Desmit sasniegumi matemātikā un teorētiskajā datorzinātnē

Mēs vēlamies nodrošināt zinātniekiem un matemātiķiem rīkus, kas paātrina atklājumu tapšanu. Tāpēc nesen izziņojām iniciatīvu ChatGPT akadēmiskajiem pētniekiem⁠, kas 100 000 zinātnieku un matemātiķu nodrošina bezmaksas piekļuvi mūsu labākajiem ChatGPT modeļiem. Izstrādes laikā mēs arī turpinām pārbaudīt savus modeļus, izmantojot neatrisinātas pētniecības problēmas.

Maijā mēs publicējām MI radītu atspēkojumu⁠ Erdēša vienības attāluma hipotēzei, kas tika atklāts, novērtējot vēl neizlaistu modeli. Šis darbs jau ir rosinājis turpmākus sasniegumus matemātikā un teorētiskajā datorzinātnē¹. Šodien iepazīstinām ar desmit rezultātiem, no kuriem katrs atrisina kādu ilgstoši neatrisinātu problēmu vai būtiski veicina tās risināšanu. Šīs problēmas aptver augstdimensiju ģeometriju, kodēšanas teoriju, aritmētisko shēmu sarežģītību, grupu teoriju, operatoru algebras, kvantu sarežģītību, režģu kriptogrāfiju un ekstrēmo kombinatoriku. Visas šīs problēmas ir ļoti nozīmīgas attiecīgajām matemātiķu kopienām, un vairākas no tām ir plaši nozīmīgas matemātikā kopumā.

Piedāvājam jaunus rezultātus tālāk minētajām problēmām. Šos rezultātus ieguva mūsu nākamā nozīmīgā modeļa Astra iekšējā versija. Šo problēmu risinājumu atrašanai nepieciešamais kopējais tokenu skaits pēc Sol API tarifiem izmaksātu aptuveni 2000 ASV dolāru. Pēc tam cilvēki ar tā paša modeļa palīdzību no šiem argumentiem sagatavoja manuskriptus. Pēc tam modelis katru argumentu formalizēja Lean sertifikātā⁠(atveras jaunā logā). Katram risinājumam publicējam arī modeļa stāstījumu par tā domāšanas procesu.

1. Augstdimensiju sfēru pakošana. Jaunas sfēru pakojuma blīvuma augšējās robežas līdz pat Cohn–Elkies slieksnim.
2. Binārie un sfēriskie kodi: eksponenciāli uzlabotas bināro kodu maksimālā izmēra robežas jebkuram noteiktam minimālajam attālumam un analogi rezultāti augstdimensiju sfēriskajiem kodiem.
3. Nesofiskas grupas. Konstrukcija, kas pierāda nesofisku grupu pastāvēšanu un sniedz atbildi uz vienu no galvenajiem neatrisinātajiem grupu teorijas jautājumiem.
4. Connes rigiditātes hipotēze. Atspēkota ilgstoša hipotēze, ka noteiktas grupas viennozīmīgi nosaka to fon Neimana algebras.
5. Aritmētisko shēmu sarežģītība. Jaunas apakšējās robežas permanenta aprēķināšanai ar aritmētiskām shēmām un formulām, tostarp n⁴/log n kārtas apakšējā robeža aritmētiskām formulām.
6. Kvantu paralēlā atkārtošana. Eksponenciāla paralēlās atkārtošanas teorēma vispārīgām divu spēlētāju kvantu spēlēm, kas paplašina klasiskās sarežģītības teorijas pamatprincipu.
7. Tuvākā vektora problēma. Aproksimācijas sarežģītība ar polinomiālu koeficientu tuvākā vektora problēmai — fundamentālam režģu jautājumam, kas saistīts ar pēckvantu kriptogrāfiju.
8. Ērharta tilpuma hipotēze. Katrā dimensijā noteikts lielākais iespējamais tilpums izliektam ķermenim, kura smaguma centrs ir tā vienīgais iekšējais režģa punkts.
9. Daudzkrāsu Remzija skaitļi. Supereksponenciāla apakšējā robeža daudzkrāsu trijstūru Remzija skaitļiem, atrisinot Erdēša 183. problēmu.
10. Ekstrēmo skaitļu hipotēzes. Rezultāti par kompaktuma un deģenerācijas hipotēzēm ekstrēmo grafu teorijā, atrisinot Erdēša 146. un 180. problēmu.

Tādu sistēmu parādīšanās, kuras spēj sniegt ieguldījumu matemātikas pētniecībā, rada jautājumus, uz kuriem tehnoloģiju uzņēmums viens pats nevar atbildēt. Pastāv dažādi viedokļi par MI lomu matemātikā, un mēs dziļi cienām un saprotam tos, kuri ir nobažījušies par tā ietekmi, tostarp Leidenes deklarācijas par MI un matemātiku⁠(atveras jaunā logā) parakstītājus. Uzskatām, ka autorības norādei godīgi jāatspoguļo rezultāta tapšana: piedēvēt cilvēkam autorību par pierādījumu, ko pilnībā radījusi MI sistēma, nozīmētu nepatiesi atspoguļot gan sistēmas ieguldījumu, gan patiesa cilvēka intelektuālā darba būtību. Mēs palīdzējām sagatavot manuskriptus un formalizēt pierādījumus Lean vidē, kā arī uzņemamies atbildību par to pareizību, taču pašus matemātiskos argumentus radīja mūsu sistēma. Ceram, ka matemātiķu kopiena rūpīgi izvērtēs šos rezultātus, aplūkos tos plašākā kontekstā un ar jauniem pētījumiem un atklājumiem iedzīvinās to pamatā esošās idejas.

MI sistēmām kļūstot par arvien spējīgākiem pētniecības partneriem, plašas piekļuves nodrošināšana ir būtiska, lai atbalstītu zinātniekus un matemātiķus, kuri šajā pārmaiņu laikmetā veido savu nozaru nākotni un meklē tajā savu ceļu.