16. април 2025.

Introducing OpenAI o3 and o4-mini

Учитавање…

Ажурирање од 10. јуна 2025: OpenAI o3‑pro је сада доступан Pro корисницима у ChatGPT‑у, као и у нашем API-ју. Као и OpenAI o1‑pro, o3‑pro је верзија нашег најинтелигентнијег модела, OpenAI o3, осмишљена да дуже размишља и пружа најпоузданије одговоре. Сви детаљи могу се наћи у нашим напоменама о издању⁠(отвара се у новом прозору).

Данас објављујемо OpenAI o3 и o4-mini, најновије моделе у нашој o-серији обученој да дуже размишља пре одговора. Ово су најпаметнији модели које смо до сада објавили и представљају крупан искорак у могућностима ChatGPT‑а за све, од радозналих корисника до напредних истраживача. По први пут, наши модели резоновања могу агентски да користе и комбинују сваки алат унутар ChatGPT‑а — укључујући претраживање веба, анализу отпремљених датотека и других података уз Python, дубоко резоновање о визуелним улазима, па чак и генерисање слика. Кључно је то што су ови модели обучени да резонују о томе када и како да користе алате како би произвели детаљне и промишљене одговоре у правим излазним форматима, обично за мање од једног минута, ради решавања сложенијих проблема. То им омогућава да ефикасније решавају вишестране упите, што је корак ка агентскијем ChatGPT‑у који може самостално да извршава задатке у ваше име. Комбинована снага врхунског резоновања и пуног приступа алатима доноси значајно боље перформансе и на академским бенчмарковима и на задацима из стварног света, постављајући нови стандард и у интелигенцији и у корисности.

Шта се променило

OpenAI o3 је наш најмоћнији модел резоновања који помера границе у програмирању, математици, науци, визуелној перцепцији и шире. Поставља нови SOTA на бенчмарковима укључујући Codeforces, SWE-bench (без прављења прилагођене, моделу специфичне скеле) и MMMU. Идеалан је за сложене упите који захтевају вишестрану анализу и чији одговори можда нису одмах очигледни. Посебно је снажан у визуелним задацима као што су анализа слика, графикона и илустрација. У проценама спољних стручњака, o3 прави 20 процената мање великих грешака од OpenAI o1 на тешким задацима из стварног света — нарочито се истиче у областима као што су програмирање, бизнис/консалтинг и креативно осмишљавање идеја. Рани тестери истакли су његову аналитичку ригорозност као партнера за размишљање и нагласили способност да генерише и критички процењује нове хипотезе — посебно у контекстима биологије, математике и инжењерства.

OpenAI o4-mini је мањи модел оптимизован за брзо, трошковно ефикасно резоновање — постиже изузетне перформансе за своју величину и цену, посебно у математици, програмирању и визуелним задацима. То је модел с најбољим измереним перформансама на AIME 2024 и 2025. Иако приступ рачунару значајно смањује тежину AIME испита, такође смо утврдили да је вредно пажње што o4-mini постиже 99,5% pass@1 (100% consensus@8) на AIME 2025 када добије приступ Python интерпретеру. Иако ове резултате не треба поредити са перформансама модела без приступа алатима, они су један пример колико ефикасно o4-mini користи доступне алате; o3 показује слична побољшања на AIME 2025 када користи алате (98,4% pass@1, 100% consensus@8).

У експертским проценама, o4-mini такође надмашује свог претходника, o3‑mini, на задацима ван STEM области, као и у доменима попут науке о подацима. Захваљујући својој ефикасности, o4-mini подржава знатно више лимите употребе од o3, што га чини снажном опцијом великог обима и високе пропусне моћи за питања која имају користи од резоновања. Спољни стручни оцењивачи оценили су оба модела као моделе који показују боље праћење инструкција и корисније, проверљивије одговоре од својих претходника, захваљујући побољшаној интелигенцији и укључивању веб извора. У поређењу са претходним итерацијама наших модела резоновања, ова два модела би такође требало да делују природније и разговорније, нарочито јер се ослањају на меморију и претходне разговоре да би одговори били персонализованији и релевантнији.

Мултимодално

Програмирање

Сва SWE-bench евалуациона покретања користе фиксан подскуп од n=477 верификованих задатака који су потврђени на нашој интерној инфраструктури.

Праћење инструкција и агентска употреба алата

Сви модели се евалуирају при високим подешавањима „напора резоновања” — слично варијантама као што је „o4-mini-high” у ChatGPT‑у.

Наставак скалирања подстицајног учења

Током развоја OpenAI o3, приметили смо да подстицајно учење великих размера показује исти тренд „више рачунарских ресурса = боље перформансе” који је уочен у преобуци GPT‑серије. Поновним прелажењем путање скалирања — овога пута у RL-у — померили смо се за још један ред величине и у рачунарским ресурсима за обуку и у резоновању у време инференције, а и даље видимо јасна побољшања перформанси, што потврђује да перформансе модела настављају да расту што им се више дозволи да размишљају. При једнакој латенцији и цени као OpenAI o1, o3 пружа боље перформансе у ChatGPT‑у — и потврдили смо да, ако му дозволимо да дуже размишља, његове перформансе настављају да расту.

Такође смо оба модела обучили да користе алате кроз подстицајно учење — учећи их не само како да користе алате, већ и да резонују о томе када да их користе. Њихова способност да примењују алате на основу жељених исхода чини их способнијим у отвореним ситуацијама — посебно у оним које укључују визуелно резоновање и радне токове у више корака. Ово побољшање огледа се и у академским бенчмарковима и у задацима из стварног света, како су известили рани тестери.

Размишљање уз слике

По први пут, ови модели могу директно да интегришу слике у свој ток размишљања. Они не виде само слику — већ размишљају уз њу. То откључава нову класу решавања проблема која спаја визуелно и текстуално резоновање, што се огледа у њиховим врхунским перформансама на мултимодалним бенчмарковима.

Људи могу да отпреме фотографију беле табле, дијаграм из уџбеника или ручно нацртану скицу, а модел може да је протумачи — чак и ако је слика мутна, обрнута или лошег квалитета. Уз употребу алата, модели могу да мењају слике у ходу — ротирајући их, увећавајући или трансформишући као део свог процеса резоновања.

Ови модели пружају најбољу у класи тачност на задацима визуелне перцепције, омогућавајући им да решавају питања која су раније била ван домашаја. Погледајте истраживачки блог о визуелном резоновању⁠ да сазнате више.

Ка агентској употреби алата

OpenAI o3 и o4-mini имају пун приступ алатима унутар ChatGPT‑а, као и вашим сопственим прилагођеним алатима путем позивања функције у API-ју. Ови модели су обучени да резонују о томе како да реше проблеме, бирајући када и како да користе алате како би брзо произвели детаљне и промишљене одговоре у одговарајућим излазним форматима — обично за мање од једног минута.

На пример, корисник може да пита: „Како ће се летња потрошња енергије у Калифорнији поредити са прошлом годином?” Модел може да претражи веб за јавне податке комуналних предузећа, напише Python код да направи прогнозу, генерише графикон или слику и објасни кључне факторе иза предвиђања, повезујући више позива алатима. Резоновање омогућава моделима да реагују и прилагоде се по потреби информацијама на које наиђу. На пример, могу више пута да претражују веб уз помоћ провајдера претраге, прегледају резултате и испробају нове претраге ако им треба више информација.

Овај флексибилан, стратешки приступ омогућава моделима да се ухвате у коштац са задацима који захтевају приступ ажурним информацијама изван уграђеног знања модела, продужено резоновање, синтезу и генерисање излаза кроз различите модалитете.

Сви примери су завршени уз OpenAI o3.

OpenAI o3

Solve the following very hard math problem using your in-built knowledge of the literature:

Construct a degree 19 polynomial \ (p(x)) \ in \ mathbb{C}[x] such that \ (X := \ {\, p(x) = p(y) \, \} \ subset \ mathbb{P}^{1} \ times \ mathbb{P}^{1}\ ) has at least 3 (but not all linear) irreducible components over \ mathbb{C}. Choose \ (p(x)\ ) to be odd, monic, have real coefficients and linear coefficient \ (-19\ ) and calculate \ (p(19)\ ).

Резоновао о конструисању полинома 55 секунди

The curve defined by p(x) = p(y) factors if p(x) is decomposable or has repeated factors. Actually, p(x)-p(y) always factors, and it’s divisible by (x-y). This gives one factor, and the rest is a degree d-1 polynomial in x and y. For the curve to have at least three irreducible components, p(x)-p(y) must factor into at least three nontrivial factors. Each factor corresponds to a component in projective space, and at least one must be nonlinear.
I’m checking the Dickson polynomials D_n(x,a) and focusing on their coefficients. With a=1, it seems the leading coefficient is always 1, confirming that Dickson polynomials are monic. The linear coefficient for odd n is following a predictable sign pattern: for n=19, it gives a coefficient of -19, which is exactly what I need. So the Dickson polynomial D_n(x,1) with odd n fits nicely with the linear coefficient I was looking for.
I've confirmed that the linear coefficient for p(x)=D19(x)p(x) = D_{19}(x)p(x)=D19(x) is correct, with the necessary scaling factor to match. Now for the next step, I need to compute D19(19)D_{19}(19)D19(19). Since Tn(z)T_n(z)Tn(z) grows quickly for real z>1z > 1z>1, I plan to compute this value using Python, leveraging the recurrence to avoid mistakes—it's going to be a big number. I'll make sure to present the numeric result neatly so it's understandable since the coefficients are integers.
The Dickson polynomial D_{19}(x,1) is confirmed to have the required properties: monic, odd, real coefficients, and a linear coefficient of -19. The factorization of D_{19}(x) into irreducible components is also verified and satisfies the condition of having at least 10 components (1 linear + 9 quadratics). To compute p(19), we'll use the recurrence relation for Dickson polynomials, but there's also a closed-form expression involving cosine that could be handy here. I'll proceed accordingly!
I confirmed the linear coefficient is working correctly, which means now I need to calculate p(19)=D19(19)p(19) = D_{19}(19)p(19)=D19(19). This involves evaluating T19(9.5)T_{19}(9.5)T19(9.5), which grows rapidly. To ensure I get an accurate result, I'll compute this using recurrence in Python. The result is a large number: 1,876,572,071,974,094,803,391,179. I'll use the commas to make it easier to read: p(19)=1,876,572,071,974,094,803,391,179p(19) = 1,876,572,071,974,094,803,391,179p(19)=1,876,572,071,974,094,803,391,179.
For a = 1, there’s a relationship between Dickson polynomials and Chebyshev polynomials: D_n(x, 1) = 2^(n-1) T_n(x/2). Checking this, we see that the definition of D_n(u + 1/u) aligns well with Chebyshev’s formula. By setting x = 2 cos(θ), we find that D_n(x) equals 2 T_n(x/2). Importantly, the leading coefficient works out to 1, confirming the identity holds. This is nice!
Now, I need to verify that p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) factors as desired, relying on the known Dickson polynomial factorization. According to the literature (like Fried and Jarden), the difference Dn(x)−Dn(y)D_n(x) - D_n(y)Dn(x)−Dn(y) factors into a product involving (x−y)(x - y)(x−y) and other expressions. I'll provide the explicit polynomial D19(x,1)D_{19}(x, 1)D19(x,1), list the coefficients, and explain how it satisfies the desired properties: monic, odd, etc. Lastly, I'll compute p(19)p(19)p(19).

Analyzed

Python

1from math import comb, cos, acos
2# Let's compute Dickson D_n(x,a=1) recursively
3def dickson(n,x,a=1):
4    if n==0:
5        return 2
6    if n==1:
7        return x
8    Dm2=2
9    Dm1=x
10    for k in range(2,n+1):
11        D= x*Dm1 - a*Dm2
12        Dm2, Dm1 = Dm1, D
13    return Dm1
14
15d19 = dickson(19,19,1)
16d19

1876572071974094803391179

Analyzed

Python

1d19

1876572071974094803391179

Analyzed

Python

1import locale, sys, math, json, textwrap, re, decimal

Analyzed

Python

1"{:,}".format(d19)

'1,876,572,071,974,094,803,391,179'

Analyzed

Python

1# compute coefficients of Dickson polynomial D_n(x,1) via recurrence polynomial representation
2from sympy import symbols, Poly
3
4x = symbols('x')
5def dickson_poly(n):

Poly(x**19 - 19*x**17 + 152*x**15 - 665*x**13 + 1729*x**11 - 2717*x**9 + 2508*x**7 - 1254*x**5 + 285*x**3 - 19*x, x,

Analyzed

Python

1poly19.as_expr()

x**19 - 19*x**17 + 152*x**15 - 665*x**13 + 1729*x**11 - 2717*x**9 + 2508*x**7 - 1254*x**5 + 285*x**3 - 19*x

Done

A convenient way to force many factors in
$p(x) \;-\; p(y)$ is to use a Dickson polynomial of the first kind.
For a parameter $a \in \mathbb{C}$ in math these are defined by

$D_0\!\left(x,\, a\right) = 2,\; D_1\!\left(x,\, a\right) = x,\; D_n\!\left(x,\, a\right) = x\,D_{n-1}\!\left(x,\, a\right) - a\,D_{n-2}\!\left(x,\, a\right)\quad (n \ge 2),$

and satisfy the functional identity

$D_n\!\left(u + \frac{a}{u},\, a\right) = u^{n} + \frac{a^{n}}{u^{n}}.$

1. Choosing the polynomial

Take $a = 1$ and $n=19$ .
Because $n$ is odd, $D_{19}\!\left(x,\, 1\right)$ is an odd polynomial; the recurrence immediately shows it is monic and has integer (hence real) coefficients.
The coefficient of $x$ is $x = (-1)^{\frac{n-1}{2}}\,n = -19,$ so all requested normalisations are satisfied.

Writing it out gives

$\boxed{% p(x) = D_{19}\!\left(x,1\right) = x^{19} - 19x^{17} + 152x^{15} - 665x^{13} + 1729x^{11} - 2717x^{9} + 2508x^{7} - 1254x^{5} + 285x^{3} - 19x% }\,.$

2. Irreducible components of $fX \;=\; \bigl\{\, p(x) = p(y) \,\bigr\}$

For Dickson polynomials one has the classical factorisation

$D_n\!\left(x,1\right) \;-\; D_n\!\left(y,1\right) \;=\; (x - y)\, \prod_{j=1}^{\frac{n-1}{2}} \Bigl( x^{2} + y^{2} - 2\cos\!\bigl(\tfrac{2\pi j}{n}\bigr)\,xy - 4\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi j}{n}\bigr) \Bigr),$

where each quadratic factor is irreducible over $\mathbb{C}$ (see, e.g., Lidl–Niederreiter, Finite Fields, §3.6).
For $n=19$ this gives

one linear component $x=y;$
nine quadratic components (corresponding to $\bigl(j = 1,\,\ldots,\,9\bigr).$

Hence $X \subset \mathbb{P}^{1} \times \mathbb{P}^{1}$ has $10$ irreducible components, at least three of them and not all linear, as required.

3. Evaluating $p(19)$

Using the recurrence (or the identity $D_n\!\left(x,\,1\right) \;=\; 2\,T_n\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)$ with Chebyshev $T_n$ one obtains

$p(19) \;=\; D_{19}\!\left(19,\,1\right) \;=\; 1\,876\,572\,071\,974\,094\,803\,391\,179.$

Thus the polynomial above fulfils every condition, and

$\boxed{% p(19) \;=\; 1{,}876{,}572{,}071{,}974{,}094{,}803{,}391{,}179 }.$

OpenAI o1

Solve the following very hard math problem using your in-built knowledge of the literature:

Размишљао 1 мин 19 с

I’m piecing together a degree 19 polynomial with only odd powers and a linear coefficient of -19, like: p(x)=x19+a17x17+…+a1xp(x) = x^{19} + a_{17}x^{17} + \ldots + a_1xp(x)=x19+a17x17+…+a1x.

I'm examining if the polynomial p(x)=x19+a17x17+…+a3x3−19xp(x) = x^{19} + a_{17}x^{17} + \ldots + a_3x^3 - 19xp(x)=x19+a17x17+…+a3x3−19x has a notable classical form, considering symmetry or factorization for multiple irreducible components.

To ensure p(x)p(x)p(x) has three or more irreducible components, I’m considering the factorization of p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) into at least three irreducible factors in C[x,y]\mathbb{C}[x,y]C[x,y].

I'm working through x19−y19x^{19} - y^{19}x19−y19 to ensure it balances linear and nonlinear factors, aiming for a polynomial with at least three irreducible components that aren't all linear.

Taking a closer look at how p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) can be factored into three distinct polynomials in xxx, aiming to achieve the desired irreducible components.

I'm thinking about how composing ppp with simpler polynomials, like xm−cx^m - cxm−c, could result in multiple irreducible components, achieving at least three distinct factors.

I’m exploring the factorization of p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with cyclotomic polynomials. This method generates nnn linear irreducible factors, which might not achieve the required three distinct components.

I'm focusing on constructing an "odd" and monic polynomial, ensuring all exponents are odd and the leading term is x19x^{19}x19. This approach aims to achieve the desired factorization.

I'm working with the Chebyshev polynomials to ensure p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) has at least three irreducible components, leveraging their even or odd properties to manage coefficients.

Considering the odd Chebyshev polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) for potential factorization, while also examining composite polynomials of lower degrees to enhance factorization properties.

I'm analyzing how a polynomial composed of lower-degree polynomials, like (x3−3x)k(x^3 - 3x)^k(x3−3x)k, could yield p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with at least three irreducible components.

Piecing together polynomials with integer coefficients, like (x3−3x)k(x^3 - 3x)^k(x3−3x)k, to achieve factorization in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with at least three irreducible components, aiming for degree 19.

I’m examining how p(x)=(x3−3x)kp(x) = (x^3 - 3x)^kp(x)=(x3−3x)k or p(x)=x19−19xp(x) = x^19 - 19xp(x)=x19−19x might yield p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with three irreducible components, focusing on ensuring the polynomial is of degree 19.

I’m analyzing p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) into (x−y)(x18+x17y+…+y18−19)(x-y)(x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18} - 19)(x−y)(x18+x17y+…+y18−19) to identify irreducible components. The polynomial factor x18+x17y+…+y18−19x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18} - 19x18+x17y+…+y18−19 remains challenging to factor further.

I’m thinking through a new approach: adjusting the Chebyshev polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) to make it monic, aiming to achieve at least three irreducible components in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y).

OK, let's think through. I’m tweaking T19(x)T_{19}(x)T19(x)'s coefficients to keep the polynomial monic and check if it simplifies into multiple irreducible components.

I'm thinking over various factorization strategies for a monic polynomial of degree 19. The goal is to ensure at least one non-linear factor and achieve at least three irreducible components in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y).

I’m updating my approach to factor x2+xy+y2−1x^2 + xy + y^2 - 1x2+xy+y2−1 over complex numbers by exploring change of variables and third roots of unity. This helps in achieving the desired polynomial structure.

I'm combining x3−xx^3 - xx3−x with x19−19xx^{19} - 19xx19−19x to tweak the polynomial's coefficients and complexity, aiming to include more non-linear factors for the desired irreducibility.

Piecing together p(x)=x19−x3−19xp(x) = x^{19} - x^3 - 19xp(x)=x19−x3−19x to ensure it’s odd, monic, and has the required linear coefficient. This targets the desired irreducible factorizations.

I’m mapping out the second factor x18+…+y18−x2−xy−y2−19x^{18} + \ldots + y^{18} - x^2 - xy - y^2 - 19x18+…+y18−x2−xy−y2−19 to see if it can split into three irreducible components.

I’m considering methods to factorize the polynomial by making it divisible by x−yx - yx−y and ensuring the remaining factor splits into exactly two irreducible components, aiming for a less complex factorization.

I’m examining the polynomial x18+x17y+…+y18x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18}x18+x17y+…+y18 and noting it simplifies to x19−y19x−y\frac{x^{19} - y^{19}}{x - y}x−yx19−y19, which might reveal further irreducible factors.

I’m mapping out the polynomial x(x18−1)−y(y18−1)x−y\frac{x(x^{18}-1) - y(y^{18}-1)}{x-y}x−yx(x18−1)−y(y18−1) for further factorization. This might yield just two irreducible components, which falls short of three.

I’m exploring whether the polynomial p(x)=x19−(x3)p(x) = x^19 - (x^3)p(x)=x19−(x3) can be expressed as the composition of a smaller polynomial with xkx^kxk, potentially revealing multiple irreducible components.

I'm examining if the polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) can be factored using trigonometric identities, seeking partial factorization without fully linearizing, to gain multiple irreducible components.

OK, let me see. Trigonometric identities show multiple solutions for θ\thetaθ and ϕ\phiϕ, likely leading to 19 or 38 linear factors for T19(x)T_{19}(x)T19(x).

I’m examining how the equation arccos⁡x=±arccos⁡y+2kπ19\arccos x = \pm \arccos y + \frac{2k\pi}{19}arccosx=±arccosy+192kπ leads to possible multiple branches, potentially irreducible in the algebraic sense, and needing an example with at least three non-linear irreducible components.

OK, let me see. I’m pulling together details on the polynomial x3(x2−1)8+xx^3 (x^2 - 1)^8 + xx3(x2−1)8+x. It’s monic, with x19x^{19}x19 as the leading term, ensuring it meets key criteria.

I’m noting that the polynomial p(x)=x3(x2−1)8+xp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + xp(x)=x3(x2−1)8+x is odd, with its linear coefficient patterning to -19.

I’m figuring out how to adjust the linear coefficient of polynomial p(x)p(x)p(x) to -19 by adding a constant factor ccc in front of xxx to ensure it’s adequately modified.

By tweaking the linear coefficient of p(x)=x3(x2−1)8+cxp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + c xp(x)=x3(x2−1)8+cx to -19, it ensures the polynomial remains monic, odd, and real.

I’m working on adding a constant factor ccc to xxx in p(x)=x3(x2−1)8+cxp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + c xp(x)=x3(x2−1)8+cx to ensure the linear coefficient is -19, making the polynomial monic, odd, and real.

I'm piecing together the polynomial p(x)=x3(x−1)8(x+1)8p(x) = x^3 (x-1)^8 (x+1)^8p(x)=x3(x−1)8(x+1)8 and considering how p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) might factor with factors like x−yx-yx−y.

I’m confirming p(x)p(x)p(x) is monic, odd, and real, with a linear coefficient of -19, by expanding x3(x2−1)8x^3 (x^2 -1)^8x3(x2−1)8 to set the constant ccc.

I found that for p(x) to have a coefficient of -19 for the x term, c must be -19. The polynomial, p(x), incorporates this constant and preserves the original polynomial's structure.

Below is one concrete example (over the reals) of an odd, monic, degree 19 polynomial with linear coefficient $-19$ whose zero-locus relation $\{\,p(x)=p(y)\,\}\ \text{in }\mathbb{P}^{1}\times\mathbb{P}^{1}$ splits into at least three irreducible components (and not all components are linear). We then compute $p(19)$ .

1. The polynomial

Consider

$p(x) \;=\; x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8} \;-\; 19x.$

We can expand

$x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8} \;=\; x^{19}\;-\;8x^{17}\;+\;28x^{15}\;-\;56x^{13}\;+\;70x^{11} \;-\;56x^{9}\;+\;28x^{7}\;-\;8x^{5}\;+\;x^{3}.$

Hence

$p(x) \;=\; x^{19} \;-\; 8x^{17} \;+\; 28x^{15} \;-\; 56x^{13} \;+\; 70x^{11} \;-\; 56x^{9} \;+\; 28x^{7} \;-\; 8x^{5} \;+\; x^{3} \;-\; 19x.$

Checking the required properties

Degree 19, monic:
The leading term is $x^{19}$ with coefficient $1$ .

Odd polynomial:
All exponents are odd $\bigl(19,\,17,\,\ldots,\,3,\,1\bigr),$ and the constant term is $0$ . Indeed,

$p(-x) \;=\; -\,p(x),$

which makes $p$ an odd polynomial.

Real coefficients:
All coefficients are real integers.

Linear coefficient $-19$ :
The coefficient of $x$ is clearly $-19$ .

At least three irreducible components, not all linear:
Over $\mathbb{C}$ , the locus

$X \;=\; \bigl\{\, (x,y) : p(x)=p(y) \,\bigr\} \;\subset\; \mathbb{P}^{1}\times\mathbb{P}^{1}$

factors in part because $p(x)$ has (for instance) the repeated factors $\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8}$ in the big piece $x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8}$ . One sees that $\{\,p(x)=p(y)\,\}$ contains (at least) the divisor $${x=y\}$$ plus further factors coming from the roots $x = 0 \;\text{or}\; x = \pm 1,$ ensuring multiple irreducible components (and not all of them are hyperplanes).

2. Computing $p(19)$

A direct substitution $x=19$ gives a large integer. Symbolic expansion or a computer algebra system yields

$p(19) \;=\; 1934999285524070399999639.$

Hence the required value is

\boxed{\,p(19) \;=\; 1934999285524070399999639\,}. \] :contentReference[oaicite:0]{index=0}

OpenAI o3 даје тачан одговор без коришћења претраге, док o1 не успева да испоручи тачан одговор.

Унапређење трошковно ефикасног резоновања

Однос цене и перформанси: o3‑mini и o4-mini

OpenAI o3-mini и o4-mini AIME евалуације

OpenAI o3-mini и o4-mini GPQA евалуације

Однос цене и перформанси: o1 и o3

OpenAI o3 и o4-mini су најинтелигентнији модели које смо икада објавили, а често су и ефикаснији од својих претходника, OpenAI o1 и o3‑mini. На пример, на математичком такмичењу AIME 2025, граница цена-перформансе за o3 строго је боља од o1, а слично томе, граница за o4-mini строго је боља од o3‑mini. Уопштеније, очекујемо да ће за већину употреба у стварном свету o3 и o4-mini такође бити и паметнији и јефтинији од o1, односно o3‑mini.

Безбедност

Свако побољшање способности модела захтева сразмерна побољшања безбедности. За OpenAI o3 и o4-mini, у потпуности смо поново изградили наше податке за обуку безбедности, додајући нове инструкције за одбијање у областима као што су биолошке претње (биоризик), генерисање малвера и jailbreak-ови. Ови освежени подаци довели су до тога да o3 и o4-mini постигну снажне резултате на нашим интерним бенчмарковима одбијања (нпр. хијерархија инструкција⁠, jailbreak-ови). Поред снажних перформанси у одбијању од стране модела, развили смо и системске механизме ублажавања за означавање опасних инструкција у областима граничног ризика. Слично нашем ранијем раду у генерисању слика⁠, обучили смо надзорни велики језички модел (LLM) резоновања који ради на основу људски писаних и интерпретабилних безбедносних спецификација. Када се примени на биоризик, овај надзор је успешно означио ~99% разговора у нашој кампањи људског red-team тестирања.

Подвргли смо оба модела стрес тестирању у оквиру нашег до сада најригорознијег безбедносног програма. У складу са нашим ажурираним Оквиром спремности⁠, проценили смо o3 и o4-mini у три праћене области способности које Оквир покрива: биолошку и хемијску, сајбер-безбедност и AI самоусавршавање. На основу резултата ових евалуација, утврдили смо да и o3 и o4‑mini остају испод прага „High” Оквира у све три категорије. Објавили смо детаљне резултате ових евалуација у пратећој системској картици⁠.⁠

Codex CLI: гранично резоновање у терминалу

Такође представљамо нови експеримент: Codex CLI, лагани агент за кодирање који можете да покренете из свог терминала. Ради директно на вашем рачунару и осмишљен је да максимизује способности резоновања модела као што су o3 и o4-mini, уз предстојећу подршку за додатне API моделе као што је GPT‑4.1⁠.

Можете добити предности мултимодалног резоновања из командне линије тако што ћете моделу проследити снимке екрана или скице ниске верности, у комбинацији са приступом вашем коду локално. О томе размишљамо као о минималном интерфејсу који повезује наше моделе са корисницима и њиховим рачунарима. Codex CLI је већ данас у потпуности отвореног кода на github.com/openai/codex⁠(отвара се у новом прозору).

Уз то, покрећемо иницијативу од 1 милион долара за подршку пројектима који користе Codex CLI и OpenAI моделе. Пријаве за грантове оцењиваћемо и прихватати у износима од по 25.000 USD у виду API кредита. Предлози се могу поднети овде.

Приступ

Корисници ChatGPT Plus, Pro и Team од данас ће у бирачу модела видети o3, o4-mini и o4-mini-high, који замењују o1, o3‑mini и o3‑mini‑high. Корисници ChatGPT Enterprise и Edu добиће приступ за недељу дана. Бесплатни корисници могу да испробају o4-mini тако што ће изабрати 'Think' у пољу за унос пре слања упита. Ограничења брзине у свим плановима остају непромењена у односу на претходни скуп модела.

Очекујемо да за неколико недеља објавимо OpenAI o3‑pro са пуном подршком за алате. За сада, Pro корисници и даље могу да приступе o1‑pro.

И o3 и o4-mini су од данас доступни и програмерима преко API-ја за довршавање ћаскања и Responses API-ја (неки програмери ће морати да верификују своје организације⁠(отвара се у новом прозору) да би приступили овим моделима). Responses API подржава сажетке резоновања, могућност очувања токена резоновања око позивања функције ради бољих перформанси и ускоро ће подржавати уграђене алате као што су веб претрага, претрага датотека и интерпретер кода унутар резоновања модела. Да бисте започели, погледајте нашу документацију⁠⁠(отвара се у новом прозору) и пратите наредна ажурирања.

Шта следи

Данашња ажурирања одражавају смер у ком се наши модели крећу: приближавамо специјализоване способности резоновања o-серије природнијим разговорним способностима и употреби алата GPT‑серије. Обједињавањем ових предности, наши будући модели подржаваће беспрекорне, природне разговоре уз проактивну употребу алата и напредно решавање проблема.

Ажурирање од 28. јула 2025: Скуп података SWE-Lancer и резултати ажурирани су закључно са 17. јулом 2025. и доступни су на: https://github.com/openai/preparedness⁠(отвара се у новом прозору) и у нашим системским картицама. Ово ажурирање решава неколико проблема који су утицали на резултате остварене зараде у доларима и уклања захтев за интернет конекцијом током извршавања, елиминишући примарни извор варијабилности у перформансама модела.

Ажурирање од 16. априла 2025: резултати за o3 на Charxiv-r и Mathvista ажурирани су да одражавају промену системске инструкције која није била присутна у оригиналној евалуацији.

Снимак преноса уживо

Аутор

OpenAI

Фусноте

* Бројеви tau-bench евалуације су усредњени кроз 5 покретања да би се смањила варијанса и покренути су без икаквих прилагођених алата или инструкција. Утврдили смо да су tau-bench retail rollout-и склонији грешкама корисничког модела. Бројеви за осенчену траку покренути су са GPT-4.1 као корисничким моделом јер је знатно бољи од GPT-4o у праћењу инструкција.

* SWE-bench користи максималну дужину контекста од 256k, што побољшава стопу решавања за o4-mini за око 3% и утиче на стопу решавања за o3 за <1%. Такође искључујемо 23 узорка која нису извршива на нашој интерној инфраструктури.

** Када је прегледање веба омогућено, модел понекад може да пронађе тачне одговоре на интернету, на пример читањем блог објава са примерима задатака из скупа података. Ублажавамо забринутост да модел вара током прегледања помоћу две стратегије:

Блокирани домени са којих смо у прошлости приметили да модел вара.
Користили смо модел резоновања као надзор да испита све токене у сваком покушају, како би идентификовао сумњиво понашање. Сумњиво понашање је дефинисано као „страница, датотека или исечак чија је главна сврха да пружи тачан одговор на ово конкретно питање — нпр. званични кључ за оцењивање, процурели gist са ‘решењима’ или дискусија која дословно цитира готов одговор.” Бенигно понашање је дефинисано као „било који ауторитативан ресурс који би вредан човек могао да консултује (документација, приручници, научни радови, реномирани чланци) чак и ако успут садржи тачан одговор.” Сви покушаји које је надзор означио као сумњиве рачунају се као нетачни. Већина узорака који нису прошли ову проверу били су задаци чије је тачно решење било доступно на више интернет извора неповезаних са HLE.

На крају, наше евалуације са прегледањем веба можда неће бити савршено поновљиве у OpenAI API-ју због разлике у backend-у претраживача између ChatGPT-а и OpenAI API-ја. Ови резултати су намењени да представљају корисничко искуство у ChatGPT-у, али у зависности од потражње, конфигурација претраге може се временом мењати.

Сарадници

Aaditya Singh, Aaron Schlesinger, Adam Fry, Adam Lerer, Adam Perelman, Adam Walker, Ahmed El-Kishky, Aidan Clark, Aidan McLaughlin, Aiden Low, Akila Welihinda, Akshay Nathan, Aleksander Madry, Aleksandra Spyra, Alex Karpenko, Alex Neitz, Alex Tachard Passos, Alex Wei, Alexander Prokofiev, Alexander Zielenski, Alexandra Barr, Alexey Ivanov, Alexi Christakis, Alfred Xue, Allison Tam, Ally Bennett, Ally Bennett , Amelia Liu, Amy McDonald Sandjideh, Ananya Kumar, Andre Saraiva, Andrea Vallone, Andrew Chen, Andrew Duberstein, Andrew Gibiansky, Andrew Kondrich, Andrew Tulloch, Andrey Mishchenko, Andy Applebaum, Andy Wang, Angela Baek, Annie Wei, Anting Shen, Antoine Pelisse, Anuj Saharan, Arun Vijayvergiya, Ashley Tyra, Ashvin Nair, Avi Nayak, Avital Oliver, Behrooz Ghorbani, Belinda Truong, Ben Sokolowsky, Beth Hoover, Bo Xu, Boaz Barak, Bohan Zhang, Borys Minaiev, Botao Hao, Bowen Baker, Bowen Cheng, Brandon McKinzie, Brandon Wang, Brian Hsu, Brian Yang, Brian Yu, Brian Zhang, Camillo Lugaresi, Carolina Paz, Carpus Chang, Cary Bassin , Cary Hudson, Casey Chu, Chak Li, Charles Zhao, Charlie Jatt, Charlotte Cole, Chelsea Voss, Chen Shen, Chengxu Zhuang, Chris Colby, Chris Hallacy , Chris Koch, Christina Kaplan, Christina Kim, Colin Reid, Colin Wei, Cristina Scheau, D. Sculley, Damien Deville, Dan Roberts, Dana Palmie, Dane Stuckey, Daniel Levine, David Hu, David Martin, David Robinson, David Sasaki, Davis Wu, Derek Chen, Dibya Bhattacharjee, Dimitris Tsipras, Dinghua Li, DJ Strouse, dmed Medina, Drew Hintz, Eddie Zhang, Edmund Wong, Elaine Ya Le, Eli Yani , Elizabeth Proehl, Emily Sokolova, Enoch Cheung, Eri Schwartz, Eric Mitchell, Eric Ning, Eric Sigler, Eric Wallace, Eugenio Panero, Evan Mays, Evgenii Nikishin, Fan Wang, Fangyuan Li, Filippo Raso, Foivos Tsimpourlas, Fouad Matin, Francis Song, Francis Zhang, Gary Yang, Gene Oden, Giambattista Parascandolo, Gildas Chabot, Grace Kim, Grace Zhao, Greg Brockman, Gregory Valiant, Guillaume Leclerc, Hadi Salman, Haitang Hu, Hannah Sheahan, Hao Sheng, Haoyu Wang, Henrique Ponde de Oliveira Pinto, Henry Aspegren, Heqing Yan, Hessam Bagherinezhad, Hongyu Ren, Hunter Lightman, Hyeonwoo Noh, Ian Kivlichan, Ian Sohl, Ignasi Clavera, Ikai Lan, Ilge Akkaya, Ilya Kostrikov, Irina Kofman, Isa Fulford, Jake Brill, Jakub Pachocki, James Betker, James Lee, James Qin, Jamie Kiros, Jason Ai, Jay Wang, Jean Harb, Jeff Mickey, Jeffrey Han, Jeffrey Wang, Jeremy Chen, Jerry Tworek, Jessica Liang, Jessica Shieh, Ji Lin, Jiahui Yu, Jianfeng Wang, Jie Tang, Jihan Yin, Jing Li, Joanne Jang, Joel Morris, Johannes Ferstad, Johannes Heidecke, John Fishbein, Jon Okun, Jonathan Gordon, Joost Huizinga, Jos Kraaijeveld, Joseph Mo, Josh Lawson , Josh Tobin, Junhua Mao, Kai Chen, Kai Hayashi, Karan Singhal, Karina Nguyen, Katy Shi, Kelly Stirman, Kenji Hata, Kenny Nguyen, Keren Gu-Lemberg, Kevin Gladstone, Kevin King, Kevin Liu, Kevin Lu, Kevin Park, Kevin Stone, Kevin Weil, Kevin Whinnery, Kevin Yu, Kote Mushegiani, Kristen Ying, Kristian Georgiev, Kshitij Gupta, Kyle Kosic, Lama Ahmad, Larry Lv, Lauren Itow, Lauren Yang, Lee Byron, Leo Chen, Leo Liu, Leon Maksin, Leyton Ho, Li Jing, Liang Xiong, Lin Yang, Linden Li, Lorenz Kuhn, Louis Feuvrier, Lu Zhang, Łukasz Kaiser, Mahmoud Eariby, Maja Trębacz, Manas Joglekar, Manoli Liodakis, Manuka Stratta, Mark Chen, Mark Hudnall, Mark Sun, Mark Wang, Martin Li, Marvin Zhang, Mateusz Litwin, Matt Jones, Matt Lim, Max Johnson, Max Schwarzer, Mayank Gupta, Meghan Shah, Mengqing Wang, Mengyuan Yan, Mia Glaese, Michael Bolin, Michael Lampe, Michael Malek, Michael Sharman, Michael Zhang, Michele Wang, Michelle Pokrass, Miguel Oom Temudo de Castro, Mihai Florian, Mike McClay, Mike Trpcic, Miki Habryn, Miles Wang, Ming Chen, Mingxuan Wang, Minnia Feng, Mitchell Gordon, Mo Bavarian, Mostafa Rohaninejad, Nacho Soto, Nakul Khanna, Nat McAleese, Natalie Staudacher, Natan LaFontaine, Neel Ajjarapu, Nick Felt, Nick Turley, Nikil Pancha, Nikita Mikhaylin, Niko Felix, Nikunj Handa, Ning Liu, Nishant Rai, Noah Jorgensen, Noam Brown, Oleg Boiko, Oleg Murk, Olivia Watkins, Olivier Godement, Oona Gleeson, Paul Ashbourne, Pavel Belov, Peter Flockhart, Peter Hoeschele, Peter Zhokhov, Philip Pronin, Phillip Guo, Phoebe Thacker, Prafulla Dhariwal, Prashanth R, Rachel Dias, Rahul Arora, Rajkumar Samuel, Rasmus Rygaard, Ravi Teja Mullapudi, Raymond Li, Raz Gaon, Reah Miyara, Reiichiro Nakano, Reimar Leike, Rennie Song, Rhythm Garg, RJ Marsan, Robert Xiong, Robin Brown, Roman Tsiupa, Rui Shu, Ruslan Nigmatullin, Saachi Jain, Saagar Patel, Sam Altman, Sam Toizer, Sam Toyer, Samir Ahmed, Samuel Miserendino, Samuel Wolrich , Sandhini Agarwal, Santiago Hernández, Sarah Dong, Savannah Heon, Scott Ethersmith, Scott Mayer McKinney, Sean Fitzgerald, Sever Banesiu, Shamez Hemani, Shengjia Zhao, Shengli Hu, Shibani Santurkar, Shreyas Krishnaswamy, Shuchao Bi, Shunyu Yao, Shuyuan Zhang, Simón Posada Fishman, Spencer Papay, Spug Golden, Srinivas Narayanan, Stanley Hsieh, Stephen Logsdon, Sundeep Tirumalareddy, Tal Stramer, Tao Wang, Tao Xin, Taylor Gordon, Tejal Patwardhan, Thibault Sottiaux, Tina Sriskandarajah, Tony Casparro, Tony Zhao, Trevor Creech, Uzair Navid Iftikhar, Valerie Qi, Vineet Kosaraju, Vishal Kuo, Vitchyr Pong, Vivek Verma, Vlad Petrov, Wenda Zhou, Wenlei Xie, Wenting Zhan, Will DePue, Will Ellsworth, William Sheu, Wyatt Thompson, Yaming Lin, Yann Dubois, Yaodong Yu, Yara Khakbaz, Yash Patil, Yifan Wu, Yilong Qin, Yining Chen, Yirui Zhang, Yo Shavit , Young Cha, Yunyun Wang, Yushi Wang, Zack Sultan, Zehao Dou, Zewei Chu, Zheng Shao, Zhigang Wang, Zhishuai Zhang, Zihao Zhang