Diez avances en matemáticas e informática teórica

Queremos brindar a científicos y matemáticos herramientas que aceleren los descubrimientos. Por eso, recientemente anunciamos ChatGPT para investigadores académicos⁠, una iniciativa que ofrece a 100 000 científicos y matemáticos acceso gratuito a nuestros mejores modelos de ChatGPT. También seguimos evaluando nuestros modelos con problemas de investigación abiertos durante su desarrollo.

En mayo, presentamos una refutación generada por IA⁠ de la conjetura de Erdős sobre distancias unitarias, descubierta mientras evaluábamos un modelo aún no publicado. Este trabajo ya ha inspirado nuevos avances en matemáticas e informática teórica¹. Hoy presentamos una selección de diez resultados, cada uno de los cuales resuelve un problema abierto de larga data o logra avances sustanciales en él. Estos problemas abarcan la geometría de altas dimensiones, la teoría de códigos, la complejidad de circuitos aritméticos, la teoría de grupos, las álgebras de operadores, la complejidad cuántica, la criptografía basada en retículas y la combinatoria extremal. Todos estos problemas son de gran interés para sus respectivas comunidades matemáticas, y varios tienen un amplio interés para las matemáticas en su conjunto.

Presentamos nuevos resultados para los siguientes problemas. Los resultados se obtuvieron con una versión interna de Astra, nuestro próximo gran modelo. La cantidad total de tokens necesarios para encontrar soluciones a estos problemas costaría aproximadamente USD 2000 con las tarifas de la API de Sol. Luego, personas prepararon estos argumentos como manuscritos con el mismo modelo. Después, el modelo formalizó cada argumento en un certificado de Lean⁠(se abre en una nueva ventana). También publicamos, para cada solución, una narración del modelo sobre su proceso de razonamiento.

1. Empaquetamiento de esferas en altas dimensiones. Nuevas cotas superiores para la densidad del empaquetamiento de esferas hasta el umbral de Cohn–Elkies.
2. Códigos binarios y esféricos: cotas mejoradas exponencialmente para el tamaño máximo de los códigos binarios con cualquier distancia mínima prescrita, con resultados análogos para códigos esféricos de altas dimensiones.
3. Grupos no sóficos. Una construcción que demuestra la existencia de grupos no sóficos y aborda una cuestión abierta central de la teoría de grupos.
4. Conjetura de rigidez de Connes. Refutación de una conjetura de larga data según la cual ciertos grupos están determinados de forma única por sus álgebras de von Neumann.
5. Complejidad de circuitos aritméticos. Nuevas cotas inferiores para calcular el permanente mediante circuitos y fórmulas aritméticas, incluida una cota inferior de orden n⁴/log n para fórmulas aritméticas.
6. Repetición paralela cuántica. Un teorema de repetición paralela exponencial para juegos cuánticos generales de dos jugadores, que amplía un principio fundamental de la teoría clásica de la complejidad.
7. Problema del vector más cercano. Dificultad de aproximación con un factor polinómico para el problema del vector más cercano, una cuestión fundamental sobre retículas relacionada con la criptografía poscuántica.
8. Conjetura del volumen de Ehrhart. Determinación, en todas las dimensiones, del máximo volumen posible de un cuerpo convexo cuyo centroide es su único punto reticular interior.
9. Números de Ramsey multicolores. Una cota inferior superexponencial para los números de Ramsey multicolores de triángulos, que resuelve el problema 183 de Erdős.
10. Conjeturas sobre números extremales. Resultados sobre las conjeturas de compacidad y degeneración en la teoría extremal de grafos, que resuelven los problemas 146 y 180 de Erdős.

La aparición de sistemas capaces de contribuir a la investigación matemática plantea preguntas que una empresa tecnológica no puede responder por sí sola. Hay muchas posturas sobre el papel de la IA en las matemáticas, y respetamos profundamente y comprendemos a quienes se preocupan por su impacto, incluidos los firmantes de la Declaración de Leiden sobre la IA y las matemáticas⁠(se abre en una nueva ventana). Creemos que la atribución debe reflejar con honestidad cómo se obtuvo un resultado: atribuir autoría humana a una demostración generada íntegramente por un sistema de IA tergiversaría tanto la contribución del sistema como la naturaleza del auténtico trabajo intelectual humano. Ayudamos a preparar los manuscritos y a formalizar las demostraciones en Lean, y asumimos la responsabilidad por su corrección, mientras que nuestro sistema generó los argumentos matemáticos. Esperamos que la comunidad matemática examine estos resultados a fondo, los sitúe en contexto y dé vida a las ideas que los sustentan mediante nuevas investigaciones y descubrimientos.

A medida que los sistemas de IA evolucionan y se convierten en colaboradores de investigación más sofisticados, garantizar un acceso amplio es fundamental para apoyar a científicos y matemáticos mientras exploran y definen el futuro de sus disciplinas en esta era de transformación.