OpenAI-ի մոդելը հերքել է դիսկրետ երկրաչափության կենտրոնական մի վարկած

Մոտ 80 տարի մաթեմատիկոսները ուսումնասիրել են խաբուսիկորեն պարզ մի հարց․ եթե հարթության վրա տեղադրեք $n$ կետ, կետերի քանի՞ զույգ կարող է միմյանցից լինել ճիշտ $1$ հեռավորության վրա։

Սա հարթության մեջ միավոր հեռավորության խնդիրն է, որն առաջին անգամ առաջադրել է Պոլ Էրդյոշը 1946 թվականին։ Այն կոմբինատոր երկրաչափության ամենահայտնի հարցերից է՝ հեշտ ձևակերպվող և զարմանալիորեն դժվար լուծելի։ 2005 թվականի Research Problems in Discrete Geometry գիրքը՝ Բրասի, Մոզերի և Պախի հեղինակությամբ, այն անվանում է «հնարավոր է՝ կոմբինատոր երկրաչափության ամենահայտնի (և բացատրելու համար ամենապարզ) խնդիրը»։ Նոգա Ալոնը՝ Փրինսթոնի առաջատար կոմբինատորիկոս, այն նկարագրում է որպես «Էրդյոշի սիրելի խնդիրներից մեկը»։ Էրդյոշը նույնիսկ դրամական պարգև էր առաջարկել այս խնդրի լուծման համար։

Այսօր մենք ներկայացնում ենք միավոր հեռավորության խնդրի բեկումնային արդյունք։ Էրդյոշի սկզբնական աշխատանքից ի վեր գերակշռող համոզմունքն այն էր, որ ստորև պատկերված «քառակուսի ցանցի» կառուցումները ըստ էության օպտիմալ էին միավոր հեռավորությամբ զույգերի քանակը առավելագույն դարձնելու համար։ OpenAI-ի ներքին մոդելը հերքել է այս վաղեմի վարկածը՝ տրամադրելով օրինակների անվերջ ընտանիք, որը տալիս է բազմանդամային բարելավում։ Ապացույցը ստուգվել է արտաքին մաթեմատիկոսների խմբի կողմից։ Նրանք նաև գրել են ուղեկից հոդված, որը բացատրում է փաստարկը և տալիս է լրացուցիչ նախապատմություն ու համատեքստ արդյունքի նշանակության վերաբերյալ։

Արդյունքը նշանակալի է նաև նրանով, թե ինչպես է այն գտնվել։ Ապացույցը ստացվել է նոր ընդհանուր նշանակության հիմնավորման մոդելից, այլ ոչ թե հատուկ մաթեմատիկայի համար ուսուցանված համակարգից, ապացույցի ռազմավարություններ որոնելու համար կառուցված հենքից կամ հատկապես միավոր հեռավորության խնդրին ուղղված համակարգից։ Որպես ավելի լայն ջանքի մաս՝ ստուգելու, թե արդյոք առաջադեմ մոդելները կարող են նպաստել առաջադեմ հետազոտությանը, մենք այն գնահատեցինք Էրդյոշի խնդիրների հավաքածուի վրա։ Այս դեպքում այն ստեղծեց ապացույց, որը լուծում է բաց խնդիրը։

Այս ապացույցը կարևոր հանգրվան է մաթեմատիկայի և ԱԲ համայնքների համար։ Սա առաջին դեպքն է, երբ մաթեմատիկայի ենթաճյուղի համար կենտրոնական նշանակություն ունեցող նշանավոր բաց խնդիրն ինքնավար կերպով լուծվել է ԱԲ-ի կողմից։ Այն նաև ցույց է տալիս, թե որքան խոր հիմնավորում են այժմ աջակցում այս համակարգերը։ Մաթեմատիկան հիմնավորման համար հատկապես հստակ փորձադաշտ է տալիս․ խնդիրները ճշգրիտ են, հնարավոր ապացույցները կարելի է ստուգել, և երկար փաստարկը գործում է միայն այն դեպքում, եթե հիմնավորումը պահպանում է ամբողջականությունը սկզբից մինչև վերջ։ Նշանակալի է նաև այն մեթոդը, որով լուծվել է խնդիրը։ Ապացույցը տարրական երկրաչափական հարցի վրա կիրառում է հանրահաշվական թվերի տեսությունից եկող անսպասելի, բարդ գաղափարներ։

Ֆիլդսի մեդալակիր Թիմ Գաուերսը, գրելով ուղեկից հոդվածում, արդյունքն անվանում է «ԱԲ մաթեմատիկայի կարևոր հանգրվան»։ Ըստ առաջատար թվերի տեսաբան Արուլ Շանկարի՝ «Իմ կարծիքով այս հոդվածը ցույց է տալիս, որ ներկայիս ԱԲ մոդելները պարզապես մարդկային մաթեմատիկոսների օգնականներից ավելին են․ նրանք ունակ են ունենալ ինքնատիպ հնարամիտ գաղափարներ և հետո դրանք հասցնել իրականացման»։

Ապացույցը հասանելի է այստեղ⁠(բացվում է նոր պատուհանում)։ Առաջատար արտաքին մաթեմատիկոսների ուղեկից հոդվածը հասանելի է այստեղ⁠(բացվում է նոր պատուհանում)։ Մոդելի մտքի շղթայի կրճատ տարբերակը կարող եք գտնել այստեղ⁠(բացվում է նոր պատուհանում)։

Թող $u(n)$-ը լինի հարթության վրա $n$ կետերի միջև միավոր հեռավորությամբ զույգերի հնարավոր առավելագույն քանակը։ Գծային աճի արագություն ապահովող օրինակներ կառուցելը հեշտ է․ $n$ կետ մեկ գծի վրա տեղադրելը տալիս է $n-1$ զույգ, մինչդեռ քառակուսի ցանցը տալիս է մոտ $2n$ զույգ։ Նախկինում հայտնի լավագույն կառուցումը, որը ստացվում է մասշտաբափոխված քառակուսի ցանցից, պարզվում է՝ տալիս է նույնիսկ ավելին՝ $n^{1 + C / \log \log(n)}$ որևէ հաստատուն $C$-ի համար։ Քանի որ $\log \log(n)$-ը $n$-ի հետ ձգտում է անվերջության, ցուցիչի լրացուցիչ անդամը ձգտում է $0$-ի, այսինքն՝ այս կառուցումները ապահովում են միայն գծայինից փոքր-ինչ ավելի արագ աճ։ Տասնամյակներ շարունակ լայնորեն հավատում էին, որ այս արագությունը ըստ էության լավագույն հնարավորն է, և ոչ մի կառուցում չի կարող էականորեն գերազանցել քառակուսի ցանցը։ Տեխնիկական լեզվով՝ Էրդյոշը ենթադրել էր $n^{1+o(1)}$ վերին սահման, որտեղ լրացուցիչ $o(1)$-ը նշանակում է անդամ, որը $n$-ի հետ ձգտում է $0$-ի։

Մեր նոր արդյունքը հերքում է այս վարկածը։ Ավելի ճշգրիտ՝ $n$-ի անվերջ շատ արժեքների համար ապացույցը կառուցում է $n$ կետերի դասավորություններ՝ առնվազն $n^{1+\delta}$ միավոր հեռավորությամբ զույգերով, որևէ հաստատուն $\delta > 0$ ցուցիչի համար։ (ԱԲ-ի սկզբնական ապացույցը չի տալիս հստակ $\delta$, բայց Պրինսթոնի մաթեմատիկայի պրոֆեսոր Ուիլ Սոուինի առաջիկա ճշգրտումը ցույց է տվել, որ կարելի է վերցնել $\delta=0.014$։)

Խնդրի պատմությունը օգնում է հասկանալ, թե ինչու է արդյունքը զարմանալի։ Հայտնի լավագույն ստորին սահմանը ըստ էության անփոփոխ էր մնացել Էրդյոշի 1946 թվականի սկզբնական կառուցումից ի վեր։ Հայտնի լավագույն վերին սահմանը՝ $O(n^{4/3})$, գալիս է Սպենսերի, Սեմերեդիի և Տրոտերի 1984 թվականի աշխատանքից, և չնայած ավելի ուշ ճշգրտումներին ու հարակից կառուցվածքային աշխատանքներին՝ Սեկեյլիի, Կացի և Սիլիերի, Պախի, Ռազի և Սոլյոմոշիի, ինչպես նաև այլոց կողմից, վերին սահմանը ըստ էության մնացել է անփոփոխ։ Որպես վարկածի օգտին վկայություն՝ Մատոուշեկը և Ալոն-Բուչիչ-Զաուերմանը ուսումնասիրել են խնդիրը հարթության վրա ոչ էվկլիդյան հեռավորությունների դեպքում և ապացուցել, որ այս ոչ էվկլիդյան հեռավորությունների «մեծ մասը» ինչ-որ իմաստով ենթարկվում է վարկածին։

Զարմանալիորեն, կառուցման հիմնական բաղադրիչները գալիս են մաթեմատիկայի մի շատ այլ ոլորտից, որը հայտնի է որպես հանրահաշվական թվերի տեսություն և ուսումնասիրում է այնպիսի հասկացություններ, ինչպիսին է ֆակտորիզացիան ամբողջ թվերի ընդլայնումներում, որոնք հայտնի են որպես հանրահաշվական թվային դաշտեր։

Բարձր մակարդակով ապացույցը սկսվում է ծանոթ երկրաչափական գաղափարից և այն տանում անսպասելի ուղղությամբ։

Էրդյոշի սկզբնական ստորին սահմանը կարելի է հասկանալ գաուսյան ամբողջ թվերի միջոցով՝ $a+bi$ տեսքի թվեր, որտեղ $a$-ն և $b$-ն ամբողջ թվեր են, իսկ $i$-ն $-1$-ի քառակուսի արմատն է։ Գաուսյան ամբողջ թվերը ընդլայնում են սովորական ամբողջ թվերը և, ինչպես դրանք, ունեն այնպիսի հատկություններ, ինչպիսին է պարզ թվերի եզակի ֆակտորիզացիան։ Սովորական ամբողջ թվերի կամ ռացիոնալ թվերի նման ընդլայնումները հայտնի են որպես հանրահաշվական թվային դաշտեր։ Նոր փաստարկը գաուսյան ամբողջ թվերը փոխարինում է հանրահաշվական թվերի տեսությունից եկող ավելի բարդ ընդհանրացումներով՝ ավելի հարուստ համաչափություններով, որոնք կարող են ստեղծել շատ ավելի շատ միավոր երկարության տարբերություններ։

Ճշգրիտ փաստարկը օգտագործում է այնպիսի գործիքներ, ինչպիսիք են անվերջ դասային դաշտերի աշտարակները և Գոլոդ-Շաֆարևիչի տեսությունը, որպեսզի ցույց տա, որ փաստարկի համար պահանջվող թվային դաշտերն իսկապես գոյություն ունեն։ Այս գաղափարները լավ հայտնի էին հանրահաշվական թվերի տեսաբաններին, սակայն մեծ անակնկալ էր, որ այս հասկացությունները հետևանքներ ունեն Էվկլիդյան հարթության երկրաչափական հարցերի համար։

Այս արդյունքը կարևոր պահ է նշում ԱԲ-ի և մաթեմատիկայի փոխազդեցության մեջ․ ԱԲ համակարգը ինքնավար կերպով լուծել է վաղեմի բաց խնդիր, որը գտնվում է ակտիվ ոլորտի կենտրոնում։ Այն նաև վաղ ակնարկ է տալիս ԱԲ-ի և մարդկային մաթեմատիկոսների միջև համագործակցության նոր տեսակի մասին։ Այս դեպքում արտաքին մաթեմատիկոսների ուղեկից աշխատանքը նկարում է էապես ավելի հարուստ պատկեր, քան միայն սկզբնական լուծումը։

Ինչպես Թոմաս Բլումը գրում է ուղեկից նշման մեջ․

«Երբ գնահատում եմ ԱԲ-ի ստեղծած ապացույցի կարևորությունն ու ազդեցությունը, ինքս ինձ տալիս եմ հետևյալ հարցը․ արդյո՞ք սա մեզ ինչ-որ նոր բան է սովորեցրել խնդրի մասին։ Հիմա դիսկրետ երկրաչափությունն ավելի լավ հասկանո՞ւմ ենք։ Կարծում եմ՝ պատասխանը չափավոր այո է․ սա ցույց է տալիս, որ թվերի տեսական կառուցումները նման հարցերի մասին ասելու շատ ավելի բան ունեն, քան մենք կասկածում էինք․ ավելին, որ պահանջվող թվերի տեսությունը կարող է շատ խորը լինել։ Անկասկած, առաջիկա ամիսներին շատ հանրահաշվական թվերի տեսաբաններ ուշադիր կնայեն դիսկրետ երկրաչափության այլ բաց խնդիրների։»

Լուծմամբ բացահայտված՝ հանրահաշվական թվերի տեսության և դիսկրետ երկրաչափության միջև անսպասելի կապը այն պատճառներից է, որ արդյունքը նշանակալի է։ Այն պարզապես չի լուծում կոնկրետ վարկած, այլ կարող է մաթեմատիկոսներին կամուրջ տալ՝ սկսելու ուսումնասիրել հետագա հարակից խնդիրներ։

Բլումը նաև մատնանշում է ավելի լայն հնարավորություն․

«Գիտելիքի սահմանները շատ անհարթ են, և անկասկած առաջիկա ամիսներն ու տարիները կբերեն նմանատիպ հաջողություններ մաթեմատիկայի շատ այլ ոլորտներում, որտեղ վաղեմի բաց խնդիրները կլուծվեն ԱԲ-ի կողմից՝ բացահայտելով անսպասելի կապեր և հասցնելով առկա տեխնիկական գործիքակազմը իր սահմանին։ ԱԲ-ն օգնում է մեզ ավելի լիարժեք ուսումնասիրել մաթեմատիկայի այն տաճարը, որը մենք կառուցել ենք դարերի ընթացքում․ էլ ի՞նչ անտեսանելի հրաշքներ են սպասում կուլիսներում։»

Այս արդյունքը խոստումնալից օրինակ է տալիս․ ԱԲ-ն նպաստում է ոչ միայն լուծմամբ, այլև մաթեմատիկական բացահայտմամբ, որի նշանակությունը հետագա մարդկային ըմբռնման միջոցով դառնում է ավելի հստակ և հարուստ։

Եզրակացությունն ավելի մեծ է, քան այս կոնկրետ արդյունքը։ Ավելի լավ մաթեմատիկական հիմնավորումը կարող է ԱԲ-ին դարձնել ավելի ուժեղ հետազոտական գործընկեր՝ մի բան, որը կարող է պահպանել մտքի դժվար գծերի ամբողջականությունը, կապել գաղափարներ գիտելիքի հեռավոր ոլորտների միջև, ի հայտ բերել խոստումնալից ուղիներ, որոնք փորձագետները գուցե առաջնահերթ չէին համարել, և օգնել հետազոտողներին առաջընթաց գրանցել այն խնդիրներում, որոնք այլապես չափազանց բարդ կամ ժամանակատար կլինեին։

Այդ կարողությունները կարևոր են նաև մաթեմատիկայից դուրս։ Եթե մոդելը կարող է պահպանել բարդ փաստարկի ամբողջականությունը, կապել գաղափարներ գիտելիքի հեռավոր ոլորտների միջև և ստեղծել աշխատանք, որը դիմանում է փորձագիտական քննությանը, ապա դրանք օգտակար կարողություններ են նաև կենսաբանության, ֆիզիկայի, նյութագիտության, ճարտարագիտության և բժշկության մեջ, և դրանք մեր ավելի երկարաժամկետ ուղու մասն են դեպի ավելի ավտոմատացված հետազոտություն՝ համակարգեր, որոնք կարող են օգնել գիտնականներին և ինժեներներին ուսումնասիրել ավելի շատ գաղափարներ և հետապնդել ավելի բարդ տեխնիկական հարցեր։

ԱԲ-ն շուտով սկսելու է շատ լուրջ դեր ստանձնել հետազոտության ստեղծագործական մասերում, և ամենակարևորը՝ հենց ԱԲ հետազոտության մեջ։ Թեև այս առաջընթացը անսպասելի չէ, այն ուժեղացնում է այն հրատապությունը, որ մենք զգում ենք ԱԲ զարգացման այս հաջորդ փուլի, շատ խելացի համակարգերի համահունչեցման մարտահրավերների և մարդ-ԱԲ համագործակցության ապագայի ըմբռնման հարցում։

Այդ ապագան դեռ կախված է մարդկային դատողությունից։ Փորձառությունը դառնում է ավելի արժեքավոր, ոչ թե պակաս։ ԱԲ-ն կարող է օգնել որոնել, առաջարկել և ստուգել։ Մարդիկ են ընտրում կարևոր խնդիրները, մեկնաբանում արդյունքները և որոշում, թե որ հարցերն են հետապնդելու հաջորդիվ։