Ti fremskritt innen matematikk og teoretisk informatikk

Vi ønsker å gi forskere og matematikere verktøy som fremskynder nye oppdagelser. Derfor kunngjorde vi nylig ChatGPT for akademiske forskere⁠, et initiativ som gir 100 000 forskere og matematikere gratis tilgang til våre beste ChatGPT‑modeller. Vi fortsetter også å evaluere modellene våre på uløste forskningsproblemer under utviklingen.

I mai delte vi et KI-generert motbevis⁠ mot Erdős’ formodning om enhetsavstander, som ble funnet under evalueringen av en modell som ennå ikke var lansert. Dette arbeidet har allerede inspirert til videre utvikling innen matematikk og teoretisk informatikk¹. I dag presenterer vi et utvalg på ti resultater som enten løser eller gir betydelig fremgang i et uløst problem med lang historie. Problemene spenner over høydimensjonal geometri, kodeteori, kompleksiteten til aritmetiske kretser, gruppeteori, operatoralgebraer, kvantekompleksitet, gitterkryptografi og ekstremal kombinatorikk. Alle problemene er av stor interesse for sine respektive matematiske fagmiljøer, og flere har bred interesse i matematikken som helhet.

Vi presenterer nye resultater for følgende problemer. Resultatene ble oppnådd av en intern versjon av Astra, vår neste store modell. Det samlede antallet tokener som måtte til for å finne løsninger på disse problemene, ville ha kostet rundt 2000 dollar med Sol API-priser. Deretter utarbeidet mennesker manuskripter basert på disse argumentene ved hjelp av den samme modellen. Etterpå formaliserte modellen hvert argument i et Lean-sertifikat⁠(åpnes i et nytt vindu). For hver løsning publiserer vi også en modellgenerert fremstilling av tankeprosessen.

1. Kulepakning i høye dimensjoner. Nye øvre grenser for kulepakningstetthet helt ned til Cohn–Elkies-terskelen.
2. Binære og sfæriske koder: Eksponentielt forbedrede grenser for den maksimale størrelsen på binære koder ved enhver gitt minsteavstand, med tilsvarende resultater for høydimensjonale sfæriske koder.
3. Ikke-sofiske grupper. En konstruksjon som fastslår at ikke-sofiske grupper finnes, og dermed besvarer et sentralt uløst spørsmål i gruppeteorien.
4. Connes’ rigiditetsformodning. Et motbevis mot en mangeårig formodning om at visse grupper er entydig bestemt av sine von Neumann-algebraer.
5. Kompleksiteten til aritmetiske kretser. Nye nedre grenser for beregning av permanenten med aritmetiske kretser og formler, inkludert en nedre grense av størrelsesorden n⁴/log n for aritmetiske formler.
6. Parallell repetisjon i kvantesystemer. Et eksponentielt teorem om parallell repetisjon for generelle kvantespill med to spillere, som utvider et grunnleggende prinsipp fra klassisk kompleksitetsteori.
7. Nærmeste-vektor-problemet. Approksimasjon av nærmeste-vektor-problemet er vanskelig innenfor en polynomisk faktor. Dette er et grunnleggende gitterproblem knyttet til postkvantekryptografi.
8. Ehrharts volumformodning. Bestemmelse, i enhver dimensjon, av det størst mulige volumet til et konvekst legeme der tyngdepunktet er det eneste indre gitterpunktet.
9. Flerfargede Ramsey-tall. En supereksponentiell nedre grense for flerfargede Ramsey-tall for trekanter, som løser Erdős-problem 183.
10. Formodninger om ekstremaltall. Resultater om kompakthets- og degenerasjonsformodningene i ekstremal grafteori, som løser Erdős-problemene 146 og 180.

Fremveksten av systemer som kan bidra til matematisk forskning, reiser spørsmål som et teknologiselskap ikke kan besvare alene. Det finnes mange syn på hvilken rolle KI bør ha i matematikken, og vi har dyp respekt og forståelse for dem som er bekymret for konsekvensene, blant annet underskriverne av Leiden-erklæringen om KI og matematikk⁠(åpnes i et nytt vindu). Vi mener at krediteringen ærlig bør gjenspeile hvordan et resultat ble frembrakt: Å hevde menneskelig forfatterskap til et bevis som i sin helhet er generert av et KI-system, ville gi et misvisende bilde av både systemets bidrag og karakteren av genuint menneskelig åndsarbeid. Vi bidro til å utarbeide manuskriptene og formalisere bevisene i Lean, og vi tar ansvar for at de er korrekte, mens de matematiske argumentene i seg selv ble generert av systemet vårt. Vi håper det matematiske fagmiljøet vil gå grundig inn i disse resultatene, sette dem i sammenheng og gi ideene bak dem liv gjennom ny forskning og nye oppdagelser.

Etter hvert som KI-systemer utvikler seg til mer avanserte forskningspartnere, er bred tilgang avgjørende for å støtte forskere og matematikere mens de orienterer seg i og former fremtiden for fagfeltene sine i denne omveltende epoken.