Tio framsteg inom matematik och teoretisk datavetenskap

Vi vill ge forskare och matematiker verktyg som påskyndar nya upptäckter. Därför presenterade vi nyligen ChatGPT för akademiska forskare⁠, ett initiativ som ger 100 000 forskare och matematiker kostnadsfri tillgång till våra bästa ChatGPT‑modeller. Vi fortsätter också att utvärdera våra modeller på öppna forskningsproblem under utvecklingen.

I maj presenterade vi ett AI-genererat motbevis⁠ till Erdős förmodan om enhetsavstånd, som upptäcktes när vi utvärderade en ännu inte lanserad modell. Detta arbete har redan inspirerat till ytterligare framsteg inom matematik och teoretisk datavetenskap¹. I dag presenterar vi tio resultat som vart och ett löser eller innebär betydande framsteg för ett öppet problem som länge saknat en lösning. Problemen spänner över högdimensionell geometri, kodningsteori, aritmetisk kretskomplexitet, gruppteori, operatoralgebror, kvantkomplexitet, gitterbaserad kryptografi och extremal kombinatorik. Samtliga problem är av stort intresse för sina respektive matematiska forskningsfält, och flera är av brett intresse för matematiken som helhet.

Vi presenterar nya resultat för följande problem. Resultaten togs fram av en intern version av Astra, vår nästa stora modell. Det totala antalet token som krävdes för att hitta lösningar på dessa problem skulle kosta omkring 2 000 dollar enligt Sol API:s priser. Därefter omvandlade människor argumenten till manuskript med hjälp av samma modell. Sedan formaliserade modellen varje argument i ett Lean-certifikat⁠(öppnas i ett nytt fönster). För varje lösning publicerar vi även en modells redogörelse för sin tankeprocess.

1. Sfärpackning i höga dimensioner. Nya övre gränser för sfärpackningstäthet ned till Cohn–Elkies-tröskeln.
2. Binära och sfäriska koder: Exponentiellt förbättrade gränser för den maximala storleken på binära koder vid ett givet minimiavstånd, med motsvarande resultat för högdimensionella sfäriska koder.
3. Icke-sofiska grupper. En konstruktion som visar att icke-sofiska grupper existerar och besvarar en central öppen fråga inom gruppteorin.
4. Connes rigiditetsförmodan. Ett motbevis till den mångåriga förmodan att vissa grupper entydigt bestäms av sina von Neumann-algebror.
5. Aritmetisk kretskomplexitet. Nya undre gränser för beräkning av permanenten med aritmetiska kretsar och formler, däribland en undre gräns av storleksordningen n⁴/log n för aritmetiska formler.
6. Parallell kvantrepetition. En exponentiell sats om parallell repetition för allmänna kvantspel med två spelare, som utvidgar en grundläggande princip från klassisk komplexitetsteori.
7. Problemet med den närmaste vektorn. Approximeringssvårighet inom en polynomfaktor för problemet med den närmaste vektorn, en grundläggande gitterfråga med koppling till postkvantkryptografi.
8. Ehrharts volymförmodan. Att i varje dimension bestämma största möjliga volym för en konvex kropp vars tyngdpunkt är dess enda inre gitterpunkt.
9. Flerfärgade Ramseytal. En superexponentiell undre gräns för flerfärgade triangulära Ramseytal, vilket löser Erdős problem 183.
10. Förmodanden om extremaltal. Resultat om kompakthets- och degenerationsförmodandena inom extremal grafteori, vilket löser Erdős problem 146 och 180.

Framväxten av system som kan bidra till matematisk forskning väcker frågor som ett teknikföretag inte kan besvara på egen hand. Det finns många uppfattningar om AI:s roll inom matematiken, och vi har djup respekt och förståelse för dem som oroar sig över dess inverkan, däribland undertecknarna av Leidendeklarationen om AI och matematik⁠(öppnas i ett nytt fönster). Vi anser att upphovsangivelsen ärligt bör återspegla hur ett resultat har tagits fram. Att tillskriva en människa ett bevis som helt har genererats av ett AI-system skulle ge en missvisande bild av både systemets bidrag och vad genuint mänskligt intellektuellt arbete innebär. Vi hjälpte till att färdigställa manuskripten och formalisera bevisen i Lean, och vi tar ansvar för att de är korrekta, medan de matematiska argumenten i sig genererades av vårt system. Vi hoppas att matematikvärlden granskar dessa resultat ingående, sätter dem i sitt sammanhang och vidareutvecklar idéerna bakom dem genom ny forskning och nya upptäckter.

När AI-system utvecklas till allt mer avancerade forskningspartner är bred tillgång en grundförutsättning för att stödja forskare och matematiker när de utforskar och formar framtiden för sina områden i denna omvälvande tid.