Δέκα εξελίξεις στα μαθηματικά και στη θεωρητική επιστήμη υπολογιστών

Θέλουμε να προσφέρουμε σε επιστήμονες και μαθηματικούς εργαλεία που επιταχύνουν τις ανακαλύψεις. Γι’ αυτό ανακοινώσαμε πρόσφατα το ChatGPT για Ακαδημαϊκούς Ερευνητές⁠, μια πρωτοβουλία που παρέχει σε 100.000 επιστήμονες και μαθηματικούς δωρεάν πρόσβαση στα καλύτερα μοντέλα ChatGPT που διαθέτουμε. Παράλληλα, κατά την ανάπτυξή τους συνεχίζουμε να αξιολογούμε τα μοντέλα μας πάνω σε ανοικτά ερευνητικά προβλήματα.

Τον Μάιο παρουσιάσαμε μια ανασκευή που δημιουργήθηκε από ΤΝ⁠ για την εικασία των μοναδιαίων αποστάσεων του Erdős, η οποία ανακαλύφθηκε κατά την αξιολόγηση ενός μοντέλου που δεν είχε κυκλοφορήσει. Αυτό το έργο έχει ήδη δώσει το έναυσμα για περαιτέρω εξελίξεις στα μαθηματικά και στη θεωρητική επιστήμη υπολογιστών¹. Σήμερα παρουσιάζουμε δέκα επιλεγμένα αποτελέσματα, καθένα από τα οποία επιλύει ή σημειώνει ουσιαστική πρόοδο σε ένα μακροχρόνιο ανοικτό πρόβλημα. Τα προβλήματα αυτά καλύπτουν τη γεωμετρία υψηλών διαστάσεων, τη θεωρία κωδίκων, την πολυπλοκότητα αριθμητικών κυκλωμάτων, τη θεωρία ομάδων, τις άλγεβρες τελεστών, την κβαντική πολυπλοκότητα, την κρυπτογραφία πλεγμάτων και την εξτρεμική συνδυαστική. Όλα αυτά τα προβλήματα παρουσιάζουν σημαντικό ενδιαφέρον για τις αντίστοιχες μαθηματικές κοινότητες, ενώ αρκετά έχουν ευρύτερο ενδιαφέρον για το σύνολο των μαθηματικών.

Παρουσιάζουμε νέα αποτελέσματα για τα ακόλουθα προβλήματα. Τα αποτελέσματα επιτεύχθηκαν από μια εσωτερική έκδοση του Astra, του επόμενου σημαντικού μοντέλου μας. Το συνολικό κόστος των token που απαιτήθηκαν για εύρεση λύσεων σε αυτά τα προβλήματα θα ανερχόταν περίπου σε 2.000 δολάρια, βάσει των τιμών του Sol API. Στη συνέχεια, άνθρωποι μετέτρεψαν αυτά τα επιχειρήματα σε επιστημονικά άρθρα, χρησιμοποιώντας το ίδιο μοντέλο. Έπειτα, το μοντέλο τυποποίησε κάθε επιχείρημα σε ένα πιστοποιητικό Lean⁠(ανοίγει σε νέο παράθυρο). Δημοσιεύουμε επίσης, για κάθε λύση, την περιγραφή της διαδικασίας συλλογιστικής από ένα μοντέλο.

1. Συσκευασία σφαιρών υψηλών διαστάσεων. Νέα άνω φράγματα για την πυκνότητα συσκευασίας σφαιρών έως το κατώφλι Cohn–Elkies.
2. Δυαδικοί και σφαιρικοί κώδικες: Εκθετικά βελτιωμένα φράγματα για το μέγιστο μέγεθος δυαδικών κωδίκων σε οποιαδήποτε προκαθορισμένη ελάχιστη απόσταση, με ανάλογα αποτελέσματα για σφαιρικούς κώδικες υψηλών διαστάσεων.
3. Μη σοφικές ομάδες. Μια κατασκευή που αποδεικνύει την ύπαρξη μη σοφικών ομάδων, απαντώντας σε ένα κεντρικό ανοικτό ερώτημα της θεωρίας ομάδων.
4. Η εικασία ακαμψίας του Connes. Ανασκευή μιας μακροχρόνιας εικασίας σύμφωνα με την οποία ορισμένες ομάδες προσδιορίζονται μονοσήμαντα από τις άλγεβρες von Neumann.
5. Πολυπλοκότητα αριθμητικών κυκλωμάτων. Νέα κάτω φράγματα για υπολογισμό της ορίζουσας κατά μεταθέσεις με αριθμητικά κυκλώματα και τύπους, μεταξύ των οποίων ένα κάτω φράγμα αριθμητικών τύπων τάξης n⁴/log n.
6. Κβαντική παράλληλη επανάληψη. Ένα θεώρημα εκθετικής παράλληλης επανάληψης για γενικά κβαντικά παιχνίδια δύο παικτών, το οποίο επεκτείνει μια θεμελιώδη αρχή της κλασικής θεωρίας πολυπλοκότητας.
7. Πρόβλημα του πλησιέστερου διανύσματος. Δυσκολία προσέγγισης κατά πολυωνυμικό παράγοντα για το πρόβλημα του πλησιέστερου διανύσματος, ένα θεμελιώδες πρόβλημα πλεγμάτων που σχετίζεται με τη μετακβαντική κρυπτογραφία.
8. Η εικασία όγκου του Ehrhart. Προσδιορισμός, σε κάθε διάσταση, του μέγιστου δυνατού όγκου ενός κυρτού σώματος του οποίου το κέντρο βάρους είναι το μοναδικό εσωτερικό σημείο πλέγματος.
9. Πολύχρωμοι αριθμοί Ramsey. Ένα υπερεκθετικό κάτω φράγμα για τους πολύχρωμους τριγωνικούς αριθμούς Ramsey, που επιλύει το πρόβλημα 183 του Erdős.
10. Εικασίες εξτρεμικών αριθμών. Αποτελέσματα για τις εικασίες συμπάγειας και εκφυλισμού στην εξτρεμική θεωρία γραφημάτων, τα οποία επιλύουν τα προβλήματα 146 και 180 του Erdős.

Η εμφάνιση συστημάτων ικανών να συμβάλλουν στη μαθηματική έρευνα εγείρει ερωτήματα που δεν μπορεί να απαντήσει μόνη της μια εταιρεία τεχνολογίας. Υπάρχουν πολλές απόψεις για τον ρόλο της ΤΝ στα μαθηματικά και σεβόμαστε βαθιά και κατανοούμε όσους ανησυχούν για τον αντίκτυπό της, συμπεριλαμβανομένων όσων υπέγραψαν τη Διακήρυξη του Λέιντεν για την ΤΝ και τα Μαθηματικά⁠(ανοίγει σε νέο παράθυρο). Πιστεύουμε ότι η απόδοση της πατρότητας πρέπει να αντικατοπτρίζει με ειλικρίνεια τον τρόπο παραγωγής ενός αποτελέσματος: η παρουσίαση μιας απόδειξης που δημιουργήθηκε εξ ολοκλήρου από σύστημα ΤΝ ως ανθρώπινου έργου θα παραποιούσε τόσο τη συμβολή του συστήματος όσο και τη φύση της γνήσιας ανθρώπινης διανοητικής εργασίας. Βοηθήσαμε στην προετοιμασία των επιστημονικών άρθρων και στην τυποποίηση των αποδείξεων στο Lean και αναλαμβάνουμε την ευθύνη για την ορθότητά τους, ενώ τα ίδια τα μαθηματικά επιχειρήματα δημιουργήθηκαν από το σύστημά μας. Ελπίζουμε ότι η μαθηματική κοινότητα θα μελετήσει σε βάθος αυτά τα αποτελέσματα, θα τα εντάξει στο ευρύτερο πλαίσιό τους και θα αξιοποιήσει τις ιδέες τους μέσα από νέες έρευνες και ανακαλύψεις.

Καθώς τα συστήματα ΤΝ εξελίσσονται σε πιο προηγμένους ερευνητικούς συνεργάτες, η διασφάλιση ευρείας πρόσβασης είναι θεμελιώδης για στήριξη των επιστημόνων και των μαθηματικών καθώς προσανατολίζονται και διαμορφώνουν το μέλλον των κλάδων τους σε αυτή τη μεταμορφωτική εποχή.