Om millennieproblemet Navier–Stokes

Vi presenterar en lösning på Navier–Stokes existens- och regularitetsproblem, ett av millennieproblemen. Beviset, som tagits fram av ett internt OpenAI-system, visar att dynamiken i Navier–Stokes-ekvationerna för fluidrörelser kan utveckla en singularitet på ändlig tid. Vi publicerar både en redogörelse för beviset och en formalisering i Lean.

Millennieproblemen⁠(öppnas i ett nytt fönster) hör till de djupaste frågorna vid matematikens forskningsfront. Frågan om huruvida en jämn tredimensionell fluidrörelse kan bryta samman har varit olöst i omkring 90 år.

Ett viktigt mål med vårt arbete är att ge forskare bättre möjligheter att utveckla forskning och teknik som gynnar hela mänskligheten. För att lösa Navier–Stokes-problemet använde vi en intern Modell som är betydligt mer kapabel än GPT‑6 Astra. Vi anser att det är viktigt att informera om hur snabbt AI utvecklas och vad man kan förvänta sig av kommande modeller.

Navier–Stokes-ekvationerna använder Newtons andra rörelselag (”F=ma”) för att beskriva hur fluider rör sig. En viktig aspekt är att de behandlar en fluid som ett kontinuerligt medium i stället för att följa enskilda molekyler. Ekvationerna används inom flygplansutformning, väderprognoser och studier av blodflöden.

En grundläggande öppen fråga för dessa dynamiska ekvationer har varit om kontinuumapproximationen av fluiden kan bryta samman. Kan Navier–Stokes-ekvationerna för en tredimensionell inkompressibel fluid med konstant densitet närmare bestämt utveckla en ”singularitet”, även om rörelsen är jämn från början? Här innebär en singularitet att dynamiken får hastigheterna i fluiden att växa obegränsat inom en ändlig tidsrymd. En singularitet skulle behöva uppstå trots viskositeten, som tenderar att jämna ut rörelser. Eftersom en verklig fluid inte kan röra sig oändligt snabbt skulle detta innebära att ekvationernas modellering av fluiden bryter samman. För att fortsätta modellera systemet skulle man då behöva följa varje partikels beteende för sig.

Ekvationerna har sitt ursprung i Claude-Louis Naviers och George Gabriel Stokes arbeten från 1800-talet. År 1934 bevisade Jean Leray att lösningar existerar i generaliserad mening, men frågan om de alltid förblir jämna blev en central olöst fråga. År 2000 utsåg Clay Mathematics Institute Navier–Stokes existens- och regularitetsproblem till ett av sju millennieproblem.

Vårt system tog fram ett analytiskt bevis och en Lean-formalisering som visar att en fluid som från början är jämn och i vila kan utveckla en singularitet på ändlig tid. En jämn kraft verkar på fluiden, och dess energi förblir ändlig under hela förloppet, från vila tills singulariteten bildas. Detta löser millennieproblemet om Navier–Stokes genom att fastställa påstående ”C” (och även ”D”) i den officiella formuleringen av millennieproblemet⁠(öppnas i ett nytt fönster).

Lösningen är en virvel, en roterande fluidström, som spiralformigt dras inåt och blir alltmer utdragen, likt spagetti. Det centrala området krymper samtidigt som det accelererar på ett sådant sätt att energin ändå förblir ändlig, vilket fysikens lagar kräver. Den tekniska utmaningen är att sammanbrottet måste uppstå i ekvationerna genom fluidens egen rörelse, inte genom att vi exempelvis lägger in en oändlig kraft för hand. Mer matematiskt uttryckt måste termerna i Navier–Stokes-ekvationerna som beskriver rörelsen – acceleration, tryckgradienter, momentumöverföring och viskositet – både bli stora och samtidigt ta ut varandra på ett exakt sätt. Denna exakta balans gör att den yttre kraften förblir jämn även när fluidens hastighet växer obegränsat.

Sedan den 28 augusti har vi tränat en ny intern Modell som har visat resultat utan motstycke i våra utvärderingar, bland annat inom matematik. Träningen av denna Modell pågår fortfarande, och dess prestanda fortsätter att förbättras.

Tisdagen den 1 september hörde vi rykten om att två millennieproblem hade lösts. Inspirerade av dessa rykten och av det stora prestandasprånget hos vår interna Modell inledde vi ett arbete för att utvärdera den på alla öppna millennieproblem samt några andra problem med potentiellt stor betydelse.

Vi använde ett system med samordnade agenter som drevs av vår interna Modell. Agenterna hade tillgång till verktyg för att bland annat läsa en cachad version av internet och köra kod. Agenterna delades in i grupper och kunde kommunicera inom respektive grupp. Grupperna var olika stora, och gruppen som löste Navier–Stokes-problemet omfattade omkring 10 000 samtidiga agenter. Vi upprätthöll hela tiden samma strikta skyddsåtgärder som vid alla våra utvärderingar av banbrytande modeller, däribland övervakning och isolering.

För varje problem gav vi olika agentgrupper skilda varianter av problemformuleringen, så att problemets samtliga varianter täcktes. För Navier–Stokes-problemet gav vi separata agentgrupper versionerna ”A” och ”B” (särskilda former av Navier–Stokes-problemet som skulle ge ett bevis) samt versionerna ”C” och ”D” (som skulle ge ett motbevis).

Utöver de fullständiga millennieproblemen bad vi vårt multiagentsystem att försöka lösa en uppsättning ”enklare” problem. Ett av dem var en liknande fråga om blowup för gränsfallet av Navier–Stokes-problemet där viskositetstermen tagits bort. Detta kallas regularitetsproblemet för Euler-ekvationerna, och våra agenter överraskade oss genom att lösa frågan. Den specifika variant som de löste var versionen utan yttre kraft, där ingen extern kraft verkar på fluiden. Nästan 100 agenter samarbetade i cirka 50 timmar för att ta fram vårt motbevis för Euler-regularitet¹.

När vi hade sett Euler-lösningen bedömde vi att Navier–Stokes var det mest lovande problemet att arbeta vidare med. Vi beslutade därför att lägga våra resurser på Navier–Stokes. Vi flyttade då agenter från de andra millennieproblemen och gav dem lösningen på Euler-problemet. När en vidareutbildad version av vår interna Modell blev tillgänglig under arbetets gång uppdaterade vi våra agenter till den modellen.

Vi uppmuntrade de olika agentgrupperna att utforska många olika angreppssätt. Efter en tid lät vi agentgrupperna utbyta idéer genom att använda Codex för att sammanställa de mest användbara insikterna från varje grupp. Dessa uppföljande prompter byggde på agenternas egna delresultat. Gruppen som fann lösningen på Navier–Stokes vägleddes på detta sätt.

Agenterna nådde sin lösning lördagen den 5 september, omkring 88 timmar efter att de första agenterna startades. Lean-formaliseringen och verifieringen via GPT‑6 Astra tog ytterligare 17 timmar.

För samtliga problem som prövades skickade agenterna 4,9 miljoner meddelanden och använde omkring 300 miljarder utdata-token. Under arbetet med att lösa Navier–Stokes-problemet skickade agenterna 2,7 miljoner meddelanden och använde cirka 130 miljarder utdata-token.

Vårt arbete inleddes den 1 september efter att vi hört ett rykte som vi senare insåg rörde Levent Alpöge, anställd på Anthropic, och Tristan Buckmaster, matematikprofessor vid NYU.² När hela vårt projekt och Lean-verifieringen var klara den 6 september kontaktade vi dem, eftersom ryktet fick oss att tro att även de hade en lösning på Navier–Stokes. Vi erbjöd oss att publicera våra resultat samtidigt och att erkänna deras prioritet i ett gemensamt tillkännagivande. Då fick vi veta att de med hjälp av en intern Modell från Anthropic hade tagit fram en lösning på Euler-problemet med yttre kraft. Under dessa diskussioner erbjöd vi dem insyn i samtliga prompter som vi använde och senare även möjlighet att ta del av beviset. Vi erkänner att deras arbete om Euler med yttre kraft kom först och gratulerar dem till deras enastående matematiska bedrift.

Varken vi forskare eller agenterna tog på något sätt del av deras arbete innan de offentliggjorde det – i synnerhet användes inga specifika användardata för att lösa problemet.

Efter en utredning har vi bekräftat att Buckmasters Codex-prompter under de två månaderna före detta tillkännagivande och artikeln den 8 september 2026 inte på något sätt kunde ha påverkat systemet, inte heller genom träning. Den interna OpenAI-Modell som användes för detta resultat utvecklades genom storskalig Förstärkningsinlärning ovanpå en tidigare förtränad Modell. Våra bevis skiljer sig också avsevärt åt. I Euler-fallet bevisade Alpöge och Buckmaster ett resultat med yttre kraft, medan OpenAI:s system bevisade ett resultat utan yttre kraft.

Vårt mål med att publicera resultatet är att redogöra för de betydande framstegen hos våra AI-modeller. Vi har inte för avsikt att göra anspråk på millenniepriset för detta resultat.

Denna milstolpe är resultatet av omfattande arbete av matematiker och AI-forskare. Detta är dock inte en slutpunkt, utan snarare en ögonblicksbild av framstegen inom AI-utvecklingen.

Vi tror att vi nu befinner oss i nästa fas av AI-utvecklingen⁠, och dagens resultat ger ytterligare stöd för detta. Vi fokuserar på att förstå denna Modell och använder det vi lär oss för att styra och anpassa takten i vårt fortsatta arbete med att utveckla kapaciteten. Ett av våra viktigaste mål⁠ är att bygga AI-system som går att styra, kan hållas ansvariga och har en nära koppling till människor. Det kan kräva mer genomtänkta beslut om utvecklingstakten medan vi fortsätter vårt uppdrag att säkerställa att AGI gynnar hela mänskligheten.