Sobre el problema del milenio de Navier–Stokes

Compartimos una solución al problema de existencia y regularidad de Navier–Stokes, uno de los problemas del milenio. Esta demostración, elaborada por un sistema interno de OpenAI, muestra que la dinámica de las ecuaciones de Navier–Stokes para el movimiento de fluidos puede desarrollar una singularidad en un tiempo finito. Compartimos tanto una exposición de la demostración como su formalización en Lean.

Los problemas del milenio⁠(se abre en una ventana nueva) representan algunas de las cuestiones más profundas de las matemáticas de vanguardia. La cuestión de si el movimiento regular de un fluido tridimensional puede dejar de serlo lleva unos 90 años sin resolverse.

Uno de los principales objetivos de nuestro trabajo es proporcionar a los científicos herramientas para impulsar investigaciones y tecnologías que beneficien a toda la humanidad. Para resolver el problema de Navier–Stokes, utilizamos un modelo interno con capacidades muy superiores a las de GPT‑6 Astra. Creemos que es importante informar al mundo sobre el ritmo al que avanza la IA y qué cabe esperar de los próximos modelos.

Las ecuaciones de Navier–Stokes emplean la segunda ley del movimiento de Newton («F=ma») para describir cómo se mueven los fluidos. Es importante señalar que tratan el fluido como un medio continuo, en lugar de seguir cada molécula por separado. Estas ecuaciones se utilizan para diseñar aeronaves, elaborar predicciones meteorológicas y estudiar el flujo sanguíneo.

Una cuestión fundamental aún sin resolver sobre estas ecuaciones dinámicas es si la aproximación del fluido como un medio continuo puede dejar de ser válida. En concreto, ¿pueden las ecuaciones de Navier–Stokes para un fluido tridimensional incompresible de densidad constante desarrollar una «singularidad», aunque el movimiento sea regular al principio? En este contexto, una singularidad significa que la dinámica provoca que la velocidad del fluido aumente sin límite en un intervalo finito de tiempo. La singularidad tendría que desarrollarse pese a la presencia de viscosidad, que tiende a suavizar el movimiento. Como un fluido real no puede moverse a una velocidad infinita, esto indicaría que las ecuaciones dejan de representar correctamente el fluido. Para seguir modelizando el sistema, habría que estudiar entonces el comportamiento de cada partícula por separado.

Las ecuaciones se remontan al trabajo realizado en el siglo XIX por Claude-Louis Navier y George Gabriel Stokes. En 1934, Jean Leray demostró que existen soluciones en un sentido generalizado, pero determinar si siempre conservan su regularidad se convirtió en una cuestión central aún sin respuesta. En 2000, el Clay Mathematics Institute incluyó el problema de existencia y regularidad de Navier–Stokes entre los siete problemas del milenio.

Nuestro sistema elaboró una demostración analítica y una formalización en Lean que prueban que un fluido inicialmente regular y en reposo puede desarrollar una singularidad en un tiempo finito. Se aplica una fuerza regular al fluido y su energía permanece finita durante toda la dinámica, desde el reposo hasta la formación de la singularidad. Esto resuelve el problema del milenio de Navier–Stokes al demostrar el enunciado «C» (y también el «D») de la formulación oficial de los problemas del milenio⁠(se abre en una ventana nueva).

La solución es un vórtice —un remolino giratorio de fluido— que forma una espiral hacia dentro y se alarga cada vez más, como un espagueti. Esta región central se contrae mientras acelera, pero lo hace de tal modo que su energía sigue siendo finita, como exigen las leyes de la física. El reto técnico consiste en que las ecuaciones desarrollen el fallo a través del propio movimiento del fluido, en lugar de introducir, por ejemplo, una fuerza infinita de forma artificial. En términos más matemáticos, los términos de las ecuaciones de Navier–Stokes que describen el movimiento —aceleración, gradientes de presión, transferencia de momento y viscosidad— deben hacerse grandes y, a la vez, cancelarse de forma precisa. Este delicado equilibrio mantiene regular la fuerza externa incluso cuando la velocidad del fluido aumenta sin límite.

Desde el 28 de agosto entrenamos un nuevo modelo interno que ha mostrado un rendimiento sin precedentes en nuestras evaluaciones, incluidas las de matemáticas. El entrenamiento de este modelo continúa, al igual que la mejora de su rendimiento.

El martes 1 de septiembre oímos rumores de que se habían resuelto dos problemas del milenio. Inspirados por esos rumores y por el salto de rendimiento de nuestro modelo interno, emprendimos una iniciativa para evaluarlo con todos los problemas del milenio aún abiertos y algunos otros de gran impacto.

Utilizamos un sistema de agentes coordinados impulsados por nuestro modelo interno. Los agentes tenían acceso a herramientas que les permitían, entre otras cosas, consultar una versión almacenada en caché de Internet y ejecutar código. Los agentes se dividieron en grupos cuyos integrantes podían comunicarse entre sí. Los grupos tenían distintos tamaños, y el que logró resolver Navier–Stokes contó con unos 10 000 agentes simultáneos. En todo momento mantuvimos las mismas salvaguardas estrictas que aplicamos a todas nuestras evaluaciones de modelos de vanguardia, incluidas la supervisión y el aislamiento.

Para cada problema, presentamos a distintos grupos de agentes variantes diferentes del enunciado, de modo que se abarcaran todas las versiones. Para el problema de Navier–Stokes, propusimos a distintos grupos de agentes las versiones «A» y «B» —formas concretas del problema que darían lugar a una demostración— y las versiones «C» y «D» —que permitirían refutarlo—.

Además de los problemas del milenio completos, pedimos a nuestro sistema multiagente que intentara resolver un conjunto de problemas «más fáciles». Uno de ellos planteaba una cuestión similar sobre la formación de singularidades en el límite del problema de Navier–Stokes tras eliminar el término de viscosidad. Se conoce como el problema de regularidad de las ecuaciones de Euler, y nuestros agentes nos sorprendieron al resolverlo. La variante concreta que resolvieron fue la versión sin forzamiento, en la que no se aplica ninguna fuerza externa al fluido. Casi 100 agentes colaboraron durante unas 50 horas para elaborar nuestra refutación de la regularidad de Euler¹.

Cuando vimos la solución de Euler, pensamos que Navier–Stokes era el problema más prometedor en el que trabajar. Por eso decidimos dedicar nuestros recursos a Navier–Stokes. Para ello, apartamos agentes de los demás problemas del milenio y les proporcionamos la resolución de Euler. Cuando durante el proyecto estuvo disponible una versión de nuestro modelo interno con más entrenamiento, actualizamos los agentes para que usaran ese modelo.

Animamos a los distintos grupos de agentes a explorar enfoques diversos. Tras un tiempo, propiciamos el intercambio de ideas entre los grupos de agentes mediante Codex, que consolidó las aportaciones más útiles de cada uno. Estas instrucciones de seguimiento se basaron en los resultados intermedios de los propios agentes. El grupo que encontró la solución de Navier–Stokes recibió orientación de este modo.

Los agentes alcanzaron la solución el sábado 5 de septiembre, unas 88 horas después de iniciar los primeros agentes. La formalización y verificación en Lean mediante GPT‑6 Astra requirieron otras 17 horas.

En el conjunto de todos los problemas abordados, los agentes enviaron 4,9 millones de mensajes y utilizaron unos 300 000 millones de tokens de salida. Durante la resolución del problema de Navier–Stokes, los agentes enviaron 2,7 millones de mensajes y utilizaron aproximadamente 130 000 millones de tokens de salida.

Nuestra iniciativa comenzó el 1 de septiembre tras oír un rumor que más tarde supimos que estaba relacionado con Levent Alpöge, empleado de Anthropic, y Tristan Buckmaster, profesor de matemáticas en la Universidad de Nueva York.² Tras concluir nuestro proyecto completo y la verificación en Lean el 6 de septiembre, y creyendo por el rumor que ellos también habían resuelto Navier–Stokes, nos pusimos en contacto para proponerles publicar nuestros resultados a la vez y reconocer su prioridad en un anuncio conjunto. Entonces descubrimos que habían utilizado un modelo interno de Anthropic para resolver el problema de Euler con forzamiento. Durante estas conversaciones les ofrecimos acceso a todas las instrucciones que habíamos utilizado y, más tarde, a la demostración. Reconocemos la prioridad de su trabajo sobre Euler con forzamiento y los felicitamos por su extraordinario logro matemático.

Nosotros —los investigadores y los agentes— no tuvimos acceso por ningún medio a su trabajo hasta que lo hicieron público; en particular, no se consultaron datos específicos de usuarios para resolver este problema.

Tras una investigación, hemos confirmado que las instrucciones de Buckmaster a Codex durante los dos meses anteriores a este anuncio y al artículo del 8 de septiembre de 2026 no pudieron influir en modo alguno en el sistema, ni siquiera a través del entrenamiento. El modelo interno de OpenAI empleado para obtener este resultado se desarrolló mediante aprendizaje por refuerzo a gran escala a partir de un modelo preentrenado anteriormente. Nuestras demostraciones también difieren de manera significativa. En el caso de Euler, Alpöge y Buckmaster demostraron un resultado con forzamiento externo, mientras que el sistema de OpenAI demostró otro sin forzamiento externo.

Nuestro objetivo al publicar este resultado es informar de los importantes avances de nuestros modelos de IA. No tenemos intención de reclamar el premio del milenio por este resultado.

Este hito refleja un importante trabajo de matemáticos e investigadores de IA. Sin embargo, no supone la culminación del desarrollo de la IA, sino una instantánea de su progreso en un momento concreto.

Creemos que hemos entrado en la siguiente etapa del progreso de la IA⁠, y los resultados de hoy aportan más pruebas de ello. Nos centramos en comprender este modelo y en aplicar lo aprendido para orientar y ajustar el ritmo con el que buscamos nuevos avances en sus capacidades. Uno de nuestros objetivos principales⁠ es crear sistemas de IA orientables, responsables y conectados con las personas. Esto puede exigir decisiones más deliberadas sobre el ritmo de progreso mientras proseguimos nuestra misión de garantizar que la IAG beneficie a toda la humanidad.