Diez avances en matemáticas e informática teórica

Queremos ofrecer a científicos y matemáticos herramientas que aceleren los descubrimientos. Por eso, hace poco anunciamos ChatGPT para investigadores académicos⁠, una iniciativa que ofrece a 100 000 científicos y matemáticos acceso gratuito a nuestros mejores modelos de ChatGPT. También seguimos evaluando nuestros modelos con problemas de investigación abiertos durante su desarrollo.

En mayo compartimos una refutación generada por IA⁠ de la conjetura de Erdős sobre la distancia unitaria, descubierta durante la evaluación de un modelo aún no publicado. Este trabajo ya ha inspirado nuevos avances en matemáticas e informática teórica¹. Hoy presentamos una selección de diez resultados, cada uno de los cuales resuelve un problema abierto de larga data o permite avanzar sustancialmente en él. Estos problemas abarcan la geometría de alta dimensión, la teoría de códigos, la complejidad de circuitos aritméticos, la teoría de grupos, las álgebras de operadores, la complejidad cuántica, la criptografía reticular y la combinatoria extremal. Todos estos problemas revisten un interés considerable para sus respectivas comunidades matemáticas, y varios de ellos son de gran interés para las matemáticas en su conjunto.

Presentamos nuevos resultados para los siguientes problemas. Los resultados se obtuvieron con una versión interna de Astra, nuestro próximo gran modelo. El total de tokens necesarios para hallar soluciones a estos problemas costaría unos 2000 dólares con las tarifas de la API de Sol. Después, varias personas prepararon estos argumentos como manuscritos con el mismo modelo. A continuación, el modelo formalizó cada argumento en un certificado de Lean⁠(se abre en una ventana nueva). También publicamos, para cada solución, un relato elaborado por el modelo sobre su proceso de razonamiento.

1. Empaquetamiento de esferas en alta dimensión. Nuevas cotas superiores para la densidad de empaquetamiento de esferas hasta el umbral de Cohn–Elkies.
2. Códigos binarios y esféricos: cotas mejoradas exponencialmente para el tamaño máximo de los códigos binarios con cualquier distancia mínima prescrita, con resultados análogos para los códigos esféricos de alta dimensión.
3. Grupos no sóficos. Una construcción que demuestra la existencia de grupos no sóficos y aborda una cuestión abierta central de la teoría de grupos.
4. Conjetura de rigidez de Connes. Refutación de una antigua conjetura según la cual ciertos grupos están determinados de forma única por sus álgebras de von Neumann.
5. Complejidad de circuitos aritméticos. Nuevas cotas inferiores para calcular el permanente mediante circuitos y fórmulas aritméticos, incluida una cota inferior para fórmulas aritméticas de orden n⁴/log n.
6. Repetición paralela cuántica. Un teorema de repetición paralela exponencial para juegos cuánticos generales de dos jugadores, que amplía un principio fundamental de la teoría clásica de la complejidad.
7. Problema del vector más cercano. Dureza de aproximación por un factor polinómico para el problema del vector más cercano, una cuestión fundamental sobre retículos relacionada con la criptografía poscuántica.
8. Conjetura del volumen de Ehrhart. Determinación, en cualquier dimensión, del máximo volumen posible de un cuerpo convexo cuyo centroide sea su único punto reticular interior.
9. Números de Ramsey multicolor. Una cota inferior superexponencial para los números de Ramsey multicolor de triángulos, que resuelve el problema 183 de Erdős.
10. Conjeturas sobre números extremales. Resultados sobre las conjeturas de compacidad y degeneración en la teoría extremal de grafos, que resuelven los problemas 146 y 180 de Erdős.

La aparición de sistemas capaces de contribuir a la investigación matemática plantea preguntas que una empresa tecnológica no puede responder por sí sola. Existen muchas opiniones sobre el papel de la IA en las matemáticas, y respetamos y comprendemos profundamente a quienes se preocupan por su impacto, incluidos los firmantes de la Declaración de Leiden sobre IA y Matemáticas⁠(se abre en una ventana nueva). Creemos que la atribución debe reflejar con honestidad cómo se obtuvo un resultado: atribuir a personas la autoría de una demostración generada íntegramente por un sistema de IA falsearía tanto la contribución del sistema como la naturaleza del auténtico trabajo intelectual humano. Ayudamos a preparar los manuscritos y a formalizar las demostraciones en Lean, y asumimos la responsabilidad por su corrección, mientras que los argumentos matemáticos fueron generados por nuestro sistema. Esperamos que la comunidad matemática estudie estos resultados a fondo, los sitúe en su contexto y dé vida a las ideas que los sustentan mediante nuevas investigaciones y descubrimientos.

A medida que los sistemas de IA se convierten en colaboradores de investigación más sofisticados, garantizar un acceso amplio resulta esencial para apoyar a científicos y matemáticos mientras exploran y definen el futuro de sus disciplinas en esta era transformadora.