एक OpenAI मॉडल ने असतत ज्यामिति में एक केंद्रीय अनुमान को गलत साबित किया है

लगभग 80 वर्षों से, गणितज्ञ एक भ्रामक रूप से सरल प्रश्न का अध्ययन कर रहे हैं: यदि आप समतल में $n$ बिंदु रखें, तो बिंदुओं के कितने युग्मों के बीच ठीक $1$ की दूरी हो सकती है?

यह प्लेनर यूनिट डिस्टेंस समस्या है, जिसे सबसे पहले Paul Erdős ने 1946 में प्रस्तुत किया था. यह कॉम्बिनेटोरियल ज्योमेट्री के सबसे प्रसिद्ध प्रश्नों में से एक है, जिसे बताना आसान है लेकिन जिसका समाधान करना बेहद कठिन है. Brass, Moser और Pach की 2005 की पुस्तक Research Problems in Discrete Geometry इसे “कॉम्बिनेटोरियल ज्योमेट्री की संभवतः सबसे प्रसिद्ध (और समझाने में सबसे सरल) समस्या” कहती है. प्रिंसटन के प्रमुख कॉम्बिनेटोरियलिस्ट Noga Alon इसे “Erdős की पसंदीदा समस्याओं में से एक” बताते हैं. Erdős ने इस समस्या का समाधान करने के लिए नकद पुरस्कार भी घोषित किया था.

आज, हम इकाई दूरी समस्या पर एक बड़ी प्रगति साझा कर रहे हैं. एर्डोश के मूल कार्य के बाद से, प्रचलित धारणा यह रही है कि नीचे आगे दिखाए गए “वर्ग ग्रिड” निर्माण, इकाई-दूरी युग्मों की संख्या को अधिकतम करने के लिए मूलतः सर्वोत्तम थे. एक आंतरिक OpenAI मॉडल ने इस लंबे समय से चले आ रहे अनुमान को गलत साबित किया है, और उदाहरणों का एक अनंत परिवार दिया है जो बहुपदात्मक सुधार देता है. प्रमाण की जांच बाहरी गणितज्ञों के एक समूह ने की है. उन्होंने तर्क को समझाने और परिणाम के महत्व के लिए अतिरिक्त पृष्ठभूमि और संदर्भ देने वाला एक सहायक शोधपत्र भी लिखा है.

यह परिणाम इस बात के लिए भी उल्लेखनीय है कि इसे कैसे खोजा गया. यह प्रमाण एक नए सामान्य-उद्देश्य रीज़निंग मॉडल से आया, न कि ऐसे सिस्टम से जिसे विशेष रूप से गणित के लिए प्रशिक्षित किया गया हो, प्रमाण रणनीतियों में खोज के लिए स्कैफोल्ड किया गया हो, या खास तौर पर इकाई दूरी समस्या पर लक्षित किया गया हो. यह जांचने के व्यापक प्रयास के हिस्से के रूप में कि क्या उन्नत मॉडल अग्रणी शोध में योगदान दे सकते हैं, हमने इसका मूल्यांकन एर्डोश समस्याओं के एक संग्रह पर किया. इस मामले में, इसने खुली समस्या को हल करने वाला एक प्रमाण तैयार किया.

यह प्रमाण गणित और AI समुदायों के लिए एक महत्वपूर्ण मील का पत्थर है. यह पहली बार है कि गणित की किसी उपशाखा के केंद्र में स्थित किसी प्रमुख खुली समस्या को AI ने स्वायत्त रूप से हल किया है. यह यह भी दिखाता है कि ये सिस्टम अब कितनी गहराई का रीज़निंग समर्थित करते हैं. गणित रीज़निंग के लिए एक विशेष रूप से स्पष्ट परीक्षण-स्थल प्रदान करता है: समस्याएं सटीक होती हैं, संभावित प्रमाणों की जांच की जा सकती है, और कोई लंबा तर्क तभी काम करता है जब रीज़निंग शुरू से अंत तक सुसंगत रहे. जिस विधि से यह समस्या हल हुई, वह भी उल्लेखनीय है. यह प्रमाण एक प्राथमिक ज्यामितीय प्रश्न पर बीजीय संख्या सिद्धांत से अप्रत्याशित और परिष्कृत विचार लागू करता है.

फील्ड्स पदक विजेता टिम गॉवर्स ने सहायक शोधपत्र में इस परिणाम को “AI गणित में एक मील का पत्थर” कहा है. प्रमुख संख्या सिद्धांतकार अरुल शंकर के अनुसार, “मेरी राय में यह शोधपत्र दिखाता है कि वर्तमान AI मॉडल मानव गणितज्ञों के केवल सहायक भर नहीं हैं – वे मौलिक और चतुर विचार रखने, और फिर उन्हें सफल निष्कर्ष तक पहुंचाने में सक्षम हैं”.

प्रमाण यहाँ⁠(एक नई विंडो में खुलेगा) उपलब्ध है. प्रमुख बाहरी गणितज्ञों द्वारा लिखा गया सहयोगी शोधपत्र यहाँ⁠(एक नई विंडो में खुलेगा) उपलब्ध है. आप मॉडल की चेन ऑफ थॉट का संक्षिप्त संस्करण यहाँ⁠(एक नई विंडो में खुलेगा) देख सकते हैं.

मान लें कि $u(n)$, समतल में $n$ बिंदुओं के बीच इकाई-दूरी युग्मों की अधिकतम संभव संख्या है. रेखीय वृद्धि दर प्राप्त करने वाले उदाहरण बनाना आसान है: $n$ बिंदुओं को एक रेखा में रखने से $n-1$ युग्म मिलते हैं, जबकि एक वर्ग ग्रिड लगभग $2n$ युग्म देता है. पहले से ज्ञात सर्वोत्तम निर्माण, जो पुनःस्केल किए गए वर्ग ग्रिड से आता है, वास्तव में इससे भी अधिक देता है: किसी नियतांक $C$ के लिए $n^{1 + C / \log \log(n)}$. चूंकि $\log \log(n)$, $n$ के साथ अनंत की ओर बढ़ता है, इसलिए घातांक में अतिरिक्त पद $0$ की ओर जाता है, यानी ये निर्माण केवल रेखीय से थोड़ा तेज वृद्धि प्राप्त करते हैं. दशकों तक व्यापक रूप से यह माना जाता रहा कि यह दर मूलतः सर्वोत्तम संभव है, और कोई भी निर्माण वर्ग ग्रिड की तुलना में महत्वपूर्ण सुधार नहीं कर सकता. तकनीकी रूप से, Erdős ने $n^{1+o(1)}$ की एक ऊपरी सीमा का अनुमान लगाया था, जिसमें अतिरिक्त $o(1)$ ऐसा पद दर्शाता है जो $n$ के साथ $0$ की ओर जाता है.

हमारा नया परिणाम इस अनुमान को गलत साबित करता है. और अधिक सटीक रूप से, $n$ के अनंत रूप से अनेक मानों के लिए, यह प्रमाण $n$ बिंदुओं की ऐसी विन्यास रचता है जिनमें कम से कम $n^{1+\delta}$ इकाई-दूरी युग्म हों, किसी नियत घातांक $\delta > 0$ के लिए. (मूल AI प्रमाण कोई स्पष्ट $\delta$ नहीं देता, लेकिन प्रिंसटन के गणित प्रोफेसर विल सॉविन द्वारा किए गए आगामी परिष्कार ने दिखाया है कि $\delta=0.014$ लिया जा सकता है.)

इस समस्या का इतिहास यह समझने में मदद करता है कि यह परिणाम इतना आश्चर्यजनक क्यों है. सर्वोत्तम ज्ञात निचली सीमा, Erdős के 1946 के मूल निर्माण के बाद से लगभग अपरिवर्तित रही थी. सर्वोत्तम ऊपरी सीमा, $O(n^{4/3})$, 1984 में स्पेंसर, सेमेरेदी और ट्रॉटर के कार्य से आती है, और बाद के परिष्कारों तथा सेकेली, कैट्ज़ और सिलियर, पाख, राज और सोल्योमोशी तथा अन्य लोगों के संबंधित संरचनात्मक कार्यों के बावजूद, यह ऊपरी सीमा लगभग अपरिवर्तित रही है. अनुमान के पक्ष में प्रमाण के रूप में, मातौशेक और अलोन-बुचिच-साउरमान ने समतल में गैर-यूक्लिडीय दूरियों के साथ इस समस्या का अध्ययन किया, और सिद्ध किया कि इन गैर-यूक्लिडीय दूरियों में से “अधिकांश” किसी अर्थ में इस अनुमान का पालन करती हैं.

आश्चर्यजनक रूप से, इस निर्माण के मुख्य अवयव गणित के एक बहुत अलग हिस्से, बीजीय संख्या सिद्धांत, से आते हैं, जो बीजीय संख्या क्षेत्रों के रूप में ज्ञात पूर्णांकों के विस्तारों में गुणनखंडन जैसी अवधारणाओं का अध्ययन करता है.

उच्च स्तर पर, प्रमाण एक परिचित ज्यामितीय विचार से शुरू होता है और उसे एक अप्रत्याशित दिशा में आगे बढ़ाता है.

एर्डोश की मूल निचली सीमा को गाउसियन पूर्णांकों के माध्यम से समझा जा सकता है: $a+bi$ के रूप के संख्याएं, जहां $a$ और $b$ पूर्णांक हैं और $i$, $-1$ का वर्गमूल है. गाउसियन पूर्णांक साधारण पूर्णांकों का विस्तार करते हैं और उनकी तरह अभाज्यों में अद्वितीय गुणनखंडन जैसे गुण रखते हैं. साधारण पूर्णांकों या परिमेय संख्याओं के ऐसे विस्तार बीजीय संख्या क्षेत्र कहलाते हैं. नया तर्क गाउसियन पूर्णांकों की जगह बीजीय संख्या सिद्धांत से आने वाले अधिक जटिल सामान्यीकरणों का उपयोग करता है, जिनमें अधिक समृद्ध सममितियां हैं और जो कहीं अधिक इकाई-लंबाई के अंतर पैदा कर सकती हैं.

सटीक तर्क अनंत class field towers और Golod–Shafarevich theory जैसे औजारों का उपयोग करता है, ताकि यह दिखाया जा सके कि तर्क के लिए आवश्यक संख्या क्षेत्र वास्तव में मौजूद हैं. ये विचार बीजीय संख्या सिद्धांतकारों के लिए भली-भांति परिचित थे, लेकिन यह बहुत आश्चर्य की बात थी कि इन अवधारणाओं के यूक्लिडीय समतल के ज्यामितीय प्रश्नों पर भी प्रभाव हैं.

यह परिणाम AI और गणित के बीच अंतःक्रिया में एक महत्वपूर्ण क्षण को चिह्नित करता है: एक AI सिस्टम ने सक्रिय क्षेत्र के केंद्र में स्थित लंबे समय से खुली समस्या को स्वायत्त रूप से हल किया है. यह AI और मानव गणितज्ञों के बीच सहयोग के एक नए प्रकार की शुरुआती झलक भी देता है. इस मामले में, बाहरी गणितज्ञों का सहायक कार्य अकेले मूल समाधान की तुलना में कहीं अधिक समृद्ध चित्र प्रस्तुत करता है.

जैसा कि थॉमस ब्लूम सहायक टिप्पणी में लिखते हैं:

“जब मैं AI-जनित प्रमाण के महत्व और प्रभाव का आकलन करता हूं, तो मैं अपने आप से एक प्रश्न पूछता हूं: क्या इसने हमें समस्या के बारे में कुछ नया सिखाया है? क्या अब हम असतत ज्यामिति को बेहतर समझते हैं? मुझे लगता है कि इसका उत्तर संयमित हां है: यह दिखाता है कि इस तरह के प्रश्नों के बारे में संख्या-सिद्धांत आधारित निर्माणों के पास कहने के लिए हमारी अपेक्षा से कहीं अधिक है; और यह भी कि आवश्यक संख्या सिद्धांत बहुत गहरा हो सकता है. इसमें कोई संदेह नहीं कि आने वाले महीनों में कई बीजीय संख्या सिद्धांतकार असतत ज्यामिति की अन्य खुली समस्याओं पर बारीकी से नजर डालेंगे.”

समाधान द्वारा उजागर किया गया बीजीय संख्या सिद्धांत और असतत ज्यामिति के बीच अप्रत्याशित संबंध, इस परिणाम को उल्लेखनीय बनाने का एक हिस्सा है. यह केवल किसी विशिष्ट अनुमान का निपटारा नहीं करता, बल्कि गणितज्ञों को आगे संबंधित समस्याओं की खोज शुरू करने के लिए एक सेतु भी दे सकता है.

ब्लूम एक व्यापक संभावना की ओर भी संकेत करते हैं:

“ज्ञान की सीमाएं बहुत नुकीली होती हैं, और निस्संदेह आने वाले महीनों और वर्षों में गणित के कई अन्य क्षेत्रों में भी ऐसी ही सफलताएं दिखेंगी, जहां लंबे समय से खुली समस्याएं AI द्वारा अप्रत्याशित संबंध उजागर करने और मौजूदा तकनीकी तंत्र को उसकी सीमा तक ले जाने से हल होंगी. AI हमें उस गणितीय गिरजाघर को अधिक पूर्ण रूप से खोजने में मदद कर रहा है जिसे हमने सदियों में बनाया है; परदे के पीछे और कौन से अनदेखे चमत्कार हमारी प्रतीक्षा कर रहे हैं?”

यह परिणाम एक आशाजनक उदाहरण प्रस्तुत करता है: AI केवल समाधान ही नहीं दे रहा, बल्कि ऐसी गणितीय खोज भी दे रहा है जिसका महत्व बाद की मानवीय समझ के साथ और अधिक स्पष्ट तथा समृद्ध होता जाता है.

निष्कर्ष इस विशेष परिणाम से बड़ा है. बेहतर गणितीय रीज़निंग AI को एक अधिक मजबूत शोध साझेदार बना सकती है: ऐसा कुछ जो कठिन विचार-श्रृंखलाओं को एकसाथ बनाए रख सके, ज्ञान के दूरस्थ क्षेत्रों के बीच विचारों को जोड़ सके, ऐसे आशाजनक रास्ते सामने ला सके जिन्हें विशेषज्ञों ने प्राथमिकता न दी हो, और शोधकर्ताओं को उन समस्याओं पर प्रगति करने में मदद कर सके जो अन्यथा बहुत जटिल या समय-साध्य होतीं.

ये क्षमताएं गणित से परे भी महत्वपूर्ण हैं. यदि कोई मॉडल जटिल तर्क को सुसंगत रख सकता है, ज्ञान के दूरस्थ क्षेत्रों के बीच विचारों को जोड़ सकता है, और ऐसा काम कर सकता है जो विशेषज्ञ जांच में खरा उतरे, तो ये क्षमताएं जीवविज्ञान, भौतिकी, पदार्थ विज्ञान, अभियांत्रिकी और चिकित्सा में भी उपयोगी हैं, और ये अधिक स्वचालित शोध की हमारी दीर्घकालिक दिशा का हिस्सा हैं: ऐसे सिस्टम जो वैज्ञानिकों और इंजीनियरों को अधिक विचारों की खोज करने और अधिक कठिन तकनीकी प्रश्नों का पीछा करने में मदद कर सकें.

AI अब शोध के रचनात्मक हिस्सों में, और सबसे महत्वपूर्ण रूप से स्वयं AI शोध में, बहुत गंभीर भूमिका निभाने वाला है. यद्यपि यह प्रगति अप्रत्याशित नहीं है, यह AI विकास के इस अगले चरण, अत्यंत बुद्धिमान सिस्टमों के संरेखण की चुनौतियों, और मानव-AI सहयोग के भविष्य को समझने की हमारी तात्कालिकता को और मजबूत करती है.

वह भविष्य अब भी मानवीय निर्णय पर निर्भर करता है. विशेषज्ञता का मूल्य कम नहीं, बल्कि अधिक हो जाता है. AI खोजने, सुझाव देने और सत्यापित करने में मदद कर सकता है. लोग तय करते हैं कि कौन-सी समस्याएं महत्वपूर्ण हैं, परिणामों की व्याख्या करते हैं, और यह निर्णय लेते हैं कि आगे किन प्रश्नों का पीछा किया जाए.