Dez avanços em matemática e ciência da computação teórica

Queremos oferecer a cientistas e matemáticos ferramentas que acelerem as descobertas. Por isso, anunciamos recentemente o ChatGPT para Pesquisadores Acadêmicos⁠, uma iniciativa que oferece a 100 mil cientistas e matemáticos acesso gratuito aos nossos melhores modelos do ChatGPT. Também continuamos avaliando nossos modelos em problemas de pesquisa em aberto durante o desenvolvimento.

Em maio, compartilhamos uma refutação gerada por IA⁠ da conjectura da distância unitária de Erdős, descoberta durante a avaliação de um modelo ainda não lançado. Esse trabalho já inspirou novos avanços em matemática e ciência da computação teórica¹. Hoje, apresentamos uma seleção de dez resultados, cada um dos quais resolve ou alcança avanços substanciais em um problema em aberto de longa data. Esses problemas abrangem geometria de alta dimensão, teoria de códigos, complexidade de circuitos aritméticos, teoria de grupos, álgebras de operadores, complexidade quântica, criptografia baseada em reticulados e combinatória extremal. Todos esses problemas são de grande interesse para suas respectivas comunidades matemáticas, e vários deles têm amplo interesse para a matemática como um todo.

Apresentamos novos resultados para os seguintes problemas. Os resultados foram obtidos por uma versão interna do Astra, nosso próximo grande modelo. O total de tokens necessários para encontrar soluções para esses problemas custaria cerca de US$ 2 mil conforme as tarifas da API Sol. Esses argumentos foram então organizados em manuscritos por pessoas usando o mesmo modelo. Depois, o modelo formalizou cada argumento em um certificado Lean⁠(abre em uma nova janela). Também estamos publicando, para cada solução, a narração de um modelo sobre seu processo de raciocínio.

1. Empacotamento de esferas em altas dimensões. Novos limites superiores para a densidade do empacotamento de esferas até o limiar de Cohn–Elkies.
2. Códigos binários e esféricos: Limites exponencialmente melhores para o tamanho máximo de códigos binários em qualquer distância mínima prescrita, com resultados análogos para códigos esféricos em altas dimensões.
3. Grupos não sóficos. Uma construção que estabelece a existência de grupos não sóficos e aborda uma questão central em aberto na teoria de grupos.
4. Conjectura de rigidez de Connes. Refutação de uma conjectura de longa data segundo a qual certos grupos são determinados de forma única por suas álgebras de von Neumann.
5. Complexidade de circuitos aritméticos. Novos limites inferiores para o cálculo do permanente usando circuitos e fórmulas aritméticas, incluindo um limite inferior de ordem n⁴/log n para fórmulas aritméticas.
6. Repetição paralela quântica. Um teorema de repetição paralela exponencial para jogos quânticos gerais com dois jogadores, ampliando um princípio fundamental da teoria clássica da complexidade.
7. Problema do vetor mais próximo. Dificuldade de aproximação por fator polinomial para o problema do vetor mais próximo, uma questão fundamental sobre reticulados relacionada à criptografia pós-quântica.
8. Conjectura do volume de Ehrhart. Determinação, em todas as dimensões, do maior volume possível de um corpo convexo cujo centroide seja seu único ponto reticulado interior.
9. Números de Ramsey multicoloridos. Um limite inferior superexponencial para números de Ramsey multicoloridos de triângulos, resolvendo o problema 183 de Erdős.
10. Conjecturas sobre números extremais. Resultados sobre as conjecturas da compacidade e da degenerescência na teoria extremal de grafos, resolvendo os problemas 146 e 180 de Erdős.

O surgimento de sistemas capazes de contribuir para a pesquisa matemática levanta questões que não podem ser respondidas apenas por uma empresa de tecnologia. Há muitas opiniões sobre o papel da IA na matemática, e temos profundo respeito e compreensão por quem se preocupa com seu impacto, incluindo os signatários da Declaração de Leiden sobre IA e Matemática⁠(abre em uma nova janela). Acreditamos que a atribuição deve refletir com honestidade como um resultado foi produzido: reivindicar autoria humana para uma prova gerada inteiramente por um sistema de IA distorceria tanto a contribuição do sistema quanto a natureza do genuíno trabalho intelectual humano. Ajudamos a preparar os manuscritos e a formalizar as provas em Lean, e assumimos a responsabilidade por sua correção, enquanto os argumentos matemáticos propriamente ditos foram gerados por nosso sistema. Esperamos que a comunidade matemática se envolva profundamente com esses resultados, situe-os em seu contexto e dê vida às ideias por trás deles por meio de novas pesquisas e descobertas.

À medida que os sistemas de IA evoluem e se tornam colaboradores de pesquisa mais sofisticados, garantir amplo acesso é essencial para apoiar cientistas e matemáticos enquanto eles exploram e definem o futuro de suas áreas nesta era de transformação.