Десет достигнувања во математиката и теоретската информатика

Сакаме на научниците и математичарите да им обезбедиме алатки што го забрзуваат откривањето нови сознанија. Затоа неодамна ја најавивме иницијативата ChatGPT за академски истражувачи⁠, која на 100.000 научници и математичари им овозможува бесплатен пристап до нашите најдобри модели на ChatGPT. Исто така, во текот на развојот продолжуваме да ги оценуваме нашите модели врз отворени истражувачки проблеми.

Во мај споделивме побивање генерирано од ВИ⁠ на претпоставката на Ердеш за единечни растојанија, откриено при оценувањето на необјавен модел. Овој труд веќе поттикна понатамошен развој во математиката и теоретската информатика¹. Денес споделуваме избор од десет резултати, од кои секој решава или постигнува значителен напредок во долгогодишен отворен проблем. Овие проблеми опфаќаат високодимензионална геометрија, теорија на кодирање, сложеност на аритметички кола, теорија на групи, операторски алгебри, квантна сложеност, решеткаста криптографија и екстремална комбинаторика. Сите овие проблеми се од значителен интерес за соодветните математички заедници, а неколку од нив се од широк интерес за математиката во целина.

Претставуваме нови резултати за следниве проблеми. Резултатите беа постигнати со интерна верзија на Astra, нашиот следен голем модел. Вкупниот број токени потребни за наоѓање решенија за овие проблеми би чинел околу 2.000 долари според тарифите на Sol API. Потоа, луѓе ги обликуваа овие аргументи во ракописи со помош на истиот модел. Потоа моделот го формализираше секој аргумент во сертификат во Lean⁠(се отвора во нов прозорец). За секое решение објавуваме и опис од моделот на неговиот процес на размислување.

1. Пакување сфери во високи димензии. Нови горни граници на густината на пакување сфери, сè до прагот на Кон–Елкис.
2. Бинарни и сферични кодови: Експоненцијално подобрени граници за максималната големина на бинарните кодови при кое било зададено минимално растојание, со аналогни резултати за високодимензионалните сферични кодови.
3. Несофички групи. Конструкција што го утврдува постоењето на несофички групи и одговара на едно од централните отворени прашања во теоријата на групи.
4. Претпоставката за ригидност на Кон. Побивање на долгогодишната претпоставка дека одредени групи се еднозначно определени од нивните фон Нојманови алгебри.
5. Сложеност на аритметички кола. Нови долни граници за пресметување на перманентата со аритметички кола и формули, вклучувајќи долна граница за аритметички формули од редот n⁴/log n.
6. Квантно паралелно повторување. Теорема за експоненцијално паралелно повторување кај општи квантни игри со двајца играчи, која проширува еден темелен принцип од класичната теорија на сложеност.
7. Проблем на најблискиот вектор. Тешкотија на апроксимацијата со полиномен фактор за проблемот на најблискиот вектор, темелно прашање за решетките поврзано со постквантната криптографија.
8. Претпоставката на Ерхарт за волуменот. Утврдување на најголемиот можен волумен, во секоја димензија, на конвексно тело чиј центроид е единствената внатрешна решеткаста точка.
9. Повеќебојни Ремзиеви броеви. Суперекспоненцијална долна граница за повеќебојните триаголни Ремзиеви броеви, со што се решава проблемот 183 на Ердеш.
10. Претпоставки за екстремални броеви. Резултати за претпоставките за компактност и дегенерација во екстремалната теорија на графови, со кои се решаваат проблемите 146 и 180 на Ердеш.

Појавата на системи способни да придонесуваат во математичките истражувања отвора прашања на кои една технолошка компанија не може сама да одговори. Постојат многу ставови за улогата на ВИ во математиката, а ние длабоко ги почитуваме и ги разбираме оние што се загрижени за нејзиното влијание, вклучувајќи ги и потписниците на Лајденската декларација за ВИ и математиката⁠(се отвора во нов прозорец). Веруваме дека наведувањето на авторството треба искрено да го одразува начинот на кој е добиен резултатот: припишувањето човечко авторство на доказ целосно генериран од систем со ВИ погрешно би ги претставило и придонесот на системот и природата на вистинската човечка интелектуална работа. Помогнавме при подготовката на ракописите и формализирањето на доказите во Lean и ја преземаме одговорноста за нивната точност, додека самите математички аргументи беа генерирани од нашиот систем. Се надеваме дека математичката заедница темелно ќе ги разгледа овие резултати, ќе ги постави во соодветен контекст и преку нови истражувања и откритија ќе ги оживее идеите врз кои се засноваат.

Како што системите со ВИ се развиваат во сè пософистицирани истражувачки соработници, обезбедувањето широк пристап е од суштинско значење за поддршка на научниците и математичарите додека, во оваа преобразувачка ера, ја насочуваат и ја обликуваат иднината на своите дисциплини.