За Милениумскиот проблем Навие–Стокс

Споделуваме решение за проблемот на постоење и мазност на Навие–Стокс, еден од Милениумските проблеми со награда. Овој доказ, создаден од внатрешен систем на OpenAI, покажува дека динамиката на равенките на Навие–Стокс за движење на флуидите може да развие сингуларност за конечно време. Ги споделуваме и текстот на доказот и неговата формализација во Lean.

Милениумските проблеми со награда⁠(се отвора во нов прозорец) претставуваат некои од најдлабоките прашања на границите на математиката. Прашањето дали мазното тридимензионално движење на флуид може да стане нерегуларно останува нерешено речиси 90 години.

Главна цел на нашата работа е да им овозможиме на научниците да ги унапредуваат истражувањата и технологијата во полза на целото човештво. За да го решиме проблемот Навие–Стокс, користевме внатрешен модел што е значително поспособен од GPT‑6 Astra. Сметаме дека е важно светот да биде информиран за темпото на напредок на ВИ и за тоа што може да се очекува од претстојните модели.

Равенките на Навие–Стокс го користат вториот Њутнов закон за движење („F=ma“) за да опишат како се движат флуидите. Важно е што тие го третираат флуидот како непрекината средина, наместо да ја следат секоја молекула поединечно. Овие равенки се користат при проектирање авиони, прогнозирање на времето и проучување на крвотокот.

Основно отворено прашање за овие динамички равенки е дали апроксимацијата на флуидот како континуум може да стане неважечка. Поточно, може ли равенките на Навие–Стокс за тридимензионален нестислив флуид со постојана густина да развијат „сингуларност“, дури и кога движењето започнува мазно? Тука, сингуларност значи дека динамиката доведува до неограничено зголемување на брзините во флуидот за конечно време. Сингуларноста би морала да се развие и покрај присуството на вискозноста, која има тенденција да го измазнува движењето. Бидејќи вистински флуид не може да се движи бесконечно брзо, тоа би значело дека равенките веќе не го моделираат флуидот соодветно. За да продолжи моделирањето на системот, тогаш би требало поединечно да се следи однесувањето на секоја честичка.

Равенките потекнуваат од делата на Клод-Луј Навие и Џорџ Габриел Стокс од деветнаесеттиот век. Во 1934 година, Жан Лере докажал дека решенијата постојат во обопштена смисла, но прашањето дали секогаш остануваат мазни станало едно од главните неодговорени прашања. Во 2000 година, Математичкиот институт Клеј го прогласил проблемот на постоење и мазност на Навие–Стокс за еден од седумте Милениумски проблеми со награда.

Нашиот систем создаде аналитички доказ и формализација во Lean дека првично мазен флуид во мирување може да развие сингуларност за конечно време. Врз флуидот дејствува мазна сила, а неговата енергија останува конечна во текот на целата динамика, од мирувањето до создавањето на сингуларноста. Со ова се решава Милениумскиот проблем Навие–Стокс преку докажување на тврдењето „C“ (како и „D“) од официјалната формулација на Милениумската награда⁠(се отвора во нов прозорец).

Решението е вртлог — ротирачка маса од флуид што се движи спирално навнатре и станува сè поиздолжена, како шпагети. Оваа централна област се стеснува додека забрзува на таков начин што нејзината енергија сепак останува конечна, како што налагаат законите на физиката. Техничкиот предизвик е равенките да ја развијат нерегуларноста преку движењето на самиот флуид, наместо, на пример, рачно да внесеме бесконечна сила. Математички кажано, членовите во равенките на Навие–Стокс што го опишуваат движењето — забрзувањето, градиентите на притисокот, преносот на импулсот и вискозноста — мора истовремено да станат големи и прецизно да се поништат. Оваа прецизна рамнотежа ја задржува надворешната сила мазна, иако брзината на флуидот расте неограничено.

Од 28 август обучуваме нов внатрешен модел што покажа досега невидени резултати на нашите реперни тестови, вклучително и по математика. Обуката на овој модел продолжува, а неговите резултати постојано се подобруваат.

Во вторникот, на 1 септември, слушнавме гласини дека се решени два Милениумски проблема со награда. Поттикнати од овие гласини и од наглото подобрување на резултатите на нашиот внатрешен модел, започнавме да го оценуваме на сите отворени Милениумски проблеми со награда и на уште неколку проблеми со големо влијание.

Користевме систем од координирани агенти управувани од нашиот внатрешен модел. Агентите имаа пристап до алатки, како што се читање од кеширана верзија на интернетот и извршување код. Агентите беа поделени во групи и можеа да комуницираат во рамките на својата група. Групите беа со различна големина, а во групата што го реши проблемот Навие–Стокс учествуваа околу 10.000 агенти што работеа истовремено. Во секој момент ги одржувавме истите строги заштитни мерки што ги применуваме при сите наши процени на гранични модели, вклучувајќи надзор и изолација.

За секој проблем, на различни групи агенти им задававме различни варијанти на формулацијата, опфаќајќи ги сите варијанти на проблемот. За проблемот Навие–Стокс, на одделни групи агенти им ги предложивме верзиите „A“ и „B“ (посебни форми на проблемот Навие–Стокс што би довеле до доказ) и верзиите „C“ и „D“ (што би довеле до побивање).

Покрај целосните Милениумски проблеми со награда, побаравме од нашиот повеќеагентски систем да се обиде да реши и низа „полесни“ проблеми. Еден од нив беше слично прашање за појава на сингуларност во граничниот случај на проблемот Навие–Стокс, со отстранет член за вискозност. Ова е познато како проблем на регуларноста на Ојлеровите равенки, а нашите агенти нè изненадија решавајќи го ова прашање. Конкретната варијанта што ја решија беше верзијата без надворешна сила, во која врз флуидот не дејствува надворешна сила. Речиси 100 агенти работеа заедно околу 50 часа за да го создадат нашето побивање на регуларноста на Ојлеровите равенки¹.

Откако го видовме решението за Ојлеровите равенки, проценивме дека Навие–Стокс е најперспективниот проблем за понатамошна работа. Затоа решивме да ги насочиме нашите ресурси кон Навие–Стокс. За таа цел, ги пренасочивме агентите од другите Милениумски проблеми и им го зададовме решението за Ојлеровите равенки. Кога во текот на работата стана достапна дополнително обучена верзија на нашиот внатрешен модел, ги префрливме агентите на тој модел.

Ги поттикнувавме различните групи агенти да истражуваат разновидни пристапи. По извесно време, овозможивме размена на идеи меѓу групите агенти, користејќи го Codex за обединување на најкорисните сознанија од секоја група. Овие дополнителни задачи се потпираа на меѓурезултатите на самите агенти. На овој начин беше насочувана групата што го најде решението за Навие–Стокс.

Агентите стигнаа до решението во саботата, на 5 септември, околу 88 часа откако беа активирани првите агенти. За формализацијата и проверката во Lean беа потребни уште 17 часа со GPT‑6 Astra.

За сите испробани проблеми, агентите испратија 4,9 милиони пораки и употребија околу 300 милијарди излезни токени. При решавањето на проблемот Навие–Стокс, агентите испратија 2,7 милиони пораки и употребија приближно 130 милијарди излезни токени.

Нашата работа започна на 1 септември, откако слушнавме гласина за која подоцна сфативме дека е поврзана со Левент Алпеге, вработен во Anthropic, и Тристан Бакмастер, професор по математика на NYU.² По завршувањето на целиот проект и проверката во Lean (на 6 септември), верувајќи врз основа на гласината дека и тие имаат решение за Навие–Стокс, стапивме во контакт со нив за да понудиме истовремено објавување на нашиот резултат и да им го признаеме првенството во заедничко соопштение. Тогаш дознавме дека, користејќи внатрешен модел на Anthropic, тие го решиле проблемот за Ојлеровите равенки со надворешна сила. Во овие разговори им понудивме увид во сите задачи што ги користевме, а подоцна и можност да го видат доказот. Го признаваме првенството на нивната работа за Ојлеровите равенки со надворешна сила и им честитаме за извонредното математичко достигнување.

Ние (истражувачите и агентите) немавме увид во нивната работа на никаков начин сè до нејзиното јавно објавување — особено, не беа користени конкретни кориснички податоци за решавање на овој проблем.

По истрагата, потврдивме дека задачите на Бакмастер во Codex во текот на двата месеца пред ова соопштение и трудот од 8 септември 2026 година не можеле на никаков начин да влијаат врз системот, вклучително и преку обуката. Внатрешниот модел на OpenAI користен за овој резултат беше развиен преку зајакнување на учењето во голем обем врз претходно предобучен модел. И нашите докази значително се разликуваат. Кај Ојлеровите равенки, Алпеге и Бакмастер докажаа резултат со надворешна сила, додека системот на OpenAI докажа резултат без надворешна сила.

Со објавувањето на овој резултат сакаме да известиме за значителниот напредок на нашите модели со ВИ. Немаме намера да ја побараме Милениумската награда за овој резултат.

Оваа пресвртница е резултат на значителна работа на математичари и истражувачи на ВИ. Сепак, ова не е крајна точка, туку моментална слика на напредокот во развојот на ВИ.

Веруваме дека сега сме во следниот период на напредокот на ВИ⁠, а денешните резултати се уште еден доказ за тоа. Се сосредоточуваме на разбирањето на овој модел и ги користиме стекнатите сознанија за да го насочиме и одредиме темпото на понатамошното унапредување на способностите. Една од нашите клучни цели⁠ е да изградиме системи со ВИ што можат да се насочуваат, што се отчетни и поврзани со луѓето. Тоа може да бара попромислен избор на темпото на напредокот додека ја продолжуваме нашата мисија AGI да му користи на целото човештво.