ნავიე–სტოქსის ათასწლეულის ამოცანის შესახებ

გიზიარებთ ნავიე–სტოქსის არსებობისა და სიგლუვის ამოცანის — ათასწლეულის ერთ-ერთი ამოცანის — ამოხსნას. OpenAI-ის შიდა სისტემის მიერ შექმნილი ეს დამტკიცება აჩვენებს, რომ სითხის მოძრაობის აღმწერ ნავიე–სტოქსის განტოლებათა დინამიკაში სასრულ დროში შეიძლება სინგულარობა წარმოიქმნას. გიზიარებთ როგორც დამტკიცების აღწერას, ისე მის ფორმალიზაციას Lean-ში.

ათასწლეულის ამოცანები⁠(იხსნება ახალ ფანჯარაში) მათემატიკის მოწინავე სფეროს ყველაზე ღრმა საკითხებს აერთიანებს. საკითხი, შეიძლება თუ არა გლუვი სამგანზომილებიანი სითხის მოძრაობის რღვევა, დაახლოებით 90 წელი გადაუჭრელი იყო.

ჩვენი მუშაობის ერთ-ერთი მთავარი მიზანია მეცნიერებს ხელი შევუწყოთ ისეთი კვლევებისა და ტექნოლოგიების განვითარებაში, რომლებიც მთელ კაცობრიობას სარგებელს მოუტანს. ნავიე–სტოქსის ამოცანის გადასაჭრელად გამოვიყენეთ შიდა მოდელი, რომელიც GPT‑6 Astra-ზე მნიშვნელოვნად უფრო ძლიერია. მიგვაჩნია, რომ მნიშვნელოვანია მსოფლიოს ვაცნობოთ ხელოვნური ინტელექტის განვითარების ტემპი და ის, თუ რას უნდა ველოდოთ მომავალი მოდელებისგან.

ნავიე–სტოქსის განტოლებები ნიუტონის მოძრაობის მეორე კანონს („F=ma“) იყენებს სითხეების მოძრაობის აღსაწერად. მნიშვნელოვანია, რომ ცალკეული მოლეკულების თვალყურის დევნების ნაცვლად, ეს განტოლებები სითხეს უწყვეტ გარემოდ განიხილავს. ამ განტოლებებს იყენებენ თვითმფრინავების დასაპროექტებლად, ამინდის პროგნოზირებისა და სისხლის ნაკადის შესასწავლად.

ამ დინამიკურ განტოლებებთან დაკავშირებული ფუნდამენტური ღია საკითხია, შეიძლება თუ არა სითხის უწყვეტი მიახლოების დარღვევა. კერძოდ, შეიძლება თუ არა მუდმივი სიმკვრივის მქონე სამგანზომილებიანი უკუმშველი სითხის ნავიე–სტოქსის განტოლებებში „სინგულარობა“ წარმოიქმნას, მაშინაც კი, როცა მოძრაობა გლუვად იწყება? აქ სინგულარობა ნიშნავს, რომ დინამიკის შედეგად სითხის სიჩქარე სასრულ დროში უსაზღვროდ იზრდება. სინგულარობა უნდა წარმოიქმნას სიბლანტის მიუხედავად, რომელიც მოძრაობის გაგლუვებისკენაა მიმართული. რადგან რეალური სითხე უსასრულო სიჩქარით ვერ იმოძრავებს, ეს იმის ნიშანი იქნებოდა, რომ განტოლებები სითხეს ვეღარ აღწერს. სისტემის მოდელირების გასაგრძელებლად საჭირო გახდებოდა თითოეული ნაწილაკის ქცევაზე ცალ-ცალკე დაკვირვება.

ეს განტოლებები კლოდ-ლუი ნავიესა და ჯორჯ გაბრიელ სტოქსის XIX საუკუნის ნაშრომებს ეფუძნება. 1934 წელს ჟან ლერემ დაამტკიცა, რომ ამოხსნები განზოგადებული მნიშვნელობით არსებობს, თუმცა ყოველთვის გლუვი რჩება თუ არა ისინი, ცენტრალურ პასუხგაუცემელ კითხვად იქცა. 2000 წელს კლეის მათემატიკის ინსტიტუტმა ნავიე–სტოქსის არსებობისა და სიგლუვის ამოცანა ათასწლეულის შვიდ ამოცანაში შეიტანა.

ჩვენმა სისტემამ შექმნა ანალიტიკური დამტკიცება და ფორმალიზაცია Lean-ში, რომ თავდაპირველად უძრავ და გლუვ სითხეში სასრულ დროში შეიძლება სინგულარობა წარმოიქმნას. სითხეზე გლუვი ძალა მოქმედებს, ხოლო მისი ენერგია მთელი დინამიკის განმავლობაში — უძრაობიდან სინგულარობის წარმოქმნამდე — სასრული რჩება. ეს წყვეტს ნავიე–სტოქსის ათასწლეულის ამოცანას ათასწლეულის პრემიის ოფიციალურ ფორმულირებაში⁠(იხსნება ახალ ფანჯარაში) მოცემული „C“ (და ასევე „D“) დებულების დამტკიცებით.

ამონახსნი არის გრიგალი — სითხის მბრუნავი მორევი, რომელიც სპირალურად მიემართება შიგნით და სპაგეტივით სულ უფრო იწელება. ეს ცენტრალური არე პატარავდება და იმგვარად აჩქარდება, რომ მისი ენერგია, ფიზიკის კანონების შესაბამისად, კვლავ სასრული რჩება. ტექნიკური სირთულე ისაა, რომ განტოლებებში რღვევა თავად სითხის მოძრაობამ უნდა წარმოქმნას და არა, მაგალითად, ჩვენ მიერ ხელოვნურად დამატებულმა უსასრულო ძალამ. უფრო მათემატიკურად რომ ვთქვათ, ნავიე–სტოქსის განტოლებების მოძრაობის აღმწერი წევრები — აჩქარება, წნევის გრადიენტები, იმპულსის გადაცემა და სიბლანტე — ერთდროულად უნდა გახდეს დიდი და თან ზუსტად გაბათილდეს. ამ ზუსტი წონასწორობის წყალობით გარე ძალა გლუვი რჩება მაშინაც კი, როცა სითხის სიჩქარე უსაზღვროდ იზრდება.

28 აგვისტოდან ვწვრთნით ახალ შიდა მოდელს, რომელმაც ჩვენს საორიენტაციო ტესტებში, მათ შორის მათემატიკაში, უპრეცედენტო შედეგები აჩვენა. ამ მოდელის წვრთნა გრძელდება და მისი შესაძლებლობები კვლავ უმჯობესდება.

სამშაბათს, 1 სექტემბერს, ჩვენამდე მოვიდა ხმა, რომ ათასწლეულის ორი ამოცანა გადაიჭრა. ამ ხმებითა და ჩვენი შიდა მოდელის შესაძლებლობების მკვეთრი ნახტომით შთაგონებულებმა დავიწყეთ მისი შეფასება ათასწლეულის ყველა ღია ამოცანასა და რამდენიმე სხვა მნიშვნელოვან ამოცანაზე.

გამოვიყენეთ ჩვენი შიდა მოდელით აღჭურვილი, კოორდინირებულად მოქმედი აგენტების სისტემა. აგენტებს წვდომა ჰქონდა ისეთ ხელსაწყოებზე, როგორიცაა ინტერნეტის კეშირებული ვერსიის წაკითხვა და კოდის გაშვება. აგენტები ჯგუფებად დავყავით და თითოეული ჯგუფის წევრებს ერთმანეთთან კომუნიკაცია შეეძლო. ჯგუფების ზომები განსხვავდებოდა; ნავიე–სტოქსის გადაწყვეტის შემქმნელ ჯგუფში ერთდროულად დაახლოებით 10 000 აგენტი მუშაობდა. მთელი პროცესის განმავლობაში ვიცავდით იმავე მკაცრ უსაფრთხოების ზომებს, რომლებსაც ყველა ჩვენი მოწინავე მოდელის შეფასებისას ვიყენებთ, მათ შორის მონიტორინგსა და იზოლაციას.

თითოეული ამოცანისთვის აგენტების სხვადასხვა ჯგუფს ამოცანის ფორმულირების განსხვავებული ვარიანტები მივეცით, რათა მისი ყველა ვერსია მოგვეცვა. ნავიე–სტოქსის ამოცანისთვის აგენტების ცალკეულ ჯგუფებს შევთავაზეთ ვერსიები „A“ და „B“ (ნავიე–სტოქსის ამოცანის კონკრეტული ფორმები, რომლებიც დამტკიცებას გამოიწვევდა) და ვერსიები „C“ და „D“ (რომლებიც უარყოფას გამოიწვევდა).

ათასწლეულის ყველა ამოცანასთან ერთად, ჩვენს მრავალაგენტიან სისტემას რამდენიმე „უფრო მარტივი“ ამოცანის ამოხსნაც ვთხოვეთ. ერთ-ერთი მათგანი იყო სინგულარობის წარმოქმნის მსგავსი საკითხი ნავიე–სტოქსის ამოცანის ზღვრული შემთხვევისთვის, რომელშიც სიბლანტის წევრი ამოღებულია. ეს ეილერის განტოლებების რეგულარობის ამოცანის სახელითაა ცნობილი და ჩვენდა გასაკვირად, აგენტებმა ეს საკითხი გადაწყვიტა. მათ მიერ გადაწყვეტილი კონკრეტული ვარიანტი იყო ვერსია გარე ძალის გარეშე, რომელშიც სითხეზე გარე ძალა არ მოქმედებს. თითქმის 100 აგენტი დაახლოებით 50 საათის განმავლობაში მუშაობდა ერთობლივად და მივიღეთ ეილერის განტოლებათა ამონახსნების რეგულარობის უარყოფა¹.

ეილერის განტოლებათა ამოხსნის ნახვის შემდეგ ჩავთვალეთ, რომ ნავიე–სტოქსი სამუშაოდ ყველაზე პერსპექტიული ამოცანა იყო. ამიტომ გადავწყვიტეთ, ჩვენი რესურსები ნავიე–სტოქსისთვის დაგვეთმო. ამისთვის აგენტები ათასწლეულის სხვა ამოცანებიდან გადმოვამისამართეთ და მათ ეილერის განტოლებათა გადაწყვეტა მივაწოდეთ. როცა მუშაობის პროცესში ჩვენი შიდა მოდელის უფრო მეტად გაწვრთნილი ვერსია გახდა ხელმისაწვდომი, აგენტები ამ მოდელზე გადავიყვანეთ.

აგენტების სხვადასხვა ჯგუფს მრავალფეროვანი მიდგომების შესწავლისკენ მოვუწოდებდით. გარკვეული დროის შემდეგ აგენტების ჯგუფებს შორის იდეების გაცვლა დავიწყეთ: Codex-ის მეშვეობით თითოეული ჯგუფის ყველაზე სასარგებლო მიგნებები გავაერთიანეთ. შემდგომი მითითებები თავად აგენტების შუალედურ შედეგებს ეყრდნობოდა. ნავიე–სტოქსის გადაწყვეტის მპოვნელი ჯგუფიც სწორედ ასე იმართებოდა.

აგენტებმა გადაწყვეტას შაბათს, 5 სექტემბერს, პირველი აგენტების გაშვებიდან დაახლოებით 88 საათში მიაგნეს. Lean-ში ფორმალიზაციასა და GPT‑6 Astra-ს მეშვეობით შემოწმებას დამატებით 17 საათი დასჭირდა.

ყველა ნაცადი ამოცანის ფარგლებში აგენტებმა 4,9 მილიონი შეტყობინება გაგზავნეს და დაახლოებით 300 მილიარდი გამომავალი ტოკენი გამოიყენეს. ნავიე–სტოქსის ამოცანის გადაწყვეტის პროცესში აგენტებმა 2,7 მილიონი შეტყობინება გაგზავნეს და დაახლოებით 130 მილიარდი გამომავალი ტოკენი გამოიყენეს.

ჩვენი მუშაობა 1 სექტემბერს დაიწყო მას შემდეგ, რაც ჩვენამდე მოვიდა ხმა, რომელიც, როგორც მოგვიანებით აღმოვაჩინეთ, Anthropic-ის თანამშრომელ ლევენტ ალპოგესა და NYU-ის მათემატიკის პროფესორ ტრისტან ბაკმასტერს უკავშირდებოდა.² სრული პროექტისა და Lean-ში შემოწმების დასრულების შემდეგ (6 სექტემბერს), რადგან ამ ხმის საფუძველზე გვეგონა, რომ მათაც ჰქონდათ ნავიე–სტოქსის ამოხსნა, დავუკავშირდით და შევთავაზეთ ჩვენი შედეგების ერთდროულად გამოქვეყნება და ერთობლივ განცხადებაში მათი პრიორიტეტის აღიარება. მაშინ გავიგეთ, რომ Anthropic-ის შიდა მოდელის გამოყენებით მათ ამოხსნეს ეილერის ამოცანა (გარე ძალით). ამ განხილვებისას შევთავაზეთ, გაცნობოდნენ ჩვენ მიერ გამოყენებულ ყველა პრომპტს, მოგვიანებით კი დამტკიცებასაც. ვაღიარებთ მათი მუშაობის პრიორიტეტს ეილერის ამოცანაზე (გარე ძალით) და ვულოცავთ ამ გამორჩეულ მათემატიკურ მიღწევას.

ჩვენ (მკვლევრებსა და აგენტებს) მათ საჯარო გამოქვეყნებამდე არცერთი საშუალებით არ გვინახავს მათი ნამუშევარი — კერძოდ, ამ ამოცანის ამოსახსნელად მომხმარებელთა კონკრეტულ მონაცემებზე წვდომა არ მომხდარა.

გამოძიების შედეგად დავადასტურეთ, რომ 2026 წლის 8 სექტემბრის ამ განცხადებისა და ნაშრომის გამოქვეყნებამდე ორი თვის განმავლობაში ბაკმასტერის მიერ Codex-ისთვის მიცემული მითითებები სისტემაზე ვერანაირად ვერ იმოქმედებდა, მათ შორის ვერც წვრთნის გზით. ამ შედეგისთვის გამოყენებული OpenAI-ის შიდა მოდელი შეიქმნა მანამდე წინასწარ გაწვრთნილ მოდელზე ფართომასშტაბიანი განმტკიცებითი დასწავლის გამოყენებით. ჩვენი დამტკიცებებიც მნიშვნელოვნად განსხვავდება. ეილერის შემთხვევაში ალპოგემ და ბაკმასტერმა შედეგი გარე ძალით დაამტკიცეს, OpenAI-ის სისტემამ კი — გარე ძალის გარეშე.

ამ შედეგის გამოქვეყნების მიზანია, ჩვენი ხელოვნური ინტელექტის მოდელების მნიშვნელოვანი პროგრესის შესახებ გაცნობოთ. ამ შედეგისთვის ათასწლეულის პრემიაზე პრეტენზიის გამოთქმას არ ვაპირებთ.

ეს მნიშვნელოვანი ეტაპი მათემატიკოსებისა და ხელოვნური ინტელექტის მკვლევრების მასშტაბური მუშაობის შედეგია. თუმცა ეს კულმინაცია კი არა, ხელოვნური ინტელექტის განვითარების მიმდინარე პროგრესის მხოლოდ ერთი მომენტია.

გვჯერა, რომ ხელოვნური ინტელექტის პროგრესის მომდევნო ეტაპზე გადავედით⁠, დღევანდელი შედეგები კი ამის კიდევ ერთი დასტურია. ამჟამად ამ მოდელის შესწავლაზე ვართ კონცენტრირებული და მიღებულ ცოდნას შესაძლებლობების შემდგომი განვითარების მიმართულებისა და ტემპის განსაზღვრისთვის ვიყენებთ. ჩვენი ერთ-ერთი მთავარი მიზანია⁠ მართვადი, ანგარიშვალდებული და ადამიანებთან დაკავშირებული ხელოვნური ინტელექტის სისტემების შექმნა. ამისთვის შესაძლოა პროგრესის ტემპთან დაკავშირებით უფრო გააზრებული გადაწყვეტილებები გახდეს საჭირო, რადგან ვაგრძელებთ მისიას, რომ AGI-მ მთელ კაცობრიობას მოუტანოს სარგებელი.