16 aprile 2025

Ti presentiamo OpenAI o3 e o4-mini

I nostri modelli più intelligenti e performanti fino ad oggi con accesso completo agli strumenti

Caricamento in corso...

Aggiornamento del 10 giugno 2025: OpenAI o3‑pro è ora disponibile per gli utenti Pro in ChatGPT e nella nostra API. Come OpenAI o1‑pro, anche o3‑pro è una versione del nostro modello più intelligente, OpenAI o3, progettata per pensare più a lungo e fornire risposte più affidabili. Tutti i dettagli sono disponibili nelle nostre note sulla versione⁠(si apre in una nuova finestra).

Da oggi sono disponibili OpenAI o3 e o4-mini, gli ultimi modelli della serie o addestrati per pensare più a lungo prima di rispondere. Sono i modelli più intelligenti che abbiamo rilasciato finora e segnano un cambiamento radicale nelle funzionalità di ChatGPT, sia per gli utenti che lo utilizzano per curiosità sia per quelli che lo impiegano per ricerche avanzate. Per la prima volta, i nostri modelli di ragionamento sono in grado di utilizzare e combinare in modo autonomo tutti gli strumenti disponibili in ChatGPT: dalla ricerca sul web all’analisi di file caricati e altri dati con Python, dal ragionamento avanzato su input visivi alla generazione di immagini. In particolare, questi modelli sono stati addestrati a ragionare per comprendere quando e come utilizzare gli strumenti per fornire risposte dettagliate e pertinenti nei formati più adatti, di solito in meno di un minuto, anche per i problemi più complessi. Ciò consente ai modelli di affrontare con maggiore efficacia domande composte e articolate e di avvicinarsi così a un ChatGPT sempre più autonomo e in grado di eseguire in autonomia attività al tuo posto. L’unione tra ragionamento all’avanguardia e accesso completo agli strumenti si traduce in prestazioni nettamente superiori, sia in benchmark accademici che in applicazioni reali, e in un nuovo standard in termini di intelligenza e utilità.

Cosa è cambiato

OpenAI o3 è il nostro modello di ragionamento più avanzato che ridefinisce i confini in ambiti come codifica, matematica, scienza, percezione visiva e molti altri. Ha stabilito nuovi record in benchmark come Codeforces, SWE-Bench (senza bisogno di scaffold personalizzati specifici per il modello) e MMMU. È ideale per domande complesse che richiedono un’analisi articolata e per cui le risposte non sono immediatamente evidenti. Si distingue in particolare nelle attività visive, come l’analisi di immagini, grafici e diagrammi. In valutazioni condotte da esperti esterni, o3 commette il 20% di errori gravi in meno rispetto a OpenAI o1 in attività complesse e reali ed eccelle soprattutto in aree come programmazione, business/consulenza e generazione di idee creative. I primi tester ne hanno sottolineato la precisione analitica e la capacità di formulare e valutare in maniera critica ipotesi originali, in particolare in contesti di biologia, matematica e ingegneria.

OpenAI o4-mini è un modello più compatto ottimizzato per un ragionamento rapido ed efficiente in termini di costi. Considerando dimensioni e costo, offre prestazioni sorprendenti, soprattutto in matematica, codifica e attività visive, ed è il modello con i migliori risultati nei benchmark AIME 2024 e 2025. Pur riconoscendo che l’accesso a un computer riduce sensibilmente la difficoltà dell’esame AIME, è comunque notevole che o4-mini abbia ottenuto il 99,5% pass@1 (100% consensus@8) nell’edizione 2025 con accesso a uno strumento di interpretazione Python. Sebbene questi risultati non siano direttamente comparabili con quelli dei modelli senza accesso agli strumenti, rappresentano un chiaro esempio dell’efficacia con cui o4-mini sfrutta gli strumenti disponibili. o3 mostra miglioramenti simili in AIME 2025 con l’uso di strumenti (98,4% pass@1, 100% consensus@8).

In valutazioni condotte da esperti, o4-mini supera anche il suo predecessore o3‑mini nelle attività non legate alle discipline STEM e in ambiti come il data science. Grazie alla sua efficienza, o4-mini consente limiti di utilizzo notevolmente superiori rispetto a o3, il che lo rende un’ottima scelta per produttività e volumi elevati e domande che richiedono capacità di ragionamento. I valutatori esperti esterni hanno ritenuto entrambi i modelli più efficaci nel seguire le istruzioni e nel fornire risposte utili e verificabili rispetto ai loro predecessori, grazie a un’intelligenza migliorata e all’integrazione di fonti web. Rispetto alle versioni precedenti dei nostri modelli di ragionamento, questi due modelli offrono anche un’interazione più naturale e dialogica, in particolare quando fanno riferimento alla memoria e alle conversazioni passate per generare risposte più personalizzate e pertinenti.

Multimodali

Codifica

All SWE-bench evaluation runs use a fixed subset of n=477 verified tasks which have been validated on our internal infrastructure.

Esecuzione delle istruzioni e uso agentico degli strumenti

Tutti i modelli sono valutati con impostazioni di “sforzo di ragionamento” alto, in maniera simile a varianti come “o4-mini-high” in ChatGPT.

Espansione dell’apprendimento per rinforzo

Durante lo sviluppo di OpenAI o3, abbiamo osservato che l’apprendimento per rinforzo su larga scala segue lo stesso andamento "potenza di calcolo maggiore = prestazioni migliori" riscontrato nel pre-addestramento della serie GPT. Applicando questa tecnica all’apprendimento per rinforzo, abbiamo incrementato di un ordine di grandezza sia la potenza di calcolo impiegata per l’addestramento sia la capacità di ragionamento in fase di inferenza e continuiamo a registrare guadagni tangibili nelle prestazioni. Ciò conferma che le prestazioni dei modelli migliorano con l'aumentare del tempo di ragionamento. A parità di latenza e costi rispetto a OpenAI o1, o3 offre prestazioni superiori in ChatGPT e abbiamo verificato che, concedendogli più tempo per pensare, i risultati continuano a migliorare.

Abbiamo inoltre addestrato entrambi i modelli a usare strumenti tramite apprendimento per rinforzo, insegnando loro non solo come ma anche quando utilizzarli. La loro capacità di impiegare gli strumenti in funzione del risultato desiderato li rende più efficaci in situazioni aperte, in particolare quelle che richiedono ragionamento visivo e flussi di lavoro articolati in più passaggi. Questo miglioramento si riflette sia in benchmark accademici sia in attività reali, come riportato dai primi tester.

Ragionamento sulle immagini

Per la prima volta, questi modelli riescono a integrare le immagini direttamente nella loro catena di pensiero. Non si limitano a vedere un’immagine, ma ragionano su di essa. Si apre così la strada a una nuova categoria di risoluzione dei problemi che combina ragionamento visivo e testuale, come dimostrano le prestazioni all’avanguardia in vari benchmark multimodali.

Gli utenti possono caricare la foto di una lavagna, un diagramma di un libro di testo o uno schizzo fatto a mano e il modello è in grado di interpretarla, anche se l’immagine è sfocata, capovolta o di bassa qualità. Grazie all’uso degli strumenti, i modelli possono manipolare le immagini in tempo reale ruotandole, ingrandendole o trasformandole come parte del loro processo di ragionamento.

Questi modelli offrono una precisione senza pari nelle attività di percezione visiva e permettono di trovare risposte a domande che prima erano irraggiungibili. Visita il blog sulla ricerca sul ragionamento visivo⁠ per saperne di più.

Verso un uso agentico degli strumenti

OpenAI o3 e o4-mini hanno pieno accesso agli strumenti integrati in ChatGPT, oltre che ai tuoi strumenti personalizzati tramite richiamo di funzioni nell’API. Questi modelli sono addestrati a ragionare su come risolvere problemi, scegliendo quando e come utilizzare gli strumenti per fornire rapidamente risposte dettagliate e ponderate nel formato più adatto, di solito in meno di un minuto.

Ad esempio, un utente potrebbe chiedere: "Come sarà il consumo energetico estivo in California rispetto all’anno scorso?". Il modello può cercare sul web dati pubblici sulle utenze, scrivere del codice Python per creare una previsione, generare un grafico o un’immagine e spiegare i fattori chiave alla base della previsione, concatenando i richiami di più strumenti. Il ragionamento permette ai modelli di reagire e adattarsi alle informazioni che trovano: ad esempio, possono cercare più volte sul web con l’aiuto dei provider di ricerca, analizzare i risultati e provare nuove ricerche se hanno bisogno di altre informazioni.

Questo approccio flessibile e strategico consente ai modelli di affrontare attività che richiedono accesso a informazioni aggiornate che vanno ben oltre la conoscenza incorporata nel modello, ragionamenti estesi, sintesi e generazione di output multimodali.

Tutti gli esempi sono stati realizzati con OpenAI o3.

OpenAI o3

Solve the following very hard math problem using your in-built knowledge of the literature:

Construct a degree 19 polynomial \ (p(x)) \ in \ mathbb{C}[x] such that \ (X := \ {\, p(x) = p(y) \, \} \ subset \ mathbb{P}^{1} \ times \ mathbb{P}^{1}\ ) has at least 3 (but not all linear) irreducible components over \ mathbb{C}. Choose \ (p(x)\ ) to be odd, monic, have real coefficients and linear coefficient \ (-19\ ) and calculate \ (p(19)\ ).

Ragionamento di 55 secondi sulla costruzione del polinomio

The curve defined by p(x) = p(y) factors if p(x) is decomposable or has repeated factors. Actually, p(x)-p(y) always factors, and it’s divisible by (x-y). This gives one factor, and the rest is a degree d-1 polynomial in x and y. For the curve to have at least three irreducible components, p(x)-p(y) must factor into at least three nontrivial factors. Each factor corresponds to a component in projective space, and at least one must be nonlinear.
I’m checking the Dickson polynomials D_n(x,a) and focusing on their coefficients. With a=1, it seems the leading coefficient is always 1, confirming that Dickson polynomials are monic. The linear coefficient for odd n is following a predictable sign pattern: for n=19, it gives a coefficient of -19, which is exactly what I need. So the Dickson polynomial D_n(x,1) with odd n fits nicely with the linear coefficient I was looking for.
I've confirmed that the linear coefficient for p(x)=D19(x)p(x) = D_{19}(x)p(x)=D19(x) is correct, with the necessary scaling factor to match. Now for the next step, I need to compute D19(19)D_{19}(19)D19(19). Since Tn(z)T_n(z)Tn(z) grows quickly for real z>1z > 1z>1, I plan to compute this value using Python, leveraging the recurrence to avoid mistakes—it's going to be a big number. I'll make sure to present the numeric result neatly so it's understandable since the coefficients are integers.
The Dickson polynomial D_{19}(x,1) is confirmed to have the required properties: monic, odd, real coefficients, and a linear coefficient of -19. The factorization of D_{19}(x) into irreducible components is also verified and satisfies the condition of having at least 10 components (1 linear + 9 quadratics). To compute p(19), we'll use the recurrence relation for Dickson polynomials, but there's also a closed-form expression involving cosine that could be handy here. I'll proceed accordingly!
I confirmed the linear coefficient is working correctly, which means now I need to calculate p(19)=D19(19)p(19) = D_{19}(19)p(19)=D19(19). This involves evaluating T19(9.5)T_{19}(9.5)T19(9.5), which grows rapidly. To ensure I get an accurate result, I'll compute this using recurrence in Python. The result is a large number: 1,876,572,071,974,094,803,391,179. I'll use the commas to make it easier to read: p(19)=1,876,572,071,974,094,803,391,179p(19) = 1,876,572,071,974,094,803,391,179p(19)=1,876,572,071,974,094,803,391,179.
For a = 1, there’s a relationship between Dickson polynomials and Chebyshev polynomials: D_n(x, 1) = 2^(n-1) T_n(x/2). Checking this, we see that the definition of D_n(u + 1/u) aligns well with Chebyshev’s formula. By setting x = 2 cos(θ), we find that D_n(x) equals 2 T_n(x/2). Importantly, the leading coefficient works out to 1, confirming the identity holds. This is nice!
Now, I need to verify that p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) factors as desired, relying on the known Dickson polynomial factorization. According to the literature (like Fried and Jarden), the difference Dn(x)−Dn(y)D_n(x) - D_n(y)Dn(x)−Dn(y) factors into a product involving (x−y)(x - y)(x−y) and other expressions. I'll provide the explicit polynomial D19(x,1)D_{19}(x, 1)D19(x,1), list the coefficients, and explain how it satisfies the desired properties: monic, odd, etc. Lastly, I'll compute p(19)p(19)p(19).

Analyzed

Python

1from math import comb, cos, acos
2# Let's compute Dickson D_n(x,a=1) recursively
3def dickson(n,x,a=1):
4    if n==0:
5        return 2
6    if n==1:
7        return x
8    Dm2=2
9    Dm1=x
10    for k in range(2,n+1):
11        D= x*Dm1 - a*Dm2
12        Dm2, Dm1 = Dm1, D
13    return Dm1
14
15d19 = dickson(19,19,1)
16d19

1876572071974094803391179

Analyzed

Python

1d19

1876572071974094803391179

Analyzed

Python

1import locale, sys, math, json, textwrap, re, decimal

Analyzed

Python

1"{:,}".format(d19)

'1,876,572,071,974,094,803,391,179'

Analyzed

Python

1# compute coefficients of Dickson polynomial D_n(x,1) via recurrence polynomial representation
2from sympy import symbols, Poly
3
4x = symbols('x')
5def dickson_poly(n):

Poly(x**19 - 19*x**17 + 152*x**15 - 665*x**13 + 1729*x**11 - 2717*x**9 + 2508*x**7 - 1254*x**5 + 285*x**3 - 19*x, x,

Analyzed

Python

1poly19.as_expr()

x**19 - 19*x**17 + 152*x**15 - 665*x**13 + 1729*x**11 - 2717*x**9 + 2508*x**7 - 1254*x**5 + 285*x**3 - 19*x

Done

A convenient way to force many factors in
$p(x) \;-\; p(y)$ is to use a Dickson polynomial of the first kind.
For a parameter $a \in \mathbb{C}$ in math these are defined by

$D_0\!\left(x,\, a\right) = 2,\; D_1\!\left(x,\, a\right) = x,\; D_n\!\left(x,\, a\right) = x\,D_{n-1}\!\left(x,\, a\right) - a\,D_{n-2}\!\left(x,\, a\right)\quad (n \ge 2),$

and satisfy the functional identity

$D_n\!\left(u + \frac{a}{u},\, a\right) = u^{n} + \frac{a^{n}}{u^{n}}.$

1. Choosing the polynomial

Take $a = 1$ and $n=19$ .
Because $n$ is odd, $D_{19}\!\left(x,\, 1\right)$ is an odd polynomial; the recurrence immediately shows it is monic and has integer (hence real) coefficients.
The coefficient of $x$ is $x = (-1)^{\frac{n-1}{2}}\,n = -19,$ so all requested normalisations are satisfied.

Writing it out gives

$\boxed{% p(x) = D_{19}\!\left(x,1\right) = x^{19} - 19x^{17} + 152x^{15} - 665x^{13} + 1729x^{11} - 2717x^{9} + 2508x^{7} - 1254x^{5} + 285x^{3} - 19x% }\,.$

2. Irreducible components of $fX \;=\; \bigl\{\, p(x) = p(y) \,\bigr\}$

For Dickson polynomials one has the classical factorisation

$D_n\!\left(x,1\right) \;-\; D_n\!\left(y,1\right) \;=\; (x - y)\, \prod_{j=1}^{\frac{n-1}{2}} \Bigl( x^{2} + y^{2} - 2\cos\!\bigl(\tfrac{2\pi j}{n}\bigr)\,xy - 4\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi j}{n}\bigr) \Bigr),$

where each quadratic factor is irreducible over $\mathbb{C}$ (see, e.g., Lidl–Niederreiter, Finite Fields, §3.6).
For $n=19$ this gives

one linear component $x=y;$
nine quadratic components (corresponding to $\bigl(j = 1,\,\ldots,\,9\bigr).$

Hence $X \subset \mathbb{P}^{1} \times \mathbb{P}^{1}$ has $10$ irreducible components, at least three of them and not all linear, as required.

3. Evaluating $p(19)$

Using the recurrence (or the identity $D_n\!\left(x,\,1\right) \;=\; 2\,T_n\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)$ with Chebyshev $T_n$ one obtains

$p(19) \;=\; D_{19}\!\left(19,\,1\right) \;=\; 1\,876\,572\,071\,974\,094\,803\,391\,179.$

Thus the polynomial above fulfils every condition, and

$\boxed{% p(19) \;=\; 1{,}876{,}572{,}071{,}974{,}094{,}803{,}391{,}179 }.$

OpenAI o1

Solve the following very hard math problem using your in-built knowledge of the literature:

Ragionamento di 1 minuto e 19 secondi

I’m piecing together a degree 19 polynomial with only odd powers and a linear coefficient of -19, like: p(x)=x19+a17x17+…+a1xp(x) = x^{19} + a_{17}x^{17} + \ldots + a_1xp(x)=x19+a17x17+…+a1x.

I'm examining if the polynomial p(x)=x19+a17x17+…+a3x3−19xp(x) = x^{19} + a_{17}x^{17} + \ldots + a_3x^3 - 19xp(x)=x19+a17x17+…+a3x3−19x has a notable classical form, considering symmetry or factorization for multiple irreducible components.

To ensure p(x)p(x)p(x) has three or more irreducible components, I’m considering the factorization of p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) into at least three irreducible factors in C[x,y]\mathbb{C}[x,y]C[x,y].

I'm working through x19−y19x^{19} - y^{19}x19−y19 to ensure it balances linear and nonlinear factors, aiming for a polynomial with at least three irreducible components that aren't all linear.

Taking a closer look at how p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) can be factored into three distinct polynomials in xxx, aiming to achieve the desired irreducible components.

I'm thinking about how composing ppp with simpler polynomials, like xm−cx^m - cxm−c, could result in multiple irreducible components, achieving at least three distinct factors.

I’m exploring the factorization of p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with cyclotomic polynomials. This method generates nnn linear irreducible factors, which might not achieve the required three distinct components.

I'm focusing on constructing an "odd" and monic polynomial, ensuring all exponents are odd and the leading term is x19x^{19}x19. This approach aims to achieve the desired factorization.

I'm working with the Chebyshev polynomials to ensure p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) has at least three irreducible components, leveraging their even or odd properties to manage coefficients.

Considering the odd Chebyshev polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) for potential factorization, while also examining composite polynomials of lower degrees to enhance factorization properties.

I'm analyzing how a polynomial composed of lower-degree polynomials, like (x3−3x)k(x^3 - 3x)^k(x3−3x)k, could yield p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with at least three irreducible components.

Piecing together polynomials with integer coefficients, like (x3−3x)k(x^3 - 3x)^k(x3−3x)k, to achieve factorization in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with at least three irreducible components, aiming for degree 19.

I’m examining how p(x)=(x3−3x)kp(x) = (x^3 - 3x)^kp(x)=(x3−3x)k or p(x)=x19−19xp(x) = x^19 - 19xp(x)=x19−19x might yield p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with three irreducible components, focusing on ensuring the polynomial is of degree 19.

I’m analyzing p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) into (x−y)(x18+x17y+…+y18−19)(x-y)(x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18} - 19)(x−y)(x18+x17y+…+y18−19) to identify irreducible components. The polynomial factor x18+x17y+…+y18−19x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18} - 19x18+x17y+…+y18−19 remains challenging to factor further.

I’m thinking through a new approach: adjusting the Chebyshev polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) to make it monic, aiming to achieve at least three irreducible components in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y).

OK, let's think through. I’m tweaking T19(x)T_{19}(x)T19(x)'s coefficients to keep the polynomial monic and check if it simplifies into multiple irreducible components.

I'm thinking over various factorization strategies for a monic polynomial of degree 19. The goal is to ensure at least one non-linear factor and achieve at least three irreducible components in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y).

I’m updating my approach to factor x2+xy+y2−1x^2 + xy + y^2 - 1x2+xy+y2−1 over complex numbers by exploring change of variables and third roots of unity. This helps in achieving the desired polynomial structure.

I'm combining x3−xx^3 - xx3−x with x19−19xx^{19} - 19xx19−19x to tweak the polynomial's coefficients and complexity, aiming to include more non-linear factors for the desired irreducibility.

Piecing together p(x)=x19−x3−19xp(x) = x^{19} - x^3 - 19xp(x)=x19−x3−19x to ensure it’s odd, monic, and has the required linear coefficient. This targets the desired irreducible factorizations.

I’m mapping out the second factor x18+…+y18−x2−xy−y2−19x^{18} + \ldots + y^{18} - x^2 - xy - y^2 - 19x18+…+y18−x2−xy−y2−19 to see if it can split into three irreducible components.

I’m considering methods to factorize the polynomial by making it divisible by x−yx - yx−y and ensuring the remaining factor splits into exactly two irreducible components, aiming for a less complex factorization.

I’m examining the polynomial x18+x17y+…+y18x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18}x18+x17y+…+y18 and noting it simplifies to x19−y19x−y\frac{x^{19} - y^{19}}{x - y}x−yx19−y19, which might reveal further irreducible factors.

I’m mapping out the polynomial x(x18−1)−y(y18−1)x−y\frac{x(x^{18}-1) - y(y^{18}-1)}{x-y}x−yx(x18−1)−y(y18−1) for further factorization. This might yield just two irreducible components, which falls short of three.

I’m exploring whether the polynomial p(x)=x19−(x3)p(x) = x^19 - (x^3)p(x)=x19−(x3) can be expressed as the composition of a smaller polynomial with xkx^kxk, potentially revealing multiple irreducible components.

I'm examining if the polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) can be factored using trigonometric identities, seeking partial factorization without fully linearizing, to gain multiple irreducible components.

OK, let me see. Trigonometric identities show multiple solutions for θ\thetaθ and ϕ\phiϕ, likely leading to 19 or 38 linear factors for T19(x)T_{19}(x)T19(x).

I’m examining how the equation arccos⁡x=±arccos⁡y+2kπ19\arccos x = \pm \arccos y + \frac{2k\pi}{19}arccosx=±arccosy+192kπ leads to possible multiple branches, potentially irreducible in the algebraic sense, and needing an example with at least three non-linear irreducible components.

OK, let me see. I’m pulling together details on the polynomial x3(x2−1)8+xx^3 (x^2 - 1)^8 + xx3(x2−1)8+x. It’s monic, with x19x^{19}x19 as the leading term, ensuring it meets key criteria.

I’m noting that the polynomial p(x)=x3(x2−1)8+xp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + xp(x)=x3(x2−1)8+x is odd, with its linear coefficient patterning to -19.

I’m figuring out how to adjust the linear coefficient of polynomial p(x)p(x)p(x) to -19 by adding a constant factor ccc in front of xxx to ensure it’s adequately modified.

By tweaking the linear coefficient of p(x)=x3(x2−1)8+cxp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + c xp(x)=x3(x2−1)8+cx to -19, it ensures the polynomial remains monic, odd, and real.

I’m working on adding a constant factor ccc to xxx in p(x)=x3(x2−1)8+cxp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + c xp(x)=x3(x2−1)8+cx to ensure the linear coefficient is -19, making the polynomial monic, odd, and real.

I'm piecing together the polynomial p(x)=x3(x−1)8(x+1)8p(x) = x^3 (x-1)^8 (x+1)^8p(x)=x3(x−1)8(x+1)8 and considering how p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) might factor with factors like x−yx-yx−y.

I’m confirming p(x)p(x)p(x) is monic, odd, and real, with a linear coefficient of -19, by expanding x3(x2−1)8x^3 (x^2 -1)^8x3(x2−1)8 to set the constant ccc.

I found that for p(x) to have a coefficient of -19 for the x term, c must be -19. The polynomial, p(x), incorporates this constant and preserves the original polynomial's structure.

Below is one concrete example (over the reals) of an odd, monic, degree 19 polynomial with linear coefficient $-19$ whose zero-locus relation $\{\,p(x)=p(y)\,\}\ \text{in }\mathbb{P}^{1}\times\mathbb{P}^{1}$ splits into at least three irreducible components (and not all components are linear). We then compute $p(19)$ .

1. The polynomial

Consider

$p(x) \;=\; x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8} \;-\; 19x.$

We can expand

$x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8} \;=\; x^{19}\;-\;8x^{17}\;+\;28x^{15}\;-\;56x^{13}\;+\;70x^{11} \;-\;56x^{9}\;+\;28x^{7}\;-\;8x^{5}\;+\;x^{3}.$

Hence

$p(x) \;=\; x^{19} \;-\; 8x^{17} \;+\; 28x^{15} \;-\; 56x^{13} \;+\; 70x^{11} \;-\; 56x^{9} \;+\; 28x^{7} \;-\; 8x^{5} \;+\; x^{3} \;-\; 19x.$

Checking the required properties

Degree 19, monic:
The leading term is $x^{19}$ with coefficient $1$ .

Odd polynomial:
All exponents are odd $\bigl(19,\,17,\,\ldots,\,3,\,1\bigr),$ and the constant term is $0$ . Indeed,

$p(-x) \;=\; -\,p(x),$

which makes $p$ an odd polynomial.

Real coefficients:
All coefficients are real integers.

Linear coefficient $-19$ :
The coefficient of $x$ is clearly $-19$ .

At least three irreducible components, not all linear:
Over $\mathbb{C}$ , the locus

$X \;=\; \bigl\{\, (x,y) : p(x)=p(y) \,\bigr\} \;\subset\; \mathbb{P}^{1}\times\mathbb{P}^{1}$

factors in part because $p(x)$ has (for instance) the repeated factors $\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8}$ in the big piece $x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8}$ . One sees that $\{\,p(x)=p(y)\,\}$ contains (at least) the divisor $${x=y\}$$ plus further factors coming from the roots $x = 0 \;\text{or}\; x = \pm 1,$ ensuring multiple irreducible components (and not all of them are hyperplanes).

2. Computing $p(19)$

A direct substitution $x=19$ gives a large integer. Symbolic expansion or a computer algebra system yields

$p(19) \;=\; 1934999285524070399999639.$

Hence the required value is

\boxed{\,p(19) \;=\; 1934999285524070399999639\,}. \] :contentReference[oaicite:0]{index=0}

OpenAI o3 fornisce la risposta corretta senza usare la ricerca, mentre o1 non riesce a dare una risposta corretta.

Miglioramento del ragionamento efficiente in termini di costi

Rapporto costo/prestazioni: o3‑mini e o4-mini

Valutazioni AIME di OpenAI o3-mini e o4-mini

Valutazioni GPQA di OpenAI o3-mini e o4-mini

Costo/prestazioni: o1 e o3

OpenAI o3 e o4-mini sono i modelli più intelligenti che abbiamo mai rilasciato e spesso risultano anche più efficienti rispetto ai loro predecessori OpenAI o1 e o3‑mini. Ad esempio, nella competizione di matematica AIME 2025, il rapporto costo/prestazioni ottimale di o3 è nettamente migliore rispetto a o1, mentre quello di o4-mini supera in modo significativo o3‑mini. Più in generale, ci aspettiamo che nella maggior parte degli usi reali o3 e o4-mini saranno sia più intelligenti sia più economici di o1 e o3‑mini, rispettivamente.

Sicurezza

Ogni miglioramento delle capacità dei modelli richiede adeguati progressi anche sul piano della sicurezza. Per OpenAI o3 e o4-mini, abbiamo ricostruito completamente i dati di addestramento sulla sicurezza e aggiunto nuovi prompt di rifiuto in ambiti come le minacce biologiche (rischi biologici), la generazione di malware e i jailbreak. Questi dati aggiornati hanno permesso a o3 e o4-mini di ottenere ottimi risultati nei nostri benchmark di rifiuto interni (ad esempio, gerarchia delle istruzioni⁠, jailbreak). Oltre alle elevate prestazioni nei rifiuti del modello, abbiamo sviluppato anche delle mitigazioni a livello di sistema per segnalare prompt pericolosi in aree di rischio di frontiera. Come nel nostro precedente lavoro sulla generazione di immagini⁠⁠, abbiamo addestrato un sistema di monitoraggio LLM con capacità di ragionamento che si avvale di specifiche di sicurezza scritte da esseri umani e interpretabili. Applicato ai rischi biologici, questo sistema di monitoraggio ha segnalato con successo circa il 99% delle conversazioni durante la nostra campagna di red teaming condotta da esseri umani.

Abbiamo sottoposto entrambi i modelli al nostro programma di sicurezza più rigoroso di sempre. In linea con il nostro Framework di preparazione⁠ aggiornato, abbiamo valutato o3 e o4-mini in tre aree di capacità monitorate coperte dal Framework: rischi biologici e chimici, cybersicurezza e auto-miglioramento dell’IA. Dai risultati di queste valutazioni, abbiamo stabilito che sia o3 sia o4-mini si mantengono al di sotto della soglia alta del Framework in tutte e tre le categorie. I risultati dettagliati di queste valutazioni sono pubblicati nella scheda di sistema⁠ allegata.

Codex CLI: ragionamento all'avanguardia direttamente dal terminale

Presentiamo anche un nuovo esperimento: Codex CLI, un agente di codifica leggero che può essere eseguito direttamente dal terminale. Codex CLI opera direttamente sul computer ed è progettato per massimizzare le capacità di ragionamento di modelli come o3 e o4-mini, con in arrivo il supporto per ulteriori modelli API come GPT‑4.1⁠⁠.

È possibile ottenere i vantaggi del ragionamento multimodale dalla riga di comando inviando al modello screenshot o schizzi a bassa fedeltà, insieme all’accesso locale al codice. È un’interfaccia semplice ed essenziale che permette di connettere i nostri modelli agli utenti e i loro computer. Codex CLI è completamente open source e disponibile da oggi all'indirizzo github.com/openai/codex⁠(si apre in una nuova finestra).

Parallelamente, intendiamo lanciare un’iniziativa da 1 milione di dollari per supportare progetti che utilizzano Codex CLI e modelli OpenAI. Valuteremo e accetteremo candidature per finanziamenti con incrementi di 25.000 dollari sotto forma di crediti API. Le proposte possono essere inviate qui.

Accesso

A partire da oggi gli utenti ChatGPT Plus, Pro e Team vedranno o3, o4-mini e o4-mini-high nel selettore di modelli, al posto di o1, o3‑mini e o3‑mini‑high. Gli utenti ChatGPT Enterprise ed Edu otterranno l'accesso tra una settimana. Gli utenti Free possono provare o4-mini selezionando "Pensa" nel compositore prima di inviare la richiesta. I limiti di utilizzo per tutti i piani restano invariati rispetto ai modelli precedenti.

Prevediamo di rilasciare OpenAI o3‑pro tra qualche settimana con pieno supporto per gli strumenti. Nel frattempo, gli utenti Pro possono ancora accedere a o1‑pro.

Sia o3 che o4-mini sono già disponibili per gli sviluppatori tramite le API Chat Completions e Responses (alcuni sviluppatori dovranno verificare la propria organizzazione⁠⁠(si apre in una nuova finestra) per accedere a questi modelli). L'API Responses supporta i riepiloghi del ragionamento e la possibilità di conservare i token di ragionamento attorno ai richiami di funzioni per prestazioni migliori e presto supporterà strumenti integrati come ricerca sul web, ricerca di file e strumento di interpretazione del codice all’interno del ragionamento del modello. Per iniziare, consulta la nostra documentazione⁠(si apre in una nuova finestra) e resta con noi per altri aggiornamenti.

Novità

Gli aggiornamenti di oggi riflettono la direzione di evoluzione dei nostri modelli: stiamo unendo le capacità di ragionamento specializzato della serie o alle abilità di conversazione naturali e l’uso di strumenti tipici della serie GPT. Combinando questi punti di forza, i modelli futuri supporteranno conversazioni fluide e naturali, affiancate da un uso proattivo degli strumenti e da processi di risoluzione dei problemi avanzati.

Aggiornamento del 16 aprile: i risultati di o3 in Charxiv-r e Mathvista sono stati aggiornati per tenere conto di una modifica al prompt di sistema assente nella valutazione originale.

Registrazione della diretta

Autore

OpenAI

Note di riferimento

* I valori di valutazione di tau-bench sono calcolati in media su 5 esecuzioni per ridurre la varianza ed elaborati senza l’uso di strumenti personalizzati o prompt. Abbiamo riscontrato che le implementazioni per il settore della vendita al dettaglio di tau-bench sono più soggette a errori da parte del modello utente. I dati della barra evidenziata sono ottenuti con GPT-4.1 come modello utente poiché è nettamente più efficace di GPT-4o nel seguire le istruzioni.

* SWE-Bench utilizza una lunghezza di contesto massima di 256.000 token, il che migliora il tasso di risoluzione di o4-mini di circa il 3% e influenza il tasso di risoluzione di o3 di meno dell’1%. Escludiamo inoltre 23 campioni non eseguibili sulla nostra infrastruttura interna.

** Abilitando la navigazione, il modello può talvolta trovare risposte esatte online, ad esempio leggendo post di blog con problemi campione tratti da un set di dati. Per limitare il rischio di “imbroglio” da parte del modello durante la navigazione, adottiamo due strategie:

Blocchiamo domini per cui in passato il modello ha mostrato comportamenti di imbroglio.
Utilizziamo un modello di ragionamento come sistema di monitoraggio che analizza tutti i token di ciascun tentativo al fine di individuare comportamenti sospetti. Il comportamento sospetto è definito come “una pagina, un file o uno snippet il cui scopo principale è fornire la risposta esatta a quella specifica domanda, ad esempio una chiave di valutazione ufficiale, una sintesi di "soluzioni" trapelate o discussioni che riportano testualmente la risposta finale”. Il comportamento benigno è definito come “qualsiasi risorsa autorevole che un essere umano diligente potrebbe consultare (documentazione, manuali, paper scientifici, articoli affidabili) anche se contiene per caso la risposta corretta”. Qualsiasi tentativo per cui il sistema di monitoraggio ha giudicato sospetta la risposta viene considerato errato. La maggior parte dei campioni respinti da questo controllo riguardava problemi la cui soluzione esatta era disponibile in varie fonti Internet non correlate alle valutazioni a livello umano.

Infine, le nostre valutazioni con la navigazione potrebbero non essere perfettamente replicabili tramite l’API OpenAI a causa di differenze nel backend dei motori di ricerca tra ChatGPT e l’API OpenAI. Questi risultati sono intesi come rappresentativi dell’esperienza utente in ChatGPT, ma la configurazione di ricerca potrebbe variare nel tempo in base alla domanda.

Contributors

Aaditya Singh, Aaron Schlesinger, Adam Fry, Adam Lerer, Adam Perelman, Adam Walker, Ahmed El-Kishky, Aidan Clark, Aidan McLaughlin, Aiden Low, Akila Welihinda, Akshay Nathan, Aleksander Madry, Aleksandra Spyra, Alex Karpenko, Alex Neitz, Alex Tachard Passos, Alex Wei, Alexander Prokofiev, Alexander Zielenski, Alexandra Barr, Alexey Ivanov, Alexi Christakis, Alfred Xue, Allison Tam, Ally Bennett, Ally Bennett , Amelia Liu, Amy McDonald Sandjideh, Ananya Kumar, Andre Saraiva, Andrea Vallone, Andrew Chen, Andrew Duberstein, Andrew Gibiansky, Andrew Kondrich, Andrew Tulloch, Andrey Mishchenko, Andy Applebaum, Andy Wang, Angela Baek, Annie Wei, Anting Shen, Antoine Pelisse, Anuj Saharan, Arun Vijayvergiya, Ashley Tyra, Ashvin Nair, Avi Nayak, Avital Oliver, Behrooz Ghorbani, Belinda Truong, Ben Sokolowsky, Beth Hoover, Bo Xu, Boaz Barak, Bohan Zhang, Borys Minaiev, Botao Hao, Bowen Baker, Bowen Cheng, Brandon McKinzie, Brandon Wang, Brian Hsu, Brian Yang, Brian Yu, Brian Zhang, Camillo Lugaresi, Carolina Paz, Carpus Chang, Cary Bassin , Cary Hudson, Casey Chu, Chak Li, Charles Zhao, Charlie Jatt, Charlotte Cole, Chelsea Voss, Chen Shen, Chengxu Zhuang, Chris Colby, Chris Hallacy , Chris Koch, Christina Kaplan, Christina Kim, Colin Reid, Colin Wei, Cristina Scheau, D. Sculley, Damien Deville, Dan Roberts, Dana Palmie, Dane Stuckey, Daniel Levine, David Hu, David Martin, David Robinson, David Sasaki, Davis Wu, Derek Chen, Dibya Bhattacharjee, Dimitris Tsipras, Dinghua Li, DJ Strouse, dmed Medina, Drew Hintz, Eddie Zhang, Edmund Wong, Elaine Ya Le, Eli Yani , Elizabeth Proehl, Emily Sokolova, Enoch Cheung, Eri Schwartz, Eric Mitchell, Eric Ning, Eric Sigler, Eric Wallace, Eugenio Panero, Evan Mays, Evgenii Nikishin, Fan Wang, Fangyuan Li, Filippo Raso, Foivos Tsimpourlas, Fouad Matin, Francis Song, Francis Zhang, Gary Yang, Gene Oden, Giambattista Parascandolo, Gildas Chabot, Grace Kim, Grace Zhao, Greg Brockman, Gregory Valiant, Guillaume Leclerc, Hadi Salman, Haitang Hu, Hannah Sheahan, Hao Sheng, Haoyu Wang, Henrique Ponde de Oliveira Pinto, Henry Aspegren, Heqing Yan, Hessam Bagherinezhad, Hongyu Ren, Hunter Lightman, Hyeonwoo Noh, Ian Kivlichan, Ian Sohl, Ignasi Clavera, Ikai Lan, Ilge Akkaya, Ilya Kostrikov, Irina Kofman, Isa Fulford, Jake Brill, Jakub Pachocki, James Betker, James Lee, James Qin, Jamie Kiros, Jason Ai, Jay Wang, Jean Harb, Jeff Mickey, Jeffrey Han, Jeffrey Wang, Jeremy Chen, Jerry Tworek, Jessica Liang, Jessica Shieh, Ji Lin, Jiahui Yu, Jianfeng Wang, Jie Tang, Jihan Yin, Jing Li, Joanne Jang, Joel Morris, Johannes Ferstad, Johannes Heidecke, John Fishbein, Jon Okun, Jonathan Gordon, Joost Huizinga, Jos Kraaijeveld, Joseph Mo, Josh Lawson , Josh Tobin, Junhua Mao, Kai Chen, Kai Hayashi, Karan Singhal, Karina Nguyen, Katy Shi, Kelly Stirman, Kenji Hata, Kenny Nguyen, Keren Gu-Lemberg, Kevin Gladstone, Kevin King, Kevin Liu, Kevin Lu, Kevin Park, Kevin Stone, Kevin Weil, Kevin Whinnery, Kevin Yu, Kote Mushegiani, Kristen Ying, Kristian Georgiev, Kshitij Gupta, Kyle Kosic, Lama Ahmad, Larry Lv, Lauren Itow, Lauren Yang, Lee Byron, Leo Chen, Leo Liu, Leon Maksin, Leyton Ho, Li Jing, Liang Xiong, Lin Yang, Linden Li, Lorenz Kuhn, Louis Feuvrier, Lu Zhang, Łukasz Kaiser, Mahmoud Eariby, Maja Trębacz, Manas Joglekar, Manoli Liodakis, Manuka Stratta, Mark Chen, Mark Hudnall, Mark Sun, Mark Wang, Martin Li, Marvin Zhang, Mateusz Litwin, Matt Jones, Matt Lim, Max Johnson, Max Schwarzer, Mayank Gupta, Meghan Shah, Mengqing Wang, Mengyuan Yan, Mia Glaese, Michael Bolin, Michael Lampe, Michael Malek, Michael Sharman, Michael Zhang, Michele Wang, Michelle Pokrass, Miguel Oom Temudo de Castro, Mihai Florian, Mike McClay, Mike Trpcic, Miki Habryn, Miles Wang, Ming Chen, Mingxuan Wang, Minnia Feng, Mitchell Gordon, Mo Bavarian, Mostafa Rohaninejad, Nacho Soto, Nakul Khanna, Nat McAleese, Natalie Staudacher, Natan LaFontaine, Neel Ajjarapu, Nick Felt, Nick Turley, Nikil Pancha, Nikita Mikhaylin, Niko Felix, Nikunj Handa, Ning Liu, Nishant Rai, Noah Jorgensen, Noam Brown, Oleg Boiko, Oleg Murk, Olivia Watkins, Olivier Godement, Oona Gleeson, Paul Ashbourne, Pavel Belov, Peter Flockhart, Peter Hoeschele, Peter Zhokhov, Philip Pronin, Phillip Guo, Phoebe Thacker, Prafulla Dhariwal, Prashanth R, Rachel Dias, Rahul Arora, Rajkumar Samuel, Rasmus Rygaard, Ravi Teja Mullapudi, Raymond Li, Raz Gaon, Reah Miyara, Reiichiro Nakano, Reimar Leike, Rennie Song, Rhythm Garg, RJ Marsan, Robert Xiong, Robin Brown, Roman Tsiupa, Rui Shu, Ruslan Nigmatullin, Saachi Jain, Saagar Patel, Sam Altman, Sam Toizer, Sam Toyer, Samir Ahmed, Samuel Miserendino, Samuel Wolrich , Sandhini Agarwal, Santiago Hernández, Sarah Dong, Savannah Heon, Scott Ethersmith, Scott Mayer McKinney, Sean Fitzgerald, Sever Banesiu, Shamez Hemani, Shengjia Zhao, Shengli Hu, Shibani Santurkar, Shreyas Krishnaswamy, Shuchao Bi, Shunyu Yao, Shuyuan Zhang, Simón Posada Fishman, Spencer Papay, Spug Golden, Srinivas Narayanan, Stanley Hsieh, Stephen Logsdon, Sundeep Tirumalareddy, Tal Stramer, Tao Wang, Tao Xin, Taylor Gordon, Tejal Patwardhan, Thibault Sottiaux, Tina Sriskandarajah, Tony Casparro, Tony Zhao, Trapit Bansal, Trevor Creech, Uzair Navid Iftikhar, Valerie Qi, Vineet Kosaraju, Vishal Kuo, Vitchyr Pong, Vivek Verma, Vlad Petrov, Wenda Zhou, Wenlei Xie, Wenting Zhan, Will DePue, Will Ellsworth, William Sheu, Wyatt Thompson, Yaming Lin, Yann Dubois, Yaodong Yu, Yara Khakbaz, Yash Patil, Yifan Wu, Yilong Qin, Yining Chen, Yirui Zhang, Yo Shavit , Young Cha, Yunyun Wang, Yushi Wang, Zack Sultan, Zehao Dou, Zewei Chu, Zheng Shao, Zhigang Wang, Zhishuai Zhang, Zihao Zhang