada inaonyesha neno linaloelekea $0$ pamoja na $n$.

Matokeo yetu mapya yanatangua dhana hii. Kwa usahihi zaidi, kwa thamani nyingi zisizo na kikomo za $n$, ushahidi hujenga usanidi wa pointi $n$ zenye angalau jozi $n^{1+\delta }$ za umbali wa kitengo, kwa kipeo fulani kisichobadilika $\delta > 0$. (Uthibitisho wa asili wa AI hautoi thamani dhahiri ya $\delta$, lakini maboresho ya hivi karibuni yaliyofanywa na profesa wa hisabati wa Chuo Kikuu cha Princeton, Will Sawin, yameonyesha kuwa mtu anaweza kuchukua $\delta=0.014$.)

Historia ya tatizo hili inasaidia kuelewa kwa nini matokeo yake yanashangaza. Kikomo cha chini kilichojulikana zaidi hakikuwa kimebadilika tangu muundo wa asili wa Erdős wa 1946. Kikomo cha juu kilichojulikana zaidi, $O(n^{4/3})$, kinatokana na kazi ya Spencer, Szemerédi, na Trotter mwaka wa 1984, na licha ya maboresho ya baadaye na kazi zinazohusiana za kimuundo za Székely, Katz na Silier, Pach, Raz, na Solymosi na wengine, kikomo hicho cha juu kimebaki bila kubadilika. Kama ushahidi unaounga mkono dhana hiyo, Matoušek na Alon-Bucić-Sauermann walichunguza tatizo hili kwa umbali usio wa Euclidean kwenye bapa, na wakathibitisha kwamba "sehemu kubwa" ya umbali huo usio wa Euclidean inafuata dhana hiyo kwa namna fulani.

Kwa kushangaza, viambato muhimu vya muundo huu vinatoka katika sehemu tofauti sana ya hisabati inayojulikana kama nadharia ya namba za aljebra, inayochunguza dhana kama vile mengelezo katika upanuzi wa nambari kamili zinazojulikana kama nyanja za nambari za aljebra.

Kwa kiwango cha juu, ushahidi huanza na wazo la kawaida la jiometri na kulisukuma katika mwelekeo usiotarajiwa.

Kikomo cha chini cha awali cha Erdős kinaweza kueleweka kupitia namba kamili za Gaussian: namba za umbo $a+bi$, ambapo $a$ na $b$ ni namba kamili na $i$ ni mzizi wa mraba wa $-1$. Namba kamili za Gaussian huongeza namba kamili za kawaida na, kama zilivyo, zina sifa kama ufaktorishaji wa kipekee katika namba msingi. Upanuzi kama huu wa namba kamili za kawaida au za kirasheni hujulikana kama nyuga za namba za aljebra. Hoja mpya inabadilisha namba kamili za Gaussian kwa ujanibishaji mgumu zaidi kutoka nadharia ya namba za aljebra wenye simetria tajiri zaidi zinazoweza kuunda tofauti nyingi zaidi za urefu wa kitengo.

Hoja sahihi hutumia zana kama minara isiyo na kikomo ya nyuga za darasa na nadharia ya Golod–Shafarevich kuonyesha kwamba nyuga za namba zinazohitajika kwa hoja hiyo zipo kweli. Mawazo haya yalijulikana vyema kwa wataalamu wa nadharia ya namba za aljebra, lakini ilikuja kama mshangao mkubwa kwamba dhana hizi zina athari kwa maswali ya jiometri katika ndege ya Euclidean.

Matokeo haya yanaashiria wakati muhimu katika mwingiliano kati ya AI na hisabati: mfumo wa AI umetatua kwa kujitegemea tatizo wazi la muda mrefu lililo katikati ya uga unaofanya kazi. Pia yanatoa mwangaza wa mapema wa aina mpya ya ushirikiano kati ya AI na wanahisabati wa binadamu. Katika hali hii, kazi ya ziada ya wanahisabati wa nje inatoa picha tajiri zaidi kwa kiasi kikubwa kuliko suluhisho la awali pekee.

Kama Thomas Bloom anavyoandika katika dokezo la ziada:

“Ninapotathmini umuhimu na ushawishi wa ushahidi uliotengenezwa na AI, swali ninajiuliza ni hili: je, umetufundisha jambo jipya kuhusu tatizo hili? Je, sasa tunaelewa jiometri ya diskreti vizuri zaidi? Nafikiri jibu ni ndiyo ya kiasi: hii inaonyesha kwamba miundo ya nadharia ya namba ina mengi zaidi ya kusema kuhusu aina hizi za maswali kuliko tulivyodhani; zaidi ya hayo, kwamba nadharia ya namba inayohitajika inaweza kuwa ya kina sana. Bila shaka wataalamu wengi wa nadharia ya namba za aljebra wataangalia kwa karibu matatizo mengine wazi katika jiometri ya diskreti katika miezi ijayo.”

Muunganisho usiotarajiwa kati ya nadharia ya namba za aljebra na jiometri ya diskreti uliofichuliwa na suluhisho ni sehemu ya kinachofanya matokeo haya yawe ya kutambulika. Hayatatui tu dhana maalum, bali yanaweza kuwapa wanahisabati daraja la kuanza kuchunguza matatizo mengine yanayohusiana.

Bloom pia anaelekeza kwenye uwezekano mpana zaidi:

“Mipaka ya maarifa ina miiba mingi, na bila shaka miezi na miaka ijayo itaona mafanikio yanayofanana katika maeneo mengine mengi ya hisabati, ambapo matatizo ya muda mrefu yaliyo wazi yanatatuliwa na AI ikifichua miunganisho isiyotarajiwa na kusukuma mashine iliyopo ya kiufundi hadi kikomo chake. AI inatusaidia kuchunguza kwa ukamilifu zaidi kanisa kuu la hisabati ambalo tumejenga kwa karne nyingi; ni maajabu gani mengine yasiyoonekana yanayosubiri pembeni?”

Matokeo haya yanatoa mfano wa kuahidi: AI ikichangia si suluhisho tu, bali ugunduzi wa kihisabati ambao umuhimu wake huwa wazi na tajiri zaidi kupitia uelewa wa baadaye wa binadamu.

Funzo kuu ni kubwa kuliko matokeo haya mahususi. Uwazaji bora wa kihisabati unaweza kuifanya AI kuwa mshirika imara zaidi wa utafiti: kitu kinachoweza kushikilia pamoja mistari migumu ya mawazo, kuunganisha mawazo katika maeneo ya maarifa yaliyo mbali, kuibua njia za kuahidi ambazo wataalamu huenda hawakuzipa kipaumbele, na kusaidia watafiti kusonga mbele kwenye matatizo ambayo vinginevyo yangekuwa magumu sana au yangehitaji muda mwingi kushughulikia.

Uwezo huo una umuhimu zaidi ya hisabati. Ikiwa muundo unaweza kuweka hoja tata ikiwa thabiti, kuunganisha mawazo katika maeneo ya maarifa yaliyo mbali, na kutoa kazi inayostahimili uchunguzi wa wataalamu, basi huo pia ni uwezo wenye manufaa katika biolojia, fizikia, sayansi ya nyenzo, uhandisi, na tiba, na ni sehemu ya njia yetu ya muda mrefu kuelekea utafiti uliootomatishwa zaidi: mifumo inayoweza kusaidia wanasayansi na wahandisi kuchunguza mawazo mengi zaidi na kufuatilia maswali magumu zaidi ya kiufundi.

AI iko karibu kuanza kuchukua jukumu zito sana katika sehemu za ubunifu za utafiti, na muhimu zaidi utafiti wa AI wenyewe. Ingawa maendeleo haya hayashangazi, yanaimarisha uharaka tunaohisi kuhusu kuelewa awamu hii inayofuata ya maendeleo ya AI, changamoto za kuoanisha mifumo yenye akili sana, na mustakabali wa ushirikiano kati ya binadamu na AI.

Mustakabali huo bado unategemea uamuzi wa binadamu. Utaalamu unakuwa wa thamani zaidi, si chini. AI inaweza kusaidia kutafuta, kupendekeza, na kuthibitisha. Watu huchagua matatizo yaliyo muhimu, hutafsiri matokeo, na kuamua ni maswali gani yafuatiliwe baadaye.