16. huhtikuuta 2025

Esittelyssä OpenAI o3 ja o4-mini

Tähän mennessä älykkäimmät ja suorituskykyisimmät mallimme, joissa on käyttöoikeus kaikkiin työkaluihin

Ladataan...

Päivitys 10. kesäkuuta 2025: OpenAI o3‑pro on nyt saatavilla Pro-käyttäjille ChatGPT:ssä sekä API:ssamme.. Kuten OpenAI o1‑pro, myös o3‑pro on versio älykkäimmästä OpenAI o3 -mallistamme, joka on suunniteltu ajattelemaan pidempään ja antamaan luotettavampia vastauksia. Täydelliset tiedot löytyvät julkaisutiedoistamme⁠(avautuu uudessa ikkunassa).

Tänään julkaisemme uusimmat o-sarjan mallimme, OpenAI o3- ja o4-mini, jotka on koulutettu ajattelemaan pidempään ennen vastaamista. Nämä ovat älykkäimmät tähän mennessä julkaisemamme mallit, ja ne ovat askel eteenpäin ChatGPT:n ominaisuuksissa kaikille, uteliaista käyttäjistä edistyneisiin tutkijoihin. Ensimmäistä kertaa päättelymallimme voivat itsenäisesti käyttää ja yhdistää kaikkia ChatGPT:n työkaluja – tämä sisältää verkkohakujen tekemisen, ladattujen tiedostojen ja muiden tietojen analysoinnin Pythonilla, syvällisen päättelyn visuaalisista syötteistä sekä jopa kuvien luomisen. On tärkeää, että mallit on koulutettu arvioimaan, milloin ja miten työkaluja kannattaa käyttää yksityiskohtaisten ja harkittujen vastauksien tuottamiseen oikeissa muodoissa, yleensä alle minuutissa, monimutkaisempien ongelmien ratkaisemiseksi. Näin ne voivat käsitellä monitahoisia kysymyksiä tehokkaammin, mikä on askel kohti itsenäisempää ChatGPT:tä, joka voi suorittaa tehtäviä puolestasi. Yhdistelmä huippuluokan päättelykykyä ja täydellistä työkalujen käyttöoikeutta johtaa merkittävästi parempaan suorituskykyyn sekä akateemisissa vertailuissa että tosielämän tehtävissä. Tämä asettaa uuden standardin sekä älykkyydelle että hyödyllisyydelle.

Mikä on muuttunut?

OpenAI o3 on tehokkain päättelymallimme, joka laajentaa koodauksen, matematiikan, luonnontieteiden, visuaalisen havainnoinnin ja muiden alojen rajoja. Se saavuttaa uuden SOTA-arvon muun muassa Codeforces-, SWE-bench- (ilman mukautettua mallikohtaista rakennetta) ja MMMU-vertailuarvoissa. Se on ihanteellinen monimutkaisissa kyselyissä, jotka vaativat monitahoista analyysia ja joiden vastaukset eivät välttämättä ole heti ilmeisiä. Se toimii erityisen hyvin visuaalisissa tehtävissä, kuten kuvien, kaavioiden ja grafiikan analysoinnissa. Ulkoisten asiantuntijoiden arvioiden mukaan o3 tekee 20 prosenttia vähemmän vakavia virheitä kuin OpenAI o1 vaikeissa tosielämän tehtävissä – loistaen erityisesti alueilla kuten ohjelmointi, liiketoiminta/konsultointi ja luova ideointi. Varhaiset testaajat korostivat sen analyyttistä täsmällisyyttä ajattelukumppanina ja painottivat sen kykyä luoda ja kriittisesti arvioida uusia hypoteeseja, erityisesti biologian, matematiikan ja tekniikan aloilla.

OpenAI o4-mini on pienempi malli, joka on optimoitu nopeaan ja kustannustehokkaaseen päättelyyn. Se saavuttaa huomattavan suorituskyvyn kokoonsa ja kustannuksiinsa nähden, erityisesti matematiikan, koodauksen ja visuaalisten tehtävien osalta. Se on AIME 2024 ja 2025 -vertailuissa parhaiten menestynyt malli. Vaikka tietokoneen käyttö vähentää merkittävästi AIME-kokeen vaikeutta, pidimme merkittävänä sitä, että o4-mini saavuttaa 99,5 %:n läpäisyn 1 yrityksellä (pass@1) (100 %:n konsensus 8 yrityksellä, consensus@8) AIME 2025 -vertailussa, kun sillä on käytössään Python-tulkki. Vaikka tuloksia ei tulisi verrata mallien suorituskykyyn ilman työkalujen käyttöoikeutta, ne ovat esimerkki siitä, kuinka tehokkaasti o4-mini hyödyntää käytettävissä olevia työkaluja – o3 osoittaa vastaavia parannuksia AIME 2025 -vertailussa työkalujen käytön ansiosta (98,4 % pass@1, 100 % consensus@8).

Asiantuntija-arvioinneissa o4-mini päihittää edeltäjänsä o3‑minin myös muissa kuin STEM-tehtävissä sekä datatieteen kaltaisilla aloilla. Tehokkuutensa ansiosta o4-mini tukee huomattavasti suurempia käyttörajoja kuin o3, mikä tekee siitä vahvan, suuren volyymin ja suoritustehon vaihtoehdon kysymyksille, jotka hyötyvät päättelystä. Ulkoiset asiantuntija-arvioijat totesivat, että molemmat mallit seuraavat ohjeita paremmin sekä tuottavat hyödyllisempiä varmennettavia vastauksia kuin niiden edeltäjät, mikä johtuu kehittyneestä älykkyydestä ja verkkolähteiden hyödyntämisestä. Verrattuna päättelymallien aiempiin versioihin näiden kahden mallin pitäisi myös tuntua luonnollisemmilta ja keskustelevammilta, erityisesti siksi, että ne hyödyntävät muistia ja aiempia keskusteluja tehdäkseen vastauksista yksilöllisempiä ja relevantimpia.

Multimodal

Koodaus

All SWE-bench evaluation runs use a fixed subset of n=477 verified tasks which have been validated on our internal infrastructure.

Ohjeiden seuraaminen ja työkalujen itsenäinen käyttö

Kaikki mallit arvioidaan korkeilla päättelyponnistuksen asetuksilla jotka ovat samanlaisia kuin esimerkiksi ChatGPT:n o4-mini-high -muunnelmat.

Jatkuva vahvistusoppimisen laajentaminen

Koko OpenAI o3:n kehitysprosessin aikana olemme havainneet, että laajamittainen vahvistusoppiminen noudattaa samaa enemmän laskentatehoa = parempi suorituskyky -trendiä, joka on havaittu myös GPT‑sarjan esikoulutuksessa. Seuraamalla skaalauspolkua uudelleen, mutta tällä kertaa vahvistusoppimisessa olemme lisänneet koulutuksen laskentatehoa ja käyttöhetken päättelyä moninkertaisesti. Silti suorituskyky paranee selvästi, mikä vahvistaa sen, että mallien suorituskyky kehittyy sitä mukaa, kuin niiden annetaan ajatella. O3 tuottaa paremman suorituskyvyn ChatGPT:ssä kuin OpenAI o1, yhtäläisellä viiveellä ja kustannuksilla. Olemme vahvistaneet, että mitä kauemmin sen annetaan ajatella, sitä paremmaksi sen suorituskyky kehittyy.

Koulutimme molemmat mallit käyttämään työkaluja vahvistusoppimisen avulla ja opetimme niille paitsi työkalujen käytön, myös sen, kuinka arvioida sitä, milloin niitä kannattaa hyödyntää. Niiden kyky ottaa työkaluja käyttöön haluttujen tulosten perusteella tekee niistä kyvykkäämpiä avoimissa tilanteissa, erityisesti niissä, joihin liittyy visuaalista päättelyä ja monivaiheisia työnkulkuja. Parannus näkyy sekä akateemisissa vertailuarvoissa että reaalimaailman tehtävissä, kuten ensimmäiset testaajat ovat raportoineet.

Ajattelu kuvien avulla

Ensimmäistä kertaa nämä mallit voivat integroida kuvia suoraan ajatusketjuunsa. Ne eivät vain näe kuvaa, ne ajattelevat sen avulla. Tämä avaa uudenlaisen ongelmanratkaisun luokan, joka yhdistää visuaalisen ja tekstuaalisen päättelyn. Se näkyy huippuluokan suorituskyvyssä eri multimodaalisissa vertailuarvoissa.

Ihmiset voivat ladata valokuvan taulusta, oppikirjan kaaviosta tai käsin piirretystä luonnoksesta, ja malli osaa tulkita sen, vaikka kuva olisi epätarkka, käännetty peilikuvaksi tai heikkolaatuinen. Työkalujen avulla mallit voivat manipuloida kuvia lennossa, pyörittää, zoomata tai muuntaa niitä osana päättelyprosessia.

Malleissa on huippuluokan tarkkuus visuaalisen hahmottamisen tehtävissä, minkä ansiosta ne pystyvät ratkaisemaan aiemmin mahdottomiksi koettuja tehtäviä. Lisätietoja on visuaalisen päättelyn tutkimusblogissa⁠.

Kohti itsenäistä työkalujen käyttöä

OpenAI o3:lla ja o4-minillä on täysi käyttöoikeus ChatGPT:n työkaluihin sekä omiin mukautettuihin työkaluihin API:n toiminnon kutsumisen kautta. Mallit on koulutettu päättelemään, miten ongelmia ratkaistaan, ja valitsemaan, milloin ja miten työkaluja käytetään, jotta voidaan tuottaa yksityiskohtaisia, harkittuja vastauksia oikeassa muodossa nopeasti, yleensä alle minuutissa.

Käyttäjä voi esimerkiksi kysyä: “Miten Kalifornian kesäaikainen energiankäyttö vertautuu viime vuoteen?“ Malli voi hakea verkosta yleishyödyllisiä tietoja, kirjoittaa Python-koodia ennusteen laatimiseksi, luoda kaavion tai kuvan ja selittää ennusteen taustalla olevat avaintekijät ketjuttamalla useita työkalukutsuja. Päättely mahdollistaa sen, että mallit voivat reagoida ja mukautua tarpeen mukaan kohtaamiinsa tietoihin. Ne voivat esimerkiksi tehdä hakuja verkosta useita kertoja hakupalvelujen tarjoajien avulla, tarkastella tuloksia ja kokeilla uusia hakuja, jos tarvitsevat lisää tietoa.

Joustavan, strategisen lähestymistavan ansiosta mallit voivat ratkaista tehtäviä, jotka vaativat pääsyn ajantasaisiin tietoihin mallin sisäisen tiedon ulkopuolelta, laajennettua päättelyä, synteesiä sekä monimuotoista sisällön tuottamista eri muodossa.

Kaikki esimerkit tehtiin OpenAI o3:lla.

OpenAI o3

Solve the following very hard math problem using your in-built knowledge of the literature:

Construct a degree 19 polynomial \ (p(x)) \ in \ mathbb{C}[x] such that \ (X := \ {\, p(x) = p(y) \, \} \ subset \ mathbb{P}^{1} \ times \ mathbb{P}^{1}\ ) has at least 3 (but not all linear) irreducible components over \ mathbb{C}. Choose \ (p(x)\ ) to be odd, monic, have real coefficients and linear coefficient \ (-19\ ) and calculate \ (p(19)\ ).

Polynomien rakentaminen 55 sekunnin ajan

The curve defined by p(x) = p(y) factors if p(x) is decomposable or has repeated factors. Actually, p(x)-p(y) always factors, and it’s divisible by (x-y). This gives one factor, and the rest is a degree d-1 polynomial in x and y. For the curve to have at least three irreducible components, p(x)-p(y) must factor into at least three nontrivial factors. Each factor corresponds to a component in projective space, and at least one must be nonlinear.
I’m checking the Dickson polynomials D_n(x,a) and focusing on their coefficients. With a=1, it seems the leading coefficient is always 1, confirming that Dickson polynomials are monic. The linear coefficient for odd n is following a predictable sign pattern: for n=19, it gives a coefficient of -19, which is exactly what I need. So the Dickson polynomial D_n(x,1) with odd n fits nicely with the linear coefficient I was looking for.
I've confirmed that the linear coefficient for p(x)=D19(x)p(x) = D_{19}(x)p(x)=D19(x) is correct, with the necessary scaling factor to match. Now for the next step, I need to compute D19(19)D_{19}(19)D19(19). Since Tn(z)T_n(z)Tn(z) grows quickly for real z>1z > 1z>1, I plan to compute this value using Python, leveraging the recurrence to avoid mistakes—it's going to be a big number. I'll make sure to present the numeric result neatly so it's understandable since the coefficients are integers.
The Dickson polynomial D_{19}(x,1) is confirmed to have the required properties: monic, odd, real coefficients, and a linear coefficient of -19. The factorization of D_{19}(x) into irreducible components is also verified and satisfies the condition of having at least 10 components (1 linear + 9 quadratics). To compute p(19), we'll use the recurrence relation for Dickson polynomials, but there's also a closed-form expression involving cosine that could be handy here. I'll proceed accordingly!
I confirmed the linear coefficient is working correctly, which means now I need to calculate p(19)=D19(19)p(19) = D_{19}(19)p(19)=D19(19). This involves evaluating T19(9.5)T_{19}(9.5)T19(9.5), which grows rapidly. To ensure I get an accurate result, I'll compute this using recurrence in Python. The result is a large number: 1,876,572,071,974,094,803,391,179. I'll use the commas to make it easier to read: p(19)=1,876,572,071,974,094,803,391,179p(19) = 1,876,572,071,974,094,803,391,179p(19)=1,876,572,071,974,094,803,391,179.
For a = 1, there’s a relationship between Dickson polynomials and Chebyshev polynomials: D_n(x, 1) = 2^(n-1) T_n(x/2). Checking this, we see that the definition of D_n(u + 1/u) aligns well with Chebyshev’s formula. By setting x = 2 cos(θ), we find that D_n(x) equals 2 T_n(x/2). Importantly, the leading coefficient works out to 1, confirming the identity holds. This is nice!
Now, I need to verify that p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) factors as desired, relying on the known Dickson polynomial factorization. According to the literature (like Fried and Jarden), the difference Dn(x)−Dn(y)D_n(x) - D_n(y)Dn(x)−Dn(y) factors into a product involving (x−y)(x - y)(x−y) and other expressions. I'll provide the explicit polynomial D19(x,1)D_{19}(x, 1)D19(x,1), list the coefficients, and explain how it satisfies the desired properties: monic, odd, etc. Lastly, I'll compute p(19)p(19)p(19).

Analyzed

Python

1from math import comb, cos, acos
2# Let's compute Dickson D_n(x,a=1) recursively
3def dickson(n,x,a=1):
4    if n==0:
5        return 2
6    if n==1:
7        return x
8    Dm2=2
9    Dm1=x
10    for k in range(2,n+1):
11        D= x*Dm1 - a*Dm2
12        Dm2, Dm1 = Dm1, D
13    return Dm1
14
15d19 = dickson(19,19,1)
16d19

1876572071974094803391179

Analyzed

Python

1d19

1876572071974094803391179

Analyzed

Python

1import locale, sys, math, json, textwrap, re, decimal

Analyzed

Python

1"{:,}".format(d19)

'1,876,572,071,974,094,803,391,179'

Analyzed

Python

1# compute coefficients of Dickson polynomial D_n(x,1) via recurrence polynomial representation
2from sympy import symbols, Poly
3
4x = symbols('x')
5def dickson_poly(n):

Poly(x**19 – 19*x**17 + 152*x**15 - 665*x**13 + 1729*x**11 – 2717*x**9 + 2508*x**7 – 1254*x**5 + 285*x**3 – 19*x, x,

Analyzed

Python

1poly19.as_expr()

x**19 - 19*x**17 + 152*x**15 – 665*x**13 + 1729*x**11 – 2717*x**9 + 2508*x**7 – 1254*x**5 + 285*x**3 – 19*x

Done

A convenient way to force many factors in
$p(x) \;-\; p(y)$ is to use a Dickson polynomial of the first kind.
For a parameter $a \in \mathbb{C}$ in math these are defined by

$D_0\!\left(x,\, a\right) = 2,\; D_1\!\left(x,\, a\right) = x,\; D_n\!\left(x,\, a\right) = x\,D_{n-1}\!\left(x,\, a\right) - a\,D_{n-2}\!\left(x,\, a\right)\quad (n \ge 2),$

and satisfy the functional identity

$D_n\!\left(u + \frac{a}{u},\, a\right) = u^{n} + \frac{a^{n}}{u^{n}}.$

1. Choosing the polynomial

Take $a = 1$ and $n=19$ .
Because $n$ is odd, $D_{19}\!\left(x,\, 1\right)$ is an odd polynomial; the recurrence immediately shows it is monic and has integer (hence real) coefficients.
The coefficient of $x$ is $x = (-1)^{\frac{n-1}{2}}\,n = -19,$ so all requested normalisations are satisfied.

Writing it out gives

$\boxed{% p(x) = D_{19}\!\left(x,1\right) = x^{19} - 19x^{17} + 152x^{15} - 665x^{13} + 1729x^{11} - 2717x^{9} + 2508x^{7} - 1254x^{5} + 285x^{3} - 19x% }\,.$

2. Irreducible components of $fX \;=\; \bigl\{\, p(x) = p(y) \,\bigr\}$

For Dickson polynomials one has the classical factorisation

$D_n\!\left(x,1\right) \;-\; D_n\!\left(y,1\right) \;=\; (x - y)\, \prod_{j=1}^{\frac{n-1}{2}} \Bigl( x^{2} + y^{2} - 2\cos\!\bigl(\tfrac{2\pi j}{n}\bigr)\,xy - 4\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi j}{n}\bigr) \Bigr),$

where each quadratic factor is irreducible over $\mathbb{C}$ (see, e.g., Lidl–Niederreiter, Finite Fields, §3.6).
For $n=19$ this gives

one linear component $x=y;$
nine quadratic components (corresponding to $\bigl(j = 1,\,\ldots,\,9\bigr).$

Hence $X \subset \mathbb{P}^{1} \times \mathbb{P}^{1}$ has $10$ irreducible components, at least three of them and not all linear, as required.

3. Evaluating $p(19)$

Using the recurrence (or the identity $D_n\!\left(x,\,1\right) \;=\; 2\,T_n\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)$ with Chebyshev $T_n$ one obtains

$p(19) \;=\; D_{19}\!\left(19,\,1\right) \;=\; 1\,876\,572\,071\,974\,094\,803\,391\,179.$

Thus the polynomial above fulfils every condition, and

$\boxed{% p(19) \;=\; 1{,}876{,}572{,}071{,}974{,}094{,}803{,}391{,}179 }.$

OpenAI o1

Solve the following very hard math problem using your in-built knowledge of the literature:

Ajatteli minuutin ja 19 sekuntia

I’m piecing together a degree 19 polynomial with only odd powers and a linear coefficient of -19, like: p(x)=x19+a17x17+…+a1xp(x) = x^{19} + a_{17}x^{17} + \ldots + a_1xp(x)=x19+a17x17+…+a1x.

I'm examining if the polynomial p(x)=x19+a17x17+…+a3x3−19xp(x) = x^{19} + a_{17}x^{17} + \ldots + a_3x^3 - 19xp(x)=x19+a17x17+…+a3x3−19x has a notable classical form, considering symmetry or factorization for multiple irreducible components.

To ensure p(x)p(x)p(x) has three or more irreducible components, I’m considering the factorization of p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) into at least three irreducible factors in C[x,y]\mathbb{C}[x,y]C[x,y].

I'm working through x19−y19x^{19} - y^{19}x19−y19 to ensure it balances linear and nonlinear factors, aiming for a polynomial with at least three irreducible components that aren't all linear.

Taking a closer look at how p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) can be factored into three distinct polynomials in xxx, aiming to achieve the desired irreducible components.

I'm thinking about how composing ppp with simpler polynomials, like xm−cx^m - cxm−c, could result in multiple irreducible components, achieving at least three distinct factors.

I’m exploring the factorization of p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with cyclotomic polynomials. This method generates nnn linear irreducible factors, which might not achieve the required three distinct components.

I'm focusing on constructing an "odd" and monic polynomial, ensuring all exponents are odd and the leading term is x19x^{19}x19. This approach aims to achieve the desired factorization.

I'm working with the Chebyshev polynomials to ensure p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) has at least three irreducible components, leveraging their even or odd properties to manage coefficients.

Considering the odd Chebyshev polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) for potential factorization, while also examining composite polynomials of lower degrees to enhance factorization properties.

I'm analyzing how a polynomial composed of lower-degree polynomials, like (x3−3x)k(x^3 - 3x)^k(x3−3x)k, could yield p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with at least three irreducible components.

Piecing together polynomials with integer coefficients, like (x3−3x)k(x^3 - 3x)^k(x3−3x)k, to achieve factorization in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with at least three irreducible components, aiming for degree 19.

I’m examining how p(x)=(x3−3x)kp(x) = (x^3 - 3x)^kp(x)=(x3−3x)k or p(x)=x19−19xp(x) = x^19 - 19xp(x)=x19−19x might yield p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with three irreducible components, focusing on ensuring the polynomial is of degree 19.

I’m analyzing p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) into (x−y)(x18+x17y+…+y18−19)(x-y)(x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18} - 19)(x−y)(x18+x17y+…+y18−19) to identify irreducible components. The polynomial factor x18+x17y+…+y18−19x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18} - 19x18+x17y+…+y18−19 remains challenging to factor further.

I’m thinking through a new approach: adjusting the Chebyshev polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) to make it monic, aiming to achieve at least three irreducible components in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y).

OK, let's think through. I’m tweaking T19(x)T_{19}(x)T19(x)'s coefficients to keep the polynomial monic and check if it simplifies into multiple irreducible components.

I'm thinking over various factorization strategies for a monic polynomial of degree 19. The goal is to ensure at least one non-linear factor and achieve at least three irreducible components in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y).

I’m updating my approach to factor x2+xy+y2−1x^2 + xy + y^2 - 1x2+xy+y2−1 over complex numbers by exploring change of variables and third roots of unity. This helps in achieving the desired polynomial structure.

I'm combining x3−xx^3 - xx3−x with x19−19xx^{19} - 19xx19−19x to tweak the polynomial's coefficients and complexity, aiming to include more non-linear factors for the desired irreducibility.

Piecing together p(x)=x19−x3−19xp(x) = x^{19} - x^3 - 19xp(x)=x19−x3−19x to ensure it’s odd, monic, and has the required linear coefficient. This targets the desired irreducible factorizations.

I’m mapping out the second factor x18+…+y18−x2−xy−y2−19x^{18} + \ldots + y^{18} - x^2 - xy - y^2 - 19x18+…+y18−x2−xy−y2−19 to see if it can split into three irreducible components.

I’m considering methods to factorize the polynomial by making it divisible by x−yx - yx−y and ensuring the remaining factor splits into exactly two irreducible components, aiming for a less complex factorization.

I’m examining the polynomial x18+x17y+…+y18x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18}x18+x17y+…+y18 and noting it simplifies to x19−y19x−y\frac{x^{19} - y^{19}}{x - y}x−yx19−y19, which might reveal further irreducible factors.

I’m mapping out the polynomial x(x18−1)−y(y18−1)x−y\frac{x(x^{18}-1) - y(y^{18}-1)}{x-y}x−yx(x18−1)−y(y18−1) for further factorization. This might yield just two irreducible components, which falls short of three.

I’m exploring whether the polynomial p(x)=x19−(x3)p(x) = x^19 - (x^3)p(x)=x19−(x3) can be expressed as the composition of a smaller polynomial with xkx^kxk, potentially revealing multiple irreducible components.

I'm examining if the polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) can be factored using trigonometric identities, seeking partial factorization without fully linearizing, to gain multiple irreducible components.

OK, let me see. Trigonometric identities show multiple solutions for θ\thetaθ and ϕ\phiϕ, likely leading to 19 or 38 linear factors for T19(x)T_{19}(x)T19(x).

I’m examining how the equation arccos⁡x=±arccos⁡y+2kπ19\arccos x = \pm \arccos y + \frac{2k\pi}{19}arccosx=±arccosy+192kπ leads to possible multiple branches, potentially irreducible in the algebraic sense, and needing an example with at least three non-linear irreducible components.

OK, let me see. I’m pulling together details on the polynomial x3(x2−1)8+xx^3 (x^2 - 1)^8 + xx3(x2−1)8+x. It’s monic, with x19x^{19}x19 as the leading term, ensuring it meets key criteria.

I’m noting that the polynomial p(x)=x3(x2−1)8+xp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + xp(x)=x3(x2−1)8+x is odd, with its linear coefficient patterning to -19.

I’m figuring out how to adjust the linear coefficient of polynomial p(x)p(x)p(x) to -19 by adding a constant factor ccc in front of xxx to ensure it’s adequately modified.

By tweaking the linear coefficient of p(x)=x3(x2−1)8+cxp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + c xp(x)=x3(x2−1)8+cx to -19, it ensures the polynomial remains monic, odd, and real.

I’m working on adding a constant factor ccc to xxx in p(x)=x3(x2−1)8+cxp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + c xp(x)=x3(x2−1)8+cx to ensure the linear coefficient is -19, making the polynomial monic, odd, and real.

I'm piecing together the polynomial p(x)=x3(x−1)8(x+1)8p(x) = x^3 (x-1)^8 (x+1)^8p(x)=x3(x−1)8(x+1)8 and considering how p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) might factor with factors like x−yx-yx−y.

I’m confirming p(x)p(x)p(x) is monic, odd, and real, with a linear coefficient of -19, by expanding x3(x2−1)8x^3 (x^2 -1)^8x3(x2−1)8 to set the constant ccc.

I found that for p(x) to have a coefficient of -19 for the x term, c must be -19. The polynomial, p(x), incorporates this constant and preserves the original polynomial's structure.

Below is one concrete example (over the reals) of an odd, monic, degree 19 polynomial with linear coefficient $-19$ whose zero-locus relation $\{\,p(x)=p(y)\,\}\ \text{in }\mathbb{P}^{1}\times\mathbb{P}^{1}$ splits into at least three irreducible components (and not all components are linear). We then compute $p(19)$ .

1. The polynomial

Consider

$p(x) \;=\; x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8} \;-\; 19x.$

We can expand

$x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8} \;=\; x^{19}\;-\;8x^{17}\;+\;28x^{15}\;-\;56x^{13}\;+\;70x^{11} \;-\;56x^{9}\;+\;28x^{7}\;-\;8x^{5}\;+\;x^{3}.$

Hence

$p(x) \;=\; x^{19} \;-\; 8x^{17} \;+\; 28x^{15} \;-\; 56x^{13} \;+\; 70x^{11} \;-\; 56x^{9} \;+\; 28x^{7} \;-\; 8x^{5} \;+\; x^{3} \;-\; 19x.$

Checking the required properties

Degree 19, monic:
The leading term is $x^{19}$ with coefficient $1$ .

Odd polynomial:
All exponents are odd $\bigl(19,\,17,\,\ldots,\,3,\,1\bigr),$ and the constant term is $0$ . Indeed,

$p(-x) \;=\; -\,p(x),$

which makes $p$ an odd polynomial.

Real coefficients:
All coefficients are real integers.

Linear coefficient $-19$ :
The coefficient of $x$ is clearly $-19$ .

At least three irreducible components, not all linear:
Over $\mathbb{C}$ , the locus

$X \;=\; \bigl\{\, (x,y) : p(x)=p(y) \,\bigr\} \;\subset\; \mathbb{P}^{1}\times\mathbb{P}^{1}$

factors in part because $p(x)$ has (for instance) the repeated factors $\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8}$ in the big piece $x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8}$ . One sees that $\{\,p(x)=p(y)\,\}$ contains (at least) the divisor $${x=y\}$$ plus further factors coming from the roots $x = 0 \;\text{or}\; x = \pm 1,$ ensuring multiple irreducible components (and not all of them are hyperplanes).

2. Computing $p(19)$

A direct substitution $x=19$ gives a large integer. Symbolic expansion or a computer algebra system yields

$p(19) \;=\; 1934999285524070399999639.$

Hence the required value is

\boxed{\,p(19) \;=\; 1934999285524070399999639\,}. \] :contentReference[oaicite:0]{index=0}

OpenAI o3 saa vastauksen oikein ilman hakua, kun taas o1 ei pysty tuottamaan oikeaa vastausta.

Kustannustehokkaan päättelyn edistäminen

Kustannukset ja suorituskyky: o3‑mini vs. o4-mini

OpenAI o3-mini ja o4-mini AIME-arvioinnit

OpenAI o3-mini ja o4-mini GPQA-arvioinnit

Kustannukset vs suorituskyky: o1 ja o3

OpenAI o3 ja o4-mini ovat älykkäimpiä malleja, joita olemme koskaan julkaisseet, ja ne ovat usein myös tehokkaampia kuin edeltäjänsä OpenAI o1 ja o3‑mini. Esimerkiksi vuoden 2025 AIME-matematiikkakilpailussa o3:n kustannustehokkuusraja paranee selvästi verrattuna o1:een, ja vastaavasti o4-minin raja paranee selvästi verrattuna o3‑miniin. Yleisesti ottaen odotamme, että useimmissa tosielämän käyttötapauksissa o3 ja o4-mini ovat sekä älykkäämpiä että edullisempia kuin o1 ja o3‑mini.

Turvallisuus

Jokainen mallin ominaisuuksien parantaminen edellyttää vastaavaa turvallisuuden parantamista. OpenAI o3:n ja o4-minin osalta rakensimme turvallisuuskoulutusaineiston kokonaan uudelleen, lisäten uusia kieltäytymiskehotteita esimerkiksi biologisiin uhkiin (bioriski), haittaohjelmien luomiseen ja suojausten ohitukseen liittyvillä alueilla. Päivitetty aineisto on parantanut o3:n ja o4-minin suorituskykyä sisäisissä kieltäytymisvertailuissamme (esim. ohjehierarkia⁠, suojausten ohitukset). Sen lisäksi, että mallien hylkäämisessä on saavutettu vahva suorituskyky, olemme myös kehittäneet järjestelmätason lieventämistoimia vaarallisten kehotusten merkitsemiseksi riskialueiden äärirajoilla. Samoin kuin aiemmassa kuvien luomiseen⁠ liittyvässä työssä koulutimme päättelevän LLM-valvontajärjestelmän, joka toimii ihmisen kirjoittamien ja tulkittavissa olevien turvallisuusmäärittelyjen pohjalta. Kun valvontajärjestelmää sovellettiin bioriskiin, se tunnisti onnistuneesti noin 99 % keskusteluista ihmisten suorittamassa red-teaming-kampanjassa.

Molemmat mallit testattiin tähän mennessä tiukimmalla turvallisuusohjelmallamme. Päivitetyn valmiusviitekehyksemme⁠ mukaisesti arvioimme o3:n ja o4-minin kolmen seurattavan kyvykkyysalueen osalta, jotka kehys kattaa: biologiset ja kemialliset riskit, kyberturvallisuus sekä tekoälyn itsenäinen kehittäminen. Arviointien tulosten perusteella olemme todenneet, että sekä o3 että o4-mini jäävät “Korkean“ kynnyksen alapuolelle kaikissa kolmessa kategoriassa valmiusviitekehyksen mukaisesti. Julkaisemme näiden arviointien yksityiskohtaiset tulokset oheisessa järjestelmäkortissa⁠.

Codex CLI: kehittynyt päättely terminaalissa

Jaamme myös uuden kokeilun: Codex CLI, kevyt koodausohjelma, jota voit käyttää päätelaitteesta. Se toimii suoraan tietokoneellasi ja on suunniteltu maksimoimaan o3- ja o4-minin kaltaisten mallien päättelyominaisuudet. Tulossa on myös tuki API-malleille, kuten GPT‑4.1⁠:lle⁠.

Voit hyödyntää multimodaalista päättelyä komentoriviltä siirtämällä mallille kuvakaappauksia tai karkeita luonnoksia, yhdistettynä paikallisen koodin käyttöön. Ajattelemme sitä yksinkertaisena käyttöliittymänä, joka yhdistää mallit käyttäjiin ja heidän tietokoneisiinsa. Codex CLI on täysin avoimen lähdekoodin projekti, saatavilla osoitteessa github.com/openai/codex⁠(avautuu uudessa ikkunassa) tänään.

Lisäksi käynnistämme miljoonan dollarin aloitteen, jolla tuetaan Codex CLI- ja OpenAI-malleja käyttäviä hankkeita. Arvioimme ja hyväksymme apurahahakemuksia 25 000 USD:n erissä API-krediitteinä. Ehdotukset voidaan lähettää täällä.

Käyttöoikeus

ChatGPT Plus-, Pro- ja Team-käyttäjät näkevät o3‑, o4-mini- ja o4-mini-high-mallit valitsimessa tästä päivästä lähtien, ja ne korvaavat o1, o3‑mini ja o3‑mini‑highin. ChatGPT Enterprise- ja Edu-käyttäjät saavat käyttöoikeuden viikon kuluttua. Ilmaisen version käyttäjät voivat kokeilla o4-miniä valitsemalla “Ajattele“ muokkaimessa ennen lähettämistä. Kaikkien sopimusten käyttörajat pysyvät ennallaan edelliseen mallisarjaan verrattuna.

Odotamme julkaisevamme OpenAI o3‑pro:n muutaman viikon sisällä täydellä työkalutuella. Toistaiseksi Pro-käyttäjät voivat edelleen käyttää o1‑pro:ta.

Sekä o3 että o4-mini ovat tänään kehittäjien käytettävissä Chat Completions API:n ja Responses API:n kautta (joidenkin kehittäjien täytyy vahvistaa organisaationsa⁠(avautuu uudessa ikkunassa) saadakseen käyttöoikeuden näihin malleihin). Vastausten API tukee päättelyn yhteenvetoja ja kykyä säilyttää päättelytunnisteita toimintokutsujen ympärillä paremman suorituskyvyn saavuttamiseksi. Pian se tukee sisäänrakennettuja työkaluja, kuten verkkohakua, tiedostohakua ja koodintulkitsinta osana mallin päättelyä. Aloita tutustumalla asiakirjoihimme⁠⁠(avautuu uudessa ikkunassa) ja pysy kuulolla saadaksesi lisää päivityksiä.

Mitä seuraavaksi

Tämänkertaiset päivitykset kuvastavat suuntaa, johon mallimme kehittyvät: yhdistämme o-sarjan erikoistuneet päättelykyvyt GPT‑sarjan luonnollisempaan keskustelukykyyn ja työkalujen käyttöön. Yhdistämällä nämä vahvuudet tulevaisuuden mallit tukevat saumattomia, luonnollisia keskusteluja sekä ennakoivaa työkalujen käyttöä ja kehittynyttä ongelmanratkaisua.

Huhtikuun 16. päivän päivitys: o3:n tulokset Charxiv-r- ja Mathvista-testeissä päivitettiin vastaamaan järjestelmäkehotteen muutosta, joka ei ollut mukana alkuperäisessä arvioinnissa.

Livestream-toisto

Tekijä

OpenAI

Alaviitteet

* Tau-bench-arviointiluvut on keskiarvoistettu viiden suorituksen perusteella vaihtelun vähentämiseksi, ja ne on suoritettu ilman mukautettuja työkaluja tai kehotuksia. Havaitsimme, että tau-benchin vähittäiskaupan käyttöönotot ovat alttiimpia käyttäjämallivirheille. Varjostetun palkin numerot on ajettu käyttäen GPT-4.1:tä käyttäjämallina, koska se on merkittävästi parempi kuin GPT-4o ohjeiden noudattamisessa.

* SWE-bench käyttää 256k:n maksimikontekstin pituutta, mikä parantaa o4-minin ratkaisuastetta noin 3 % ja vaikuttaa o3:n ratkaisuasteeseen alle 1 %. Lisäksi jätämme pois 23 näytettä, jotka eivät ole ajettavissa sisäisessä infrastruktuurissamme.

** Kun selaustoiminto on käytössä, malli voi toisinaan löytää tarkkoja vastauksia verkosta, esimerkiksi lukemalla blogikirjoituksia, joissa on esimerkkitehtäviä tietojoukosta. Pyrimme vähentämään huolta mallin mahdollisesta huijaamisesta selaamisen aikana kahdella strategialla:

Estämme verkkotunnuksia, joilta olemme aiemmin havainneet mallin hankkineen vastauksia vilpillisesti.
Käytimme päättelymallia valvontajärjestelmänä tutkimaan kaikki tunnisteet jokaisessa yrityksessä epäilyttävän toiminnan tunnistamiseksi. Epäilyttäväksi toiminnaksi määritellään “sivu, tiedosto tai katkelma, jonka ensisijainen tarkoitus on tarjota täsmälleen oikea vastaus tiettyyn kysymykseen, esimerkiksi virallinen arvosteluavain, vuodettu “ratkaisujen” ydin tai keskustelu, jossa valmis vastaus lainataan sanatarkasti.“ Hyväntahtoinen käyttäytyminen määritellään seuraavasti: “Mikä tahansa arvovaltainen resurssi, jota huolellinen ihminen voisi käyttää (dokumentaatio, käsikirjat, tieteelliset julkaisut, arvostetut artikkelit), vaikka se sisältäisi oikean vastauksen sattumalta.“ Kaikki yritykset, joissa valvontajärjestelmä piti siirtoa epäilyttävänä, lasketaan virheellisiksi. Useimpien näytteiden, jotka eivät läpäisseet tätä tarkistusta, tarkka ratkaisu oli saatavilla useista internetlähteistä, jotka eivät liittyneet HLE:hen.

Lopuksi selausta koskevat arviointimme eivät välttämättä ole täysin toistettavissa OpenAI API:ssa, koska ChatGPT:n ja OpenAI API:n hakukoneiden taustajärjestelmät eroavat toisistaan. Nämä tulokset on tarkoitettu edustamaan ChatGPT:n käyttäjäkokemusta, mutta kysynnästä riippuen hakumääritys voi muuttua ajan myötä.

Contributors

Aaditya Singh, Aaron Schlesinger, Adam Fry, Adam Lerer, Adam Perelman, Adam Walker, Ahmed El-Kishky, Aidan Clark, Aidan McLaughlin, Aiden Low, Akila Welihinda, Akshay Nathan, Aleksander Madry, Aleksandra Spyra, Alex Karpenko, Alex Neitz, Alex Tachard Passos, Alex Wei, Alexander Prokofiev, Alexander Zielenski, Alexandra Barr, Alexey Ivanov, Alexi Christakis, Alfred Xue, Allison Tam, Ally Bennett, Ally Bennett , Amelia Liu, Amy McDonald Sandjideh, Ananya Kumar, Andre Saraiva, Andrea Vallone, Andrew Chen, Andrew Duberstein, Andrew Gibiansky, Andrew Kondrich, Andrew Tulloch, Andrey Mishchenko, Andy Applebaum, Andy Wang, Angela Baek, Annie Wei, Anting Shen, Antoine Pelisse, Anuj Saharan, Arun Vijayvergiya, Ashley Tyra, Ashvin Nair, Avi Nayak, Avital Oliver, Behrooz Ghorbani, Belinda Truong, Ben Sokolowsky, Beth Hoover, Bo Xu, Boaz Barak, Bohan Zhang, Borys Minaiev, Botao Hao, Bowen Baker, Bowen Cheng, Brandon McKinzie, Brandon Wang, Brian Hsu, Brian Yang, Brian Yu, Brian Zhang, Camillo Lugaresi, Carolina Paz, Carpus Chang, Cary Bassin , Cary Hudson, Casey Chu, Chak Li, Charles Zhao, Charlie Jatt, Charlotte Cole, Chelsea Voss, Chen Shen, Chengxu Zhuang, Chris Colby, Chris Hallacy , Chris Koch, Christina Kaplan, Christina Kim, Colin Reid, Colin Wei, Cristina Scheau, D. Sculley, Damien Deville, Dan Roberts, Dana Palmie, Dane Stuckey, Daniel Levine, David Hu, David Martin, David Robinson, David Sasaki, Davis Wu, Derek Chen, Dibya Bhattacharjee, Dimitris Tsipras, Dinghua Li, DJ Strouse, dmed Medina, Drew Hintz, Eddie Zhang, Edmund Wong, Elaine Ya Le, Eli Yani , Elizabeth Proehl, Emily Sokolova, Enoch Cheung, Eri Schwartz, Eric Mitchell, Eric Ning, Eric Sigler, Eric Wallace, Eugenio Panero, Evan Mays, Evgenii Nikishin, Fan Wang, Fangyuan Li, Filippo Raso, Foivos Tsimpourlas, Fouad Matin, Francis Song, Francis Zhang, Gary Yang, Gene Oden, Giambattista Parascandolo, Gildas Chabot, Grace Kim, Grace Zhao, Greg Brockman, Gregory Valiant, Guillaume Leclerc, Hadi Salman, Haitang Hu, Hannah Sheahan, Hao Sheng, Haoyu Wang, Henrique Ponde de Oliveira Pinto, Henry Aspegren, Heqing Yan, Hessam Bagherinezhad, Hongyu Ren, Hunter Lightman, Hyeonwoo Noh, Ian Kivlichan, Ian Sohl, Ignasi Clavera, Ikai Lan, Ilge Akkaya, Ilya Kostrikov, Irina Kofman, Isa Fulford, Jake Brill, Jakub Pachocki, James Betker, James Lee, James Qin, Jamie Kiros, Jason Ai, Jay Wang, Jean Harb, Jeff Mickey, Jeffrey Han, Jeffrey Wang, Jeremy Chen, Jerry Tworek, Jessica Liang, Jessica Shieh, Ji Lin, Jiahui Yu, Jianfeng Wang, Jie Tang, Jihan Yin, Jing Li, Joanne Jang, Joel Morris, Johannes Ferstad, Johannes Heidecke, John Fishbein, Jon Okun, Jonathan Gordon, Joost Huizinga, Jos Kraaijeveld, Joseph Mo, Josh Lawson , Josh Tobin, Junhua Mao, Kai Chen, Kai Hayashi, Karan Singhal, Karina Nguyen, Katy Shi, Kelly Stirman, Kenji Hata, Kenny Nguyen, Keren Gu-Lemberg, Kevin Gladstone, Kevin King, Kevin Liu, Kevin Lu, Kevin Park, Kevin Stone, Kevin Weil, Kevin Whinnery, Kevin Yu, Kote Mushegiani, Kristen Ying, Kristian Georgiev, Kshitij Gupta, Kyle Kosic, Lama Ahmad, Larry Lv, Lauren Itow, Lauren Yang, Lee Byron, Leo Chen, Leo Liu, Leon Maksin, Leyton Ho, Li Jing, Liang Xiong, Lin Yang, Linden Li, Lorenz Kuhn, Louis Feuvrier, Lu Zhang, Łukasz Kaiser, Mahmoud Eariby, Maja Trębacz, Manas Joglekar, Manoli Liodakis, Manuka Stratta, Mark Chen, Mark Hudnall, Mark Sun, Mark Wang, Martin Li, Marvin Zhang, Mateusz Litwin, Matt Jones, Matt Lim, Max Johnson, Max Schwarzer, Mayank Gupta, Meghan Shah, Mengqing Wang, Mengyuan Yan, Mia Glaese, Michael Bolin, Michael Lampe, Michael Malek, Michael Sharman, Michael Zhang, Michele Wang, Michelle Pokrass, Miguel Oom Temudo de Castro, Mihai Florian, Mike McClay, Mike Trpcic, Miki Habryn, Miles Wang, Ming Chen, Mingxuan Wang, Minnia Feng, Mitchell Gordon, Mo Bavarian, Mostafa Rohaninejad, Nacho Soto, Nakul Khanna, Nat McAleese, Natalie Staudacher, Natan LaFontaine, Neel Ajjarapu, Nick Felt, Nick Turley, Nikil Pancha, Nikita Mikhaylin, Niko Felix, Nikunj Handa, Ning Liu, Nishant Rai, Noah Jorgensen, Noam Brown, Oleg Boiko, Oleg Murk, Olivia Watkins, Olivier Godement, Oona Gleeson, Paul Ashbourne, Pavel Belov, Peter Flockhart, Peter Hoeschele, Peter Zhokhov, Philip Pronin, Phillip Guo, Phoebe Thacker, Prafulla Dhariwal, Prashanth R, Rachel Dias, Rahul Arora, Rajkumar Samuel, Rasmus Rygaard, Ravi Teja Mullapudi, Raymond Li, Raz Gaon, Reah Miyara, Reiichiro Nakano, Reimar Leike, Rennie Song, Rhythm Garg, RJ Marsan, Robert Xiong, Robin Brown, Roman Tsiupa, Rui Shu, Ruslan Nigmatullin, Saachi Jain, Saagar Patel, Sam Altman, Sam Toizer, Sam Toyer, Samir Ahmed, Samuel Miserendino, Samuel Wolrich , Sandhini Agarwal, Santiago Hernández, Sarah Dong, Savannah Heon, Scott Ethersmith, Scott Mayer McKinney, Sean Fitzgerald, Sever Banesiu, Shamez Hemani, Shengjia Zhao, Shengli Hu, Shibani Santurkar, Shreyas Krishnaswamy, Shuchao Bi, Shunyu Yao, Shuyuan Zhang, Simón Posada Fishman, Spencer Papay, Spug Golden, Srinivas Narayanan, Stanley Hsieh, Stephen Logsdon, Sundeep Tirumalareddy, Tal Stramer, Tao Wang, Tao Xin, Taylor Gordon, Tejal Patwardhan, Thibault Sottiaux, Tina Sriskandarajah, Tony Casparro, Tony Zhao, Trapit Bansal, Trevor Creech, Uzair Navid Iftikhar, Valerie Qi, Vineet Kosaraju, Vishal Kuo, Vitchyr Pong, Vivek Verma, Vlad Petrov, Wenda Zhou, Wenlei Xie, Wenting Zhan, Will DePue, Will Ellsworth, William Sheu, Wyatt Thompson, Yaming Lin, Yann Dubois, Yaodong Yu, Yara Khakbaz, Yash Patil, Yifan Wu, Yilong Qin, Yining Chen, Yirui Zhang, Yo Shavit , Young Cha, Yunyun Wang, Yushi Wang, Zack Sultan, Zehao Dou, Zewei Chu, Zheng Shao, Zhigang Wang, Zhishuai Zhang, Zihao Zhang