Tíz előrelépés a matematikában és az elméleti számítástudományban

Olyan eszközökkel szeretnénk támogatni a tudósokat és a matematikusokat, amelyek felgyorsítják a felfedezéseket. Ezért jelentettük be nemrég a ChatGPT tudományos kutatóknak⁠ kezdeményezést, amely 100 000 tudósnak és matematikusnak biztosít ingyenes hozzáférést a legjobb ChatGPT‑modelljeinkhez. A fejlesztés során modelljeinket továbbra is nyitott kutatási problémákon értékeljük.

Májusban bemutattuk az Erdős-féle egységtávolság-sejtés MI által létrehozott cáfolatát⁠, amelyet egy még kiadatlan modell értékelése közben fedeztünk fel. Ez a munka már további eredményeket ösztönzött a matematikában és az elméleti számítástudományban¹. Ma tíz olyan eredményt mutatunk be, amelyek mindegyike megold egy régóta nyitott problémát, vagy jelentős előrelépést hoz benne. E problémák a magas dimenziós geometriától a kódelméleten, az aritmetikai áramkörök bonyolultságán, a csoportelméleten, az operátoralgebrákon és a kvantumbonyolultságon át a rácsalapú kriptográfiáig és az extremális kombinatorikáig terjednek. E problémák mindegyike komoly érdeklődésre tart számot a megfelelő matematikai szakterületen, több közülük pedig a matematika egészében is széles körű érdeklődést kelt.

Az alábbi problémákhoz közlünk új eredményeket. Az eredményeket következő jelentős modellünk, az Astra egy belső verziója érte el. A problémák megoldásához szükséges tokenek teljes költsége a Sol API díjszabása alapján mintegy 2000 dollár lenne. Ezután emberek ugyanezzel a modellel kéziratokká dolgozták az érveléseket. Ezt követően a modell minden érvelést Lean-tanúsítványban⁠(új ablakban nyílik meg) formalizált. Minden megoldáshoz közzétesszük a modell saját beszámolóját is a gondolkodási folyamatáról.

1. Gömbpakolás magas dimenzióban. Új felső korlátok a gömbpakolás sűrűségére egészen a Cohn–Elkies-küszöbig.
2. Bináris és gömbi kódok: exponenciálisan javított korlátok az előírt minimális távolságú bináris kódok maximális méretére, hasonló eredményekkel a magas dimenziós gömbi kódokra.
3. Nem szofikus csoportok. A nem szofikus csoportok létezését igazoló konstrukció, amely választ ad a csoportelmélet egyik központi nyitott kérdésére.
4. Connes merevségi sejtése. Annak a régóta fennálló sejtésnek a cáfolata, hogy bizonyos csoportokat egyértelműen meghatároznak a von Neumann-algebráik.
5. Az aritmetikai áramkörök bonyolultsága. Új alsó korlátok a permanens aritmetikai áramkörökkel és formulákkal való kiszámítására, köztük egy n⁴/log n nagyságrendű alsó korlát az aritmetikai formulákra.
6. Kvantumos párhuzamos ismétlés. Exponenciális párhuzamos ismétlési tétel általános, kétszereplős kvantumjátékokra, amely kiterjeszti a klasszikus bonyolultságelmélet egyik alapelvét.
7. A legközelebbi vektor problémája. A legközelebbi vektor problémájának polinomiális tényezőjű közelítési nehézsége; ez a posztkvantum-kriptográfiához kapcsolódó alapvető rácselméleti kérdés.
8. Ehrhart térfogati sejtése. Minden dimenzióban meghatározza egy olyan konvex test lehető legnagyobb térfogatát, amelynek súlypontja az egyetlen belső rácspontja.
9. Többszínű Ramsey-számok. Szuperexponenciális alsó korlát a háromszögek többszínű Ramsey-számaira, amely megoldja a 183. Erdős-problémát.
10. Extremális számokra vonatkozó sejtések. Az extremális gráfelmélet kompaktsági és degeneráltsági sejtésére vonatkozó eredmények, amelyek megoldják a 146. és a 180. Erdős-problémát.

A matematikai kutatáshoz hozzájárulni képes rendszerek megjelenése olyan kérdéseket vet fel, amelyeket egy technológiai vállalat egyedül nem válaszolhat meg. Sokféle vélemény létezik az MI matematikában betöltött szerepéről. Mélyen tiszteljük és megértjük azokat, akik aggódnak a hatásai miatt, köztük az MI-ről és matematikáról szóló leideni nyilatkozat⁠(új ablakban nyílik meg) aláíróit. Úgy véljük, a szerzőség feltüntetésének őszintén kell tükröznie, hogyan született az eredmény: ha egy teljes egészében MI-rendszer által létrehozott bizonyítást emberi szerzőségűként tüntetnénk fel, az egyaránt hamis képet adna a rendszer hozzájárulásáról és a valódi emberi szellemi munka természetéről. Közreműködtünk a kéziratok elkészítésében és a bizonyítások Leanben történő formalizálásában, helyességükért pedig felelősséget vállalunk; magukat a matematikai érveléseket azonban a rendszerünk hozta létre. Reméljük, hogy a matematikai közösség alaposan megvizsgálja és összefüggéseiben értékeli ezeket az eredményeket, a mögöttük álló ötleteket pedig új kutatásokkal és felfedezésekkel kelti életre.

Ahogy az MI-rendszerek egyre fejlettebb kutatási partnerekké válnak, a széles körű hozzáférés biztosítása alapvető ahhoz, hogy támogassuk a tudósokat és a matematikusokat szakterületük jövőjének feltérképezésében és alakításában ebben az átalakulást hozó korszakban.