OpenAI-ის მოდელმა დისკრეტულ გეომეტრიაში ცენტრალური ჰიპოთეზა უარყო

თითქმის 80 წლის განმავლობაში მათემატიკოსები სწავლობდნენ ერთი შეხედვით მარტივ საკითხს: თუ სიბრტყეზე განათავსებთ $n$ წერტილს, წერტილების რამდენი წყვილი შეიძლება იყოს ზუსტად $1$ მანძილით დაშორებული ერთმანეთისგან?

ეს არის სიბრტყეზე ერთეულოვან მანძილთა ამოცანა, რომელიც პირველად პოლ ერდეშმა წამოაყენა 1946 წელს. ეს კომბინატორული გეომეტრიის ერთ-ერთი ყველაზე ცნობილი საკითხია: მარტივად ფორმულირდება და საოცრად ძნელად ამოიხსნება. 2005 წლის წიგნი Research Problems in Discrete Geometry, რომლის ავტორებიც არიან Brass, Moser და Pach, მას უწოდებს „შესაძლოა ყველაზე მეტად ცნობილ (და ყველაზე მარტივად ამოსახსნელ) ამოცანას კომბინატორულ გეომეტრიაში“. ნოგა ალონი, პრინსტონის უნივერსიტეტის წამყვანი კომბინატორისტი, მას აღწერს, როგორც „ერდეშის ერთ-ერთ საყვარელ ამოცანას“. ერდოშმა ამ პრობლემის გადაჭრისთვის ფულადი ჯილდოც კი დააწესა.

დღეს ჩვენ ერთეულოვანი მანძილის ამოცანაში მიღწეულ გარღვევას ვაზიარებთ. ერდეშის თავდაპირველი ნაშრომის შემდეგ გაბატონებული შეხედულება იყო, რომ ქვემოთ ნაჩვენები „კვადრატული ბადის“ კონსტრუქციები არსებითად ოპტიმალური იყო ერთეულოვანი მანძილით დაშორებული წყვილების რაოდენობის მაქსიმიზებისთვის. OpenAI-ის შიდა მოდელმა ეს ხანგრძლივი ჰიპოთეზა უარყო და წარმოადგინა მაგალითების უსასრულო ოჯახი, რომელიც პოლინომურ გაუმჯობესებას იძლევა. დამტკიცება გარე მათემატიკოსთა ჯგუფმა გადაამოწმა. მათ ასევე დაწერეს თანმხლები ნაშრომი, რომელიც არგუმენტს ხსნის და შედეგის მნიშვნელობის შესახებ დამატებით ფონსა და კონტექსტს იძლევა.

შედეგი იმითაც არის აღსანიშნავი, თუ როგორ იქნა ის აღმოჩენილი. მტკიცებულება მიღებული იქნა ახალი ზოგადი დანიშნულების მსჯელობის მოდელისგან და არა ისეთი სისტემისგან, რომელიც სპეციალურად მათემატიკისთვის იყო გაწვრთნილი, მტკიცების სტრატეგიების საძიებლად იყო სტრუქტურირებული ან კონკრეტულად ერთეულოვანი მანძილის ამოცანაზე იყო მორგებული. უფრო ფართო ძალისხმევის ფარგლებში, რომლის მიზანიც იყო შემოწმება, შეუძლიათ თუ არა მოწინავე მოდელებს წვლილის შეტანა მოწინავე კვლევაში, ის ერდეშის ამოცანების კრებულზე შევაფასეთ. ამ შემთხვევაში მან წარმოქმნა დამტკიცება, რომელმაც ღია ამოცანა გადაჭრა.

ეს მტკიცებულება მნიშვნელოვანი ეტაპია მათემატიკისა და AI-ის საზოგადოებებისთვის. ეს პირველი შემთხვევაა, როცა მათემატიკის ქვედარგისთვის ცენტრალური, ცნობილი ღია ამოცანა AI-მ ავტონომიურად გადაჭრა. ეს ასევე აჩვენებს, რამდენად ღრმა მსჯელობას უჭერენ ახლა მხარს ეს სისტემები. მათემატიკა მსჯელობისთვის განსაკუთრებით მკაფიო საცდელი გარემოა: ამოცანები ზუსტია, შესაძლო დამტკიცებების შემოწმება შეიძლება, და გრძელი არგუმენტი მხოლოდ მაშინ მუშაობს, თუ მსჯელობა თავიდან ბოლომდე თანმიმდევრულია. აღსანიშნავია ის მეთოდიც, რომლითაც ამოცანა გადაიჭრა. ამ დამტკიცებაში ელემენტარული გეომეტრიული საკითხის გადასაჭრელად გამოიყენება მოულოდნელი და რთული იდეები რიცხვების ალგებრული თეორიიდან.

ფილდსის მედლის მფლობელი ტიმ გოუერსი, რომელიც თანმხლებ ნაშრომში წერს, ამ შედეგს „AI მათემატიკის ეტაპობრივ მიღწევას“ უწოდებს. წამყვანი რიცხვთა თეორეტიკოსის, არულ შანკარის თქმით, „ჩემი აზრით, ეს ნაშრომი აჩვენებს, რომ თანამედროვე AI მოდელები მხოლოდ ადამიან მათემატიკოსთა დამხმარეებს აღარ წარმოადგენენ — მათ შეუძლიათ ორიგინალური, გენიალური იდეების ქონა და შემდეგ მათი ბოლომდე მიყვანა“.

დამტკიცება ხელმისაწვდომია აქ⁠(იხსნება ახალ ფანჯარაში). წამყვანი გარე მათემატიკოსების თანმხლები ნაშრომი ხელმისაწვდომია აქ⁠(იხსნება ახალ ფანჯარაში). მოდელის აზროვნების ჯაჭვის შემოკლებული ვერსია შეგიძლიათ ნახოთ აქ⁠(იხსნება ახალ ფანჯარაში).

დავუშვათ, $u(n)$ არის სიბრტყეზე განლაგებულ $n$ წერტილს შორის ერთეულოვანი მანძილით დაშორებული წყვილების მაქსიმალურად შესაძლო რაოდენობა. ხაზოვანი ზრდის სიჩქარის მიმღები მაგალითების აგება მარტივია: $n$ წერტილის ერთ ხაზზე განთავსება იძლევა $n-1$ წყვილს, ხოლო კვადრატული ბადე — დაახლოებით $2n$ წყვილს. მანამდე ცნობილი საუკეთესო კონსტრუქცია, რომელიც მასშტაბშეცვლილი კვადრატული ბადიდან მოდის, სინამდვილეში კიდევ მეტს იძლევა: $n^{1 + C / \log \log(n)}$, სადაც $C$ არის მუდმივი. რადგან $\log \log(n)$ $n$-ის ზრდასთან ერთად უსასრულობისკენ ისწრაფვის, მაჩვენებელში დამატებითი წევრი $0$-ისკენ ისწრაფვის, რაც ნიშნავს, რომ ეს კონსტრუქციები ხაზოვან ზრდაზე ოდნავ უფრო სწრაფ ზრდას აღწევს. ათწლეულების განმავლობაში ფართოდ სჯეროდათ, რომ ეს სიჩქარე არსებითად საუკეთესო შესაძლო იყო და ვერცერთი კონსტრუქცია კვადრატულ ბადეს მნიშვნელოვნად ვერ გააუმჯობესებდა. ტექნიკური თვალსაზრისით, ერდეში ვარაუდობდა ზედა ზღვარს $n^{1+o(1)}$, სადაც დამატებითი $o(1)$ აღნიშნავს წევრს, რომელიც $n$-თან ერთად $0$-ისკენ ისწრაფვის.

ჩვენი ახალი შედეგი ამ ჰიპოთეზას უარყოფს. უფრო ზუსტად, უსასრულოდ ბევრ $n$-ის მნიშვნელობაზე, მტკიცება ქმნის $n$ წერტილის ისეთ კონფიგურაციებს, რომლებსაც აქვთ სულ მცირე $n^{1+\delta}$ ერთეულოვანი მანძილით დაშორებული წყვილი, სადაც $\delta>0$ არის ფიქსირებული მაჩვენებელი. (ხელოვნური ინტელექტის მიერ შემოთავაზებული თავდაპირველი მტკიცებულება არ იძლევა $\delta$-ს კონკრეტულ, აშკარა მნიშვნელობას, თუმცა პრინსტონის უნივერსიტეტის მათემატიკის პროფესორის, უილ სავინის სამომავლო დაზუსტებამ აჩვენა, რომ შესაძლებელია $\delta=0.014$-ს აღება.

ამ ამოცანის ისტორია გვეხმარება დავინახოთ, რატომ არის შედეგი მოულოდნელი. საუკეთესო ცნობილი ქვედა ზღვარი ერდეშის 1946 წლის თავდაპირველი კონსტრუქციის შემდეგ არსებითად უცვლელი იყო. საუკეთესო ზედა ზღვარი, $O(n^{4/3})$, მოდის სპენსერის, სემერედის და ტროტერის 1984 წლის ნაშრომიდან და მიუხედავად შემდგომი დახვეწებისა და დაკავშირებული სტრუქტურული ნაშრომებისა, რომლებიც ეკუთვნის სეკეის, კაცსა და სილიერს, პახს, რაზსა და სოლიმოშის და სხვებს, ზედა ზღვარი არსებითად უცვლელი დარჩა. ჰიპოთეზის სასარგებლოდ მტკიცებულებად, მატოუშეკმა და ალონ-ბუჩიჩ-საუერმანმა სიბრტყეზე არაევკლიდური მანძილებით შეისწავლეს ეს ამოცანა და დაამტკიცეს, რომ ამ არაევკლიდური მანძილების „უმეტესობა“ გარკვეული აზრით ამ ჰიპოთეზას ემორჩილება.

გასაკვირად, კონსტრუქციის ძირითადი ინგრედიენტები მოდის მათემატიკის სრულიად სხვა ნაწილიდან, რომელსაც ალგებრული რიცხვთა თეორია ეწოდება და რომელიც სწავლობს ისეთ ცნებებს, როგორიცაა ფაქტორიზაცია მთელი რიცხვების გაფართოებებში, რომლებიც ალგებრულ რიცხვით ველებადაა ცნობილი.

მაღალ დონეზე, დამტკიცება იწყება ნაცნობი გეომეტრიული იდეით და მას მოულოდნელი მიმართულებით ავითარებს.

ერდეშის თავდაპირველი ქვედა ზღვარი შეიძლება გავიგოთ გაუსის მთელი რიცხვების მეშვეობით: ეს არის $a+bi$ ფორმის რიცხვები, სადაც $a$ და $b$ მთელი რიცხვებია, ხოლო $i$ არის $-1$-ის კვადრატული ფესვი. გაუსის მთელი რიცხვები ჩვეულებრივ მთელ რიცხვებს აფართოებს და, მათ მსგავსად, ფლობს ისეთ თვისებებს, როგორიცაა მარტივ რიცხვებად უნიკალური ფაქტორიზაცია. ჩვეულებრივი მთელი ან რაციონალური რიცხვების ასეთ გაფართოებებს ალგებრული რიცხვითი ველები ეწოდება. ახალი არგუმენტი გაუსის მთელ რიცხვებს ანაცვლებს ალგებრული რიცხვთა თეორიის უფრო რთული განზოგადებებით, რომლებსაც უფრო მდიდარი სიმეტრიები აქვთ და ბევრად მეტი ერთეულოვანი სიგრძის სხვაობის შექმნა შეუძლიათ.

ზუსტი არგუმენტი იყენებს ისეთ ინსტრუმენტებს, როგორიცაა კლასის ველების უსასრულო კოშკები და გოლოდ-შაფარევიჩის თეორია, რათა აჩვენოს, რომ არგუმენტისთვის საჭირო რიცხვითი ველები მართლაც არსებობს. ეს იდეები ალგებრული რიცხვთა თეორეტიკოსებისთვის კარგად ცნობილი იყო, მაგრამ დიდი სიურპრიზი აღმოჩნდა, რომ ამ ცნებებს ევკლიდურ სიბრტყეზე გეომეტრიულ კითხვებთან კავშირი აქვთ.

ეს შედეგი მნიშვნელოვან მომენტს აღნიშნავს AI-სა და მათემატიკას შორის ურთიერთქმედებაში: AI სისტემამ ავტონომიურად გადაჭრა ხანგრძლივი ღია ამოცანა აქტიურ დარგში. ეს ასევე გვაძლევს AI-სა და ადამიან მათემატიკოსებს შორის თანამშრომლობის ახალი ტიპის ადრეულ ხედვას. ამ შემთხვევაში, გარე მათემატიკოსების თანმხლები ნაშრომი თავდაპირველ გადაწყვეტასთან შედარებით არსებითად უფრო მდიდარ სურათს ხატავს.

როგორც თომას ბლუმი წერს თანმხლებ შენიშვნაში:

„როდესაც AI-ის მიერ გენერირებული მტკიცებულების მნიშვნელობასა და გავლენას ვაფასებ, საკუთარ თავს ვეკითხები: გვასწავლა თუ არა ამან რაიმე ახალი ამოცანის შესახებ? ახლა უკეთ გვესმის დისკრეტული გეომეტრია? ვფიქრობ, პასუხი ზომიერად დადებითია: ეს აჩვენებს, რომ რიცხვთა თეორიულ კონსტრუქციებს ამ ტიპის კითხვებზე ბევრად მეტი სათქმელი აქვთ, ვიდრე გვეგონა; მეტიც, საჭირო რიცხვთა თეორია შეიძლება ძალიან ღრმა იყოს. ეჭვი არ მეპარება, რომ უახლოეს თვეებში ბევრი ალგებრული რიცხვთა თეორეტიკოსი დისკრეტულ გეომეტრიაში სხვა ღია ამოცანებსაც ყურადღებით დააკვირდება.“

ამოხსნით გამოვლენილი მოულოდნელი კავშირი ალგებრულ რიცხვთა თეორიასა და დისკრეტულ გეომეტრიას შორის იმ მიზეზთა ნაწილია, რის გამოც ეს შედეგი აღსანიშნავია. ის უბრალოდ კონკრეტულ ჰიპოთეზას არ წყვეტს; შესაძლოა მათემატიკოსებს ხიდიც მისცეს, რომ შემდგომი დაკავშირებული ამოცანების კვლევა დაიწყონ.

ბლუმი უფრო ფართო შესაძლებლობაზეც მიუთითებს:

„ცოდნის საზღვრები ძალიან უსწორმასწოროა და ეჭვი არ მეპარება, რომ მომდევნო თვეებსა და წლებში მათემატიკის მრავალ სხვა სფეროშიც ვიხილავთ მსგავს წარმატებებს, სადაც ხანგრძლივი ღია ამოცანები გადაიჭრება იმის წყალობით, რომ AI მოულოდნელ კავშირებს გამოავლენს და არსებულ ტექნიკურ აპარატს მის ზღვრამდე მიიყვანს. AI გვეხმარება უფრო სრულად გამოვიკვლიოთ მათემატიკის ტაძარი, რომელიც საუკუნეების განმავლობაში ავაშენეთ; კიდევ რა უხილავი საოცრებები გველოდება კულისებში?“

ეს შედეგი იმედისმომცემ მაგალითს გვაძლევს: AI-ს წვლილი შეაქვს არა მხოლოდ გადაწყვეტაში, არამედ მათემატიკურ აღმოჩენაში, რომლის მნიშვნელობაც შემდგომი ადამიანური გააზრებით უფრო ნათელი და მდიდარი ხდება.

მთავარი დასკვნა ამ კონკრეტულ შედეგზე დიდია. უკეთეს მათემატიკურ მსჯელობას შეუძლია AI უფრო ძლიერ კვლევით პარტნიორად აქციოს: ისეთად, რომელსაც შეუძლია რთული აზრობრივი ხაზების შეკვრა, ცოდნის შორეულ სფეროებს შორის იდეების დაკავშირება, იმედისმომცემი გზების გამოკვეთა, რომლებსაც ექსპერტებმა შესაძლოა პრიორიტეტი არ მიანიჭეს, და მკვლევრების დახმარება ისეთ ამოცანებზე წინსვლაში, რომლებიც სხვაგვარად მეტისმეტად რთული ან დროის მომთხოვნი იქნებოდა.

ეს შესაძლებლობები მხოლოდ მათემატიკას არ ეხება. თუ მოდელს შეუძლია რთული არგუმენტის თანმიმდევრულად შენარჩუნება, ცოდნის შორეულ სფეროებს შორის იდეების დაკავშირება და ისეთი ნაშრომის შექმნა, რომელიც ექსპერტულ შემოწმებას უძლებს, ეს სასარგებლო უნარებია ბიოლოგიაში, ფიზიკაში, მასალათმცოდნეობაში, ინჟინერიაში და მედიცინაში, და ისინი ჩვენი უფრო გრძელვადიანი გზის ნაწილია უფრო ავტომატიზებული კვლევისკენ: სისტემებისკენ, რომლებიც მეცნიერებსა და ინჟინრებს მეტი იდეის გამოკვლევასა და უფრო რთული ტექნიკური კითხვების დევნაში დაეხმარება.

AI მალე კვლევის შემოქმედებით ნაწილებში, და რაც ყველაზე მნიშვნელოვანია, თავად AI კვლევაში, ძალიან სერიოზულ როლს დაიწყებს. მიუხედავად იმისა, რომ ეს პროგრესი მოულოდნელი არ არის, ის კიდევ უფრო ამძაფრებს იმ გადაუდებლობას, რომელსაც ვგრძნობთ, რომ გავიგოთ AI-ის განვითარების ეს მომდევნო ფაზა, გამოწვევები ძალიან ინტელექტუალური სისტემების თანხვედრაში მოყვანის მხრივ და ადამიანსა და AI-ს შორის თანამშრომლობის მომავალი.

ეს მომავალი მაინც ადამიანურ განსჯაზეა დამოკიდებული. ექსპერტული ცოდნა ნაკლებად კი არა, უფრო მეტად ღირებული ხდება. AI-ს შეუძლია ძიებაში, შეთავაზებასა და გადამოწმებაში დახმარება. ადამიანები ირჩევენ მნიშვნელოვან ამოცანებს, განმარტავენ შედეგებს და წყვეტენ, შემდეგ რომელი კითხვები უნდა გამოიკვლიონ.