A Navier–Stokes millenniumi díjproblémáról

Közzétesszük a Navier–Stokes-egyenletek létezési és simasági problémájának megoldását, amely a millenniumi díjproblémák egyike. A belső OpenAI-rendszerünk által kidolgozott bizonyítás megmutatja, hogy a folyadékmozgást leíró Navier–Stokes-egyenletek dinamikájában véges idő alatt szingularitás alakulhat ki. A bizonyítás leírását és Leanben készült formalizálását egyaránt közzétesszük.

A millenniumi díjproblémák⁠(új ablakban nyílik meg) a matematika élvonalának legmélyebb kérdései közé tartoznak. Mintegy 90 éve megoldatlan kérdés, hogy a sima háromdimenziós folyadékmozgásban kialakulhat-e szingularitás.

Munkánk egyik fő célja, hogy segítsük a tudósokat az egész emberiség javát szolgáló kutatások és technológiák előmozdításában. A Navier–Stokes-probléma megoldásához egy belső modellt használtunk, amelynek képességei jelentősen meghaladják a GPT‑6 Astráét. Fontosnak tartjuk, hogy tájékoztassuk a világot az MI fejlődésének üteméről és arról, mire lehet számítani a közelgő modellektől.

A Navier–Stokes-egyenletek Newton második mozgástörvényével („F=ma”) írják le a folyadékok mozgását. Fontos, hogy a folyadékot folytonos közegként kezelik, nem pedig az egyes molekulákat követik nyomon. Ezeket az egyenleteket repülőgépek tervezésére, időjárás-előrejelzésre és a véráramlás vizsgálatára használják.

E dinamikai egyenletek egyik alapvető nyitott kérdése az volt, hogy érvényét vesztheti-e a folyadék folytonos közegként való közelítése. Pontosabban: kialakulhat-e „szingularitás” az állandó sűrűségű, összenyomhatatlan, háromdimenziós folyadék Navier–Stokes-egyenleteiben akkor is, ha a mozgás kezdetben sima? A szingularitás itt azt jelenti, hogy a dinamika következtében a folyadék sebessége véges időn belül korlátlanul megnő. A szingularitásnak a viszkozitás ellenére kellene kialakulnia, noha az jellemzően kisimítja a mozgást. Mivel egy valós folyadék nem mozoghat végtelenül gyorsan, ez azt jelentené, hogy az egyenletek már nem írják le megfelelően a folyadékot. A rendszer további modellezéséhez ezután minden egyes részecske viselkedését külön kellene nyomon követni.

Az egyenletek Claude-Louis Navier és George Gabriel Stokes XIX. századi munkásságáig nyúlnak vissza. Jean Leray 1934-ben bebizonyította, hogy általánosított értelemben léteznek megoldások, ám központi megválaszolatlan kérdéssé vált, hogy ezek mindig simák maradnak-e. A Clay Matematikai Intézet 2000-ben a Navier–Stokes-egyenletek létezési és simasági problémáját a hét millenniumi díjprobléma egyikének nyilvánította.

Rendszerünk analitikus bizonyítást és Lean-formalizálást készített arra, hogy egy kezdetben nyugalomban lévő, sima folyadékban véges idő alatt szingularitás alakulhat ki. A folyadékra sima erő hat, energiája pedig a teljes dinamika során – a nyugalmi állapottól a szingularitás kialakulásáig – véges marad. Ez megoldja a Navier–Stokes millenniumi díjproblémát azzal, hogy igazolja a millenniumi díj hivatalos megfogalmazásában⁠(új ablakban nyílik meg) szereplő „C” (és egyben „D”) állítást.

A megoldás egy örvény: a folyadék forgó áramlata befelé csavarodik, és egyre hosszabbra nyúlik, akár a spagetti. Ez a központi tartomány zsugorodik, miközben úgy gyorsul fel, hogy energiája a fizika törvényeinek megfelelően továbbra is véges marad. A technikai kihívás az, hogy az egyenletekben magának a folyadéknak a mozgása idézze elő a szingularitást, ne pedig például az, hogy mesterségesen végtelen erőt alkalmazunk. Matematikaiabban fogalmazva: a Navier–Stokes-egyenletek mozgást leíró tagjainak – gyorsulás, nyomásgradiens, impulzusátadás, viszkozitás – egyszerre kell naggyá válniuk és pontosan kioltaniuk egymást. E precíz egyensúly következtében a külső erő sima marad, miközben a folyadék sebessége korlátlanul nő.

Augusztus 28. óta egy új belső modellt tanítunk, amely tesztjeinken – többek között matematikából – példátlan teljesítményt mutatott. A modell tanítása még folyamatban van, teljesítménye pedig folyamatosan javul.

Szeptember 1-jén, kedden olyan híreszteléseket hallottunk, hogy két millenniumi díjproblémát is megoldottak. E híresztelések és belső modellünk ugrásszerű teljesítményjavulása arra ösztönzött bennünket, hogy valamennyi megoldatlan millenniumi díjproblémán, valamint néhány más, jelentős hatású problémán is értékeljük.

Belső modellünkre épülő, együttműködő ügynökökből álló rendszert használtunk. Az ügynökök olyan eszközökhöz fértek hozzá, mint az internet gyorsítótárazott változatának olvasása és a kódfuttatás. Az ügynököket csoportokra osztottuk, amelyek tagjai kommunikálhattak egymással. A csoportok mérete eltérő volt; a Navier–Stokes-probléma megoldását kidolgozó csoport nagyságrendileg 10 000 párhuzamosan működő ügynökből állt. Mindvégig ugyanazokat a szigorú biztonsági intézkedéseket – köztük a felügyeletet és az elkülönítést – alkalmaztuk, mint valamennyi élvonalbeli modellünk értékelésekor.

Minden problémánál különböző ügynökcsoportoknak adtuk meg a problémafelvetés eltérő változatait, így az összes változatot lefedtük. A Navier–Stokes-probléma esetében külön ügynökcsoportoknak adtuk az „A” és „B” változatot (a probléma bizonyításhoz vezető konkrét alakjait), illetve a „C” és „D” változatot (amelyek cáfolathoz vezetnének).

A teljes millenniumi díjproblémák mellett néhány „könnyebb” probléma megoldására is megkértük többügynökös rendszerünket. Ezek egyike a Navier–Stokes-probléma viszkozitási tag nélküli határesetére vonatkozó, hasonló szingularitásképződési kérdés volt. Ez az Euler-egyenletek regularitási problémájaként ismert, ügynökeink pedig meglepetésünkre megoldották. A kérdés általuk megoldott konkrét változata a külső erő nélküli eset volt, amelyben semmilyen külső erő nem hat a folyadékra. Közel 100 ügynök dolgozott együtt mintegy 50 órán át az Euler-egyenletek regularitására vonatkozó állítás cáfolatán¹.

Az Euler-megoldást látva úgy véltük, a Navier–Stokes-problémával érdemes a leginkább tovább foglalkozni. Ezért úgy döntöttünk, hogy erőforrásainkat a Navier–Stokes-problémára összpontosítjuk. Ennek érdekében ügynököket csoportosítottunk át a többi millenniumi problémától, és megadtuk nekik az Euler-probléma megoldását. Amikor a munka során elérhetővé vált belső modellünk egy továbbtanított változata, erre frissítettük ügynökeinket.

Arra ösztönöztük az ügynökcsoportokat, hogy sokféle megközelítést vizsgáljanak meg. Egy idő után összekapcsoltuk az ügynökcsoportok munkáját: a Codex segítségével összesítettük az egyes csoportok leghasznosabb felismeréseit. Az ezt követő utasítások az ügynökök saját részeredményeire épültek. A Navier–Stokes-probléma megoldását megtaláló csoportot is így irányítottuk.

Az ügynökök szeptember 5-én, szombaton jutottak el a megoldásig, mintegy 88 órával az első ügynökök elindítása után. A Lean-formalizálás és -ellenőrzés további 17 órát vett igénybe a GPT‑6 Astra használatával.

Az összes vizsgált probléma során az ügynökök 4,9 millió üzenetet küldtek, és mintegy 300 milliárd kimeneti tokent használtak fel. A Navier–Stokes-probléma megoldása során az ügynökök 2,7 millió üzenetet küldtek, és hozzávetőleg 130 milliárd kimeneti tokent használtak fel.

Munkánk szeptember 1-jén kezdődött, miután hallottunk egy híresztelést, amelyről később kiderült, hogy Levent Alpögéhez, az Anthropic munkatársához, valamint Tristan Buckmasterhez, a New York-i Egyetem matematikaprofesszorához kapcsolódik.² Teljes projektünk és a Lean-ellenőrzés befejezése (szeptember 6.) után – mivel a híresztelés alapján úgy gondoltuk, hogy ők is megoldották a Navier–Stokes-problémát – felvettük velük a kapcsolatot. Felajánlottuk eredményeink egyidejű közzétételét, valamint hogy közös bejelentésben ismerjük el elsőbbségüket. Ekkor tudtuk meg, hogy egy belső Anthropic-modell használatával a külső erővel gerjesztett Euler-problémát oldották meg. E megbeszélések során felajánlottuk nekik, hogy betekinthetnek valamennyi általunk használt utasításba, később pedig a bizonyításba is. Elismerjük munkájuk elsőbbségét a külső erővel gerjesztett Euler-probléma terén, és gratulálunk figyelemre méltó matematikai eredményükhöz.

Sem mi, kutatók, sem az ügynökök semmilyen módon nem láttuk munkájukat annak nyilvános közzétételéig – különösen fontos, hogy a probléma megoldásához nem fértünk hozzá semmilyen konkrét felhasználói adathoz.

Vizsgálatunk megerősítette, hogy Buckmasternek a 2026. szeptember 8-i bejelentést és tanulmányt megelőző két hónapban a Codexhez intézett utasításai semmilyen módon – így a tanításon keresztül sem – befolyásolhatták a rendszert. Az eredményhez használt belső OpenAI-modellt egy korábban előtanított modellre épülő, nagy léptékű megerősítéses tanulással fejlesztettük ki. Bizonyításaink is jelentősen különböznek. Az Euler-probléma esetében Alpöge és Buckmaster külső erő alkalmazásával bizonyított eredményt, míg az OpenAI rendszere külső erő nélküli eredményt bizonyított.

Az eredmény közzétételével MI-modelljeink jelentős fejlődéséről szeretnénk beszámolni. Nem áll szándékunkban igényt tartani a millenniumi díjra ezért az eredményért.

E mérföldkő matematikusok és MI-kutatók jelentős munkájának eredménye. Ez azonban nem a végpont, csupán egy pillanatfelvétel az MI fejlesztésében elért haladásról.

Úgy véljük, hogy az MI fejlődésének következő korszakába léptünk⁠, és a mai eredmények ezt további bizonyítékokkal támasztják alá. Arra összpontosítunk, hogy megértsük ezt a modellt, és a tanultakat felhasználva irányítsuk, illetve megfelelő ütemben folytassuk a képességek további fejlesztését. Egyik fő célunk⁠ olyan MI-rendszerek létrehozása, amelyek irányíthatók, elszámoltathatók és kapcsolódnak az emberekhez. Ehhez megfontoltabb döntésekre lehet szükség a fejlődés üteméről, miközben folytatjuk küldetésünket annak biztosítására, hogy az AGI az egész emberiség javát szolgálja.