Par Navjē–Stoksa Tūkstošgades balvas problēmu

Publicējam risinājumu Navjē–Stoksa vienādojumu atrisinājumu eksistences un gluduma problēmai — vienai no Tūkstošgades balvas problēmām. Šis pierādījums, ko izstrādājusi OpenAI iekšējā sistēma, parāda, ka šķidruma kustību aprakstošo Navjē–Stoksa vienādojumu dinamikā galīgā laikā var rasties singularitāte. Publicējam gan pierādījuma izklāstu, gan tā formalizāciju Lean vidē.

Tūkstošgades balvas problēmas⁠(atveras jaunā logā) ir vieni no dziļākajiem jautājumiem matemātikas robežšķirtnē. Jautājums, vai gluda trīsdimensiju šķidruma kustība var zaudēt regularitāti, nav atrisināts aptuveni 90 gadus.

Viens no mūsu darba galvenajiem mērķiem ir palīdzēt zinātniekiem attīstīt pētniecību un tehnoloģijas visas cilvēces labā. Lai atrisinātu Navjē–Stoksa problēmu, izmantojām iekšēju modeli, kas ir ievērojami spējīgāks par GPT‑6 Astra. Uzskatām, ka ir svarīgi informēt sabiedrību par mākslīgā intelekta attīstības tempu un to, ko gaidīt no nākamajiem modeļiem.

Navjē–Stoksa vienādojumi izmanto Ņūtona otro kustības likumu („F=ma”), lai aprakstītu šķidrumu kustību. Būtiski, ka tajos šķidrums tiek aplūkots kā nepārtraukta vide, nevis izsekota katra atsevišķā molekula. Šos vienādojumus izmanto lidaparātu projektēšanā, laikapstākļu prognozēšanā un asins plūsmas pētīšanā.

Viens no šo dinamisko vienādojumu fundamentālajiem neatrisinātajiem jautājumiem ir, vai šķidruma kā nepārtrauktas vides tuvinājums var pārstāt darboties. Proti, vai Navjē–Stoksa vienādojumos trīsdimensiju nesaspiežamam šķidrumam ar nemainīgu blīvumu var rasties „singularitāte”, pat ja kustība sākotnēji ir gluda? Šeit singularitāte nozīmē, ka dinamikas gaitā šķidruma ātrums galīgā laika posmā neierobežoti pieaug. Singularitātei būtu jārodas par spīti viskozitātei, kas parasti izlīdzina kustību. Tā kā reāls šķidrums nevar kustēties bezgalīgi ātri, tas nozīmētu, ka vienādojumi vairs pienācīgi nemodelē šķidrumu. Lai turpinātu modelēt sistēmu, pēc tam būtu atsevišķi jāizseko katras daļiņas kustībai.

Šie vienādojumi izriet no Kloda Luija Navjē un Džordža Gabriela Stoksa 19. gadsimtā veiktajiem darbiem. 1934. gadā Žans Lerē pierādīja, ka risinājumi eksistē vispārinātā nozīmē, taču jautājums, vai tie vienmēr saglabā gludumu, kļuva par vienu no galvenajām neatrisinātajām problēmām. 2000. gadā Kleja Matemātikas institūts Navjē–Stoksa vienādojumu atrisinājumu eksistences un gluduma problēmu iekļāva septiņu Tūkstošgades balvas problēmu sarakstā.

Mūsu sistēma izstrādāja analītisku pierādījumu un formalizāciju Lean vidē, kas parāda, ka sākotnēji gludā un miera stāvoklī esošā šķidrumā galīgā laikā var rasties singularitāte. Šķidrumam tiek pielikts gluds spēks, un tā enerģija paliek galīga visā dinamikas gaitā — no miera stāvokļa līdz singularitātes izveidei. Tas atrisina Navjē–Stoksa Tūkstošgades balvas problēmu, pierādot apgalvojumu „C” (un arī „D”) no Tūkstošgades balvas problēmas oficiālā formulējuma⁠(atveras jaunā logā).

Risinājums ir virpulis — rotējoša šķidruma plūsma, kas spirālveidā virzās uz iekšu un arvien vairāk izstiepjas gluži kā spageti. Šis centrālais apgabals sarūk un vienlaikus paātrinās tā, ka tā enerģija joprojām paliek galīga, kā to prasa fizikas likumi. Tehniskais izaicinājums ir panākt, lai vienādojumu regularitātes zudumu radītu paša šķidruma kustība, nevis, piemēram, mūsu mākslīgi ieviests bezgalīgs spēks. Matemātiski precīzāk — Navjē–Stoksa vienādojumu locekļiem, kas apraksta kustību, proti, paātrinājumam, spiediena gradientiem, impulsa pārnesei un viskozitātei, vienlaikus jākļūst lieliem un precīzi jākompensē citam citu. Šis smalkais līdzsvars nodrošina gludu ārējo spēku pat tad, kad šķidruma ātrums neierobežoti pieaug.

Kopš 28. augusta apmācām jaunu iekšēju modeli, kas mūsu etalonuzdevumos, tostarp matemātikā, ir uzrādījis vēl nepieredzētu sniegumu. Šī modeļa apmācība turpinās, un tā sniegums arvien uzlabojas.

Otrdien, 1. septembrī, dzirdējām baumas, ka ir atrisinātas divas Tūkstošgades balvas problēmas. Šo baumu un mūsu iekšējā modeļa snieguma krasā lēciena iedvesmoti, sākām to vērtēt visās neatrisinātajās Tūkstošgades balvas problēmās un vēl dažās ļoti nozīmīgās problēmās.

Izmantojām savstarpēji koordinētu aģentu sistēmu, kuras darbību nodrošināja mūsu iekšējais modelis. Aģentiem bija pieejami rīki, tostarp iespēja lasīt kešotu interneta versiju un izpildīt kodu. Aģenti tika sadalīti grupās, kuru dalībnieki varēja savstarpēji sazināties. Grupu lielums atšķīrās, un Navjē–Stoksa problēmas risinājumu izstrādāja aptuveni 10 000 vienlaikus strādājošu aģentu grupa. Visu laiku ievērojām tos pašus stingros drošības pasākumus, ko piemērojam visu robežšķirtnes modeļu vērtēšanā, tostarp uzraudzību un izolāciju.

Katrai problēmai dažādām aģentu grupām devām atšķirīgas problēmas formulējuma versijas, aptverot visus tās variantus. Navjē–Stoksa problēmas gadījumā atsevišķām aģentu grupām piedāvājām versijas „A” un „B” (konkrētus problēmas variantus, kuru rezultāts būtu pierādījums), kā arī versijas „C” un „D” (kuru rezultāts būtu atspēkojums).

Papildus pilnajām Tūkstošgades balvas problēmām lūdzām savai daudzaģentu sistēmai mēģināt atrisināt vairākas „vieglākas” problēmas. Viena no tām bija līdzīga singularitātes rašanās problēma Navjē–Stoksa vienādojumu robežgadījumam, kurā izņemts viskozitātes loceklis. To sauc par Eilera vienādojumu regularitātes problēmu, un mūsu aģenti mūs pārsteidza, šo jautājumu atrisinot. Viņi atrisināja konkrētu šīs problēmas variantu bez ārēja spēka, kur šķidrumam netiek pielikts ārējs spēks. Gandrīz 100 aģentu aptuveni 50 stundas strādāja kopā, lai izstrādātu mūsu Eilera regularitātes atspēkojumu¹.

Ieraugot Eilera problēmas risinājumu, secinājām, ka visdaudzsološāk būtu turpināt darbu pie Navjē–Stoksa problēmas. Tāpēc nolēmām savus resursus veltīt Navjē–Stoksa problēmai. Šim nolūkam aģentus novirzījām no pārējām Tūkstošgades balvas problēmām un ievades uzdevumā viņiem sniedzām Eilera problēmas risinājumu. Kad darba gaitā kļuva pieejama mūsu iekšējā modeļa papildus apmācīta versija, atjauninājām aģentus uz šo modeli.

Mudinājām dažādās aģentu grupas izpētīt daudzveidīgas pieejas. Pēc kāda laika veicinājām ideju apmaiņu starp aģentu grupām, izmantojot Codex, lai apkopotu vērtīgākās atziņas no katras grupas. Šajos turpmākajos ievades uzdevumos izmantojām pašu aģentu starprezultātus. Šādi tika vadīta arī grupa, kas atrada Navjē–Stoksa problēmas risinājumu.

Aģenti nonāca pie risinājuma sestdien, 5. septembrī, aptuveni 88 stundas pēc pirmo aģentu darbības sākšanas. Formalizācija un pārbaude Lean vidē ar GPT‑6 Astra prasīja vēl 17 stundas.

Strādājot pie visām izmēģinātajām problēmām, aģenti nosūtīja 4,9 miljonus ziņojumu un izmantoja aptuveni 300 miljardus izvades tokenu. Navjē–Stoksa problēmas risināšanas gaitā aģenti nosūtīja 2,7 miljonus ziņojumu un izmantoja aptuveni 130 miljardus izvades tokenu.

Mūsu darbs sākās 1. septembrī pēc tam, kad dzirdējām baumas, kuras, kā vēlāk sapratām, bija saistītas ar Anthropic darbinieku Leventu Alpēgi un Ņujorkas Universitātes matemātikas profesoru Tristanu Bakmasteru.² Kad bijām pabeiguši visu projektu un pārbaudi Lean vidē (6. septembrī), no baumām secinot, ka arī viņiem ir Navjē–Stoksa problēmas risinājums, sazinājāmies ar viņiem, lai piedāvātu vienlaikus publicēt mūsu rezultātus un kopīgā paziņojumā atzīt viņu prioritāti. Tad noskaidrojām, ka viņi, izmantojot Anthropic iekšējo modeli, bija atrisinājuši Eilera problēmu ar ārēju spēku. Šajās sarunās piedāvājām viņiem piekļuvi visiem mūsu izmantotajiem ievades uzdevumiem un vēlāk arī iespēju iepazīties ar pierādījumu. Atzīstam viņu darba prioritāti Eilera problēmā ar ārēju spēku un apsveicam ar ievērojamo matemātisko sasniegumu.

Mēs — pētnieki un aģenti — nekādā veidā neredzējām viņu darbu, pirms tas tika publiskots; jo īpaši šīs problēmas risināšanai netika izmantoti nekādi konkrētu lietotāju dati.

Izmeklēšanā esam apstiprinājuši, ka Bakmastera Codex ievades uzdevumi divos mēnešos pirms šī paziņojuma un raksta publicēšanas 2026. gada 8. septembrī nekādi nevarēja ietekmēt sistēmu, tostarp apmācības procesā. Šī rezultāta iegūšanai izmantotais OpenAI iekšējais modelis tika izstrādāts ar liela mēroga stimulēto mācīšanos, par pamatu ņemot iepriekš apmācītu modeli. Arī mūsu pierādījumi būtiski atšķiras. Eilera problēmas gadījumā Alpēge un Bakmasters pierādīja rezultātu ar ārēju spēku, savukārt OpenAI sistēma — rezultātu bez ārēja spēka.

Publicējot šo rezultātu, vēlamies informēt par mūsu mākslīgā intelekta modeļu būtisko progresu. Mēs neplānojam pretendēt uz Tūkstošgades balvu par šo rezultātu.

Šis nozīmīgais sasniegums ir matemātiķu un mākslīgā intelekta pētnieku apjomīga darba rezultāts. Tomēr tā nav kulminācija, bet gan momentuzņēmums, kas atspoguļo mākslīgā intelekta attīstības progresu konkrētā brīdī.

Uzskatām, ka pašlaik esam iegājuši nākamajā mākslīgā intelekta attīstības posmā⁠, un šodienas rezultāti tam sniedz papildu pierādījumus. Pašlaik cenšamies izprast šo modeli un izmantot iegūtās zināšanas, lai pārdomāti virzītu turpmāko spēju attīstību un noteiktu tās tempu. Viens no mūsu galvenajiem mērķiem⁠ ir veidot vadāmas, atbildīgas un ar cilvēkiem saistītas mākslīgā intelekta sistēmas. Turpinot īstenot savu misiju panākt, lai AGI sniegtu labumu visai cilvēcei, var būt nepieciešami pārdomātāki lēmumi par attīstības tempu.