Για το Πρόβλημα του βραβείου της χιλιετίας Navier–Stokes

Παρουσιάζουμε μια λύση στο μαθηματικό πρόβλημα ύπαρξης και ομαλότητας Navier–Stokes, ένα από τα Προβλήματα του βραβείου της χιλιετίας. Αυτή η απόδειξη, την οποία παρήγαγε ένα εσωτερικό σύστημα της OpenAI, δείχνει ότι η δυναμική των εξισώσεων Navier–Stokes για την κίνηση των ρευστών μπορεί να εμφανίσει ανωμαλία σε πεπερασμένο χρόνο. Παρουσιάζουμε τόσο την αναλυτική περιγραφή της απόδειξης όσο και μια τυπική διατύπωσή της σε Lean.

Τα Προβλήματα του βραβείου της χιλιετίας⁠(ανοίγει σε νέο παράθυρο) συγκαταλέγονται στα βαθύτερα ερωτήματα της σύγχρονης μαθηματικής έρευνας. Το ερώτημα αν μπορεί να καταρρεύσει η ομαλή τρισδιάστατη κίνηση ενός ρευστού παραμένει αναπάντητο εδώ και περίπου 90 χρόνια.

Βασικός στόχος του έργου μας είναι να δώσουμε στους επιστήμονες τη δυνατότητα να προωθούν την έρευνα και την τεχνολογία προς όφελος ολόκληρης της ανθρωπότητας. Για να επιλύσουμε το μαθηματικό πρόβλημα Navier–Stokes, χρησιμοποιήσαμε ένα εσωτερικό μοντέλο με σημαντικά μεγαλύτερες δυνατότητες από το GPT‑6 Astra. Πιστεύουμε ότι είναι σημαντικό να ενημερώνουμε τον κόσμο για τον ρυθμό προόδου της ΤΝ και για όσα μπορεί να αναμένει από τα επερχόμενα μοντέλα.

Οι εξισώσεις Navier–Stokes χρησιμοποιούν τον δεύτερο νόμο κίνησης του Νεύτωνα («F=ma») για να περιγράψουν την κίνηση των ρευστών. Το σημαντικό είναι ότι αντιμετωπίζουν το ρευστό ως συνεχές μέσο, αντί να παρακολουθούν κάθε μόριο χωριστά. Οι εξισώσεις αυτές χρησιμοποιούνται στον σχεδιασμό αεροσκαφών, στην πρόγνωση του καιρού και στη μελέτη της ροής του αίματος.

Ένα θεμελιώδες ανοικτό ερώτημα για αυτές τις δυναμικές εξισώσεις είναι αν μπορεί να καταρρεύσει η προσέγγιση του ρευστού ως συνεχούς μέσου. Συγκεκριμένα, μπορούν οι εξισώσεις Navier–Stokes για ένα τρισδιάστατο ασυμπίεστο ρευστό σταθερής πυκνότητας να εμφανίσουν μια «ανωμαλία», ακόμη και όταν η κίνηση αρχίζει ομαλά; Εδώ, ανωμαλία σημαίνει ότι η δυναμική οδηγεί τις ταχύτητες του ρευστού να αυξάνονται χωρίς όριο μέσα σε πεπερασμένο χρονικό διάστημα. Η εμφάνιση μιας ανωμαλίας θα έπρεπε να συμβεί παρά την παρουσία του ιξώδους, το οποίο τείνει να εξομαλύνει την κίνηση. Επειδή ένα πραγματικό ρευστό δεν μπορεί να κινείται με άπειρη ταχύτητα, αυτό θα σήμαινε ότι οι εξισώσεις παύουν να μοντελοποιούν σωστά το ρευστό. Για να συνεχιστεί η μοντελοποίηση του συστήματος, θα έπρεπε τότε να παρακολουθείται χωριστά η συμπεριφορά κάθε σωματιδίου.

Οι εξισώσεις ανάγονται στο έργο του 19ου αιώνα των Claude-Louis Navier και George Gabriel Stokes. Το 1934, ο Jean Leray απέδειξε ότι υπάρχουν λύσεις με γενικευμένη έννοια, ωστόσο το αν παραμένουν πάντοτε ομαλές εξελίχθηκε σε ένα κεντρικό αναπάντητο ερώτημα. Το 2000, το Clay Mathematics Institute χαρακτήρισε το πρόβλημα ύπαρξης και ομαλότητας Navier–Stokes ως ένα από τα επτά μαθηματικά Προβλήματα του βραβείου της χιλιετίας.

Το σύστημά μας παρήγαγε μια αναλυτική απόδειξη και μια τυπική διατύπωση σε Lean ότι ένα αρχικά ομαλό και ακίνητο ρευστό μπορεί να εμφανίσει ανωμαλία σε πεπερασμένο χρόνο. Στο ρευστό ασκείται ομαλή δύναμη και η ενέργειά του παραμένει πεπερασμένη σε όλη τη δυναμική εξέλιξη, από την ακινησία έως τον σχηματισμό της ανωμαλίας. Έτσι επιλύεται το μαθηματικό Πρόβλημα Navier–Stokes του βραβείου της χιλιετίας, καθώς αποδεικνύεται η πρόταση «C» (καθώς και η «D») στην επίσημη διατύπωση του Βραβείου της χιλιετίας⁠(ανοίγει σε νέο παράθυρο).

Η λύση είναι μια δίνη, δηλαδή ένας περιστρεφόμενος στροβιλισμός ρευστού, που κινείται σπειροειδώς προς τα μέσα και επιμηκύνεται ολοένα περισσότερο, σαν μακαρόνι. Αυτή η κεντρική περιοχή συρρικνώνεται καθώς επιταχύνεται, με τρόπο ώστε η ενέργειά της να παραμένει πεπερασμένη, όπως απαιτούν οι νόμοι της φυσικής. Η τεχνική πρόκληση είναι η κατάρρευση να προκύψει στις εξισώσεις από την ίδια την κίνηση του ρευστού και όχι, για παράδειγμα, από την τεχνητή εισαγωγή μιας άπειρης δύναμης. Με πιο μαθηματικούς όρους, οι όροι των εξισώσεων Navier–Stokes που περιγράφουν την κίνηση —επιτάχυνση, κλίσεις πίεσης, μεταφορά ορμής, ιξώδες— πρέπει να γίνουν μεγάλοι, αλλά ταυτόχρονα να αλληλοαναιρούνται με ακριβή τρόπο. Αυτή η λεπτή ισορροπία διατηρεί ομαλή την εξωτερική δύναμη, ακόμη και όταν η ταχύτητα του ρευστού αυξάνεται χωρίς όριο.

Από τις 28 Αυγούστου εκπαιδεύουμε ένα νέο εσωτερικό μοντέλο, το οποίο έχει επιδείξει πρωτοφανείς επιδόσεις στις δοκιμές αναφοράς μας, μεταξύ άλλων και στα μαθηματικά. Η εκπαίδευση αυτού του μοντέλου συνεχίζεται και οι επιδόσεις του εξακολουθούν να βελτιώνονται.

Την Τρίτη 1 Σεπτεμβρίου ακούσαμε φήμες ότι είχαν επιλυθεί δύο Προβλήματα του βραβείου της χιλιετίας. Με αφορμή αυτές τις φήμες και το άλμα στις επιδόσεις του εσωτερικού μοντέλου μας, αρχίσαμε μια προσπάθεια αξιολόγησής του σε όλα τα ανοικτά Προβλήματα του βραβείου της χιλιετίας και σε μερικά ακόμη προβλήματα υψηλού αντίκτυπου.

Χρησιμοποιήσαμε ένα σύστημα συντονισμένων πρακτόρων που λειτουργούσαν με το εσωτερικό μοντέλο μας. Οι πράκτορες είχαν πρόσβαση σε εργαλεία, όπως η δυνατότητα ανάγνωσης μιας αποθηκευμένης έκδοσης του διαδικτύου και η εκτέλεση κώδικα. Οι πράκτορες χωρίστηκαν σε ομάδες, με δυνατότητα επικοινωνίας μεταξύ των μελών κάθε ομάδας. Οι ομάδες διέφεραν ως προς το μέγεθος, ενώ εκείνη που παρήγαγε τη λύση του Navier–Stokes περιλάμβανε περίπου 10.000 πράκτορες που εργάζονταν ταυτόχρονα. Διατηρήσαμε ανά πάσα στιγμή τις ίδιες αυστηρές δικλίδες ασφαλείας που εφαρμόζουμε σε όλες τις αξιολογήσεις κορυφαίων μοντέλων, συμπεριλαμβανομένων της παρακολούθησης και της απομόνωσης.

Για κάθε πρόβλημα, δώσαμε σε διαφορετικές ομάδες πρακτόρων διαφορετικές παραλλαγές της διατύπωσής του, καλύπτοντας όλες τις εκδοχές του. Για το πρόβλημα Navier–Stokes, αναθέσαμε σε ξεχωριστές ομάδες πρακτόρων τις εκδοχές «A» και «B» (συγκεκριμένες μορφές του προβλήματος Navier–Stokes που θα οδηγούσαν σε απόδειξη) και τις εκδοχές «C» και «D» (που θα οδηγούσαν σε διάψευση).

Πέρα από τα πλήρη Προβλήματα του βραβείου της χιλιετίας, ζητήσαμε από το πολυπρακτορικό σύστημά μας να δοκιμάσει επίσης ένα σύνολο «ευκολότερων» προβλημάτων. Ένα από αυτά ήταν ένα παρόμοιο ερώτημα εμφάνισης ανωμαλίας για το όριο του μαθηματικού προβλήματος Navier–Stokes μετά την αφαίρεση του όρου του ιξώδους. Αυτό είναι γνωστό ως πρόβλημα ομαλότητας των εξισώσεων Euler και οι πράκτορές μας μάς εξέπληξαν επιλύοντάς το. Η συγκεκριμένη εκδοχή του ερωτήματος που έλυσαν ήταν η χωρίς εξωτερική δύναμη, όπου δεν ασκείται καμία εξωτερική δύναμη στο ρευστό. Σχεδόν 100 πράκτορες συνεργάστηκαν επί περίπου 50 ώρες για να παραγάγουν τη διάψευση της ομαλότητας Euler¹.

Μόλις είδαμε τη λύση Euler, θεωρήσαμε ότι το Navier–Stokes ήταν το πιο ελπιδοφόρο μαθηματικό πρόβλημα για να επικεντρωθούμε σε αυτό. Αποφασίσαμε, λοιπόν, να αφιερώσουμε τους πόρους μας στο Navier–Stokes. Για τον σκοπό αυτό, μετακινήσαμε πράκτορες από τα άλλα Προβλήματα της χιλιετίας και τους δώσαμε ως προτροπή τη λύση Euler. Όταν, στη διάρκεια της προσπάθειας, έγινε διαθέσιμη μια περαιτέρω εκπαιδευμένη έκδοση του εσωτερικού μοντέλου μας, ενημερώσαμε τους πράκτορές μας ώστε να χρησιμοποιούν αυτό το μοντέλο.

Ενθαρρύναμε διαφορετικές ομάδες πρακτόρων να εξερευνήσουν ποικίλες προσεγγίσεις. Έπειτα από κάποιο διάστημα, ενισχύσαμε την ανταλλαγή ιδεών μεταξύ των ομάδων πρακτόρων, χρησιμοποιώντας το Codex για να συνθέσουμε τα χρησιμότερα ευρήματα κάθε ομάδας. Αυτές οι συμπληρωματικές προτροπές βασίστηκαν στα ενδιάμεσα αποτελέσματα των ίδιων των πρακτόρων. Με αυτόν τον τρόπο καθοδηγήθηκε η ομάδα που βρήκε τη λύση του Navier–Stokes.

Οι πράκτορες κατέληξαν στη λύση τους το Σάββατο 5 Σεπτεμβρίου, περίπου 88 ώρες μετά την έναρξη λειτουργίας των πρώτων πρακτόρων. Η τυπική διατύπωση και η επαλήθευση σε Lean χρειάστηκαν επιπλέον 17 ώρες μέσω του GPT‑6 Astra.

Σε όλα τα μαθηματικά προβλήματα που επιχειρήθηκαν, οι πράκτορες έστειλαν 4,9 εκατομμύρια μηνύματα και χρησιμοποίησαν περίπου 300 δισεκατομμύρια διακριτικά εξόδου. Κατά την επίλυση του μαθηματικού προβλήματος Navier–Stokes, οι πράκτορες έστειλαν 2,7 εκατομμύρια μηνύματα και χρησιμοποίησαν περίπου 130 δισεκατομμύρια διακριτικά εξόδου.

Η προσπάθειά μας ξεκίνησε την 1η Σεπτεμβρίου, αφού ακούσαμε μια φήμη που αργότερα καταλάβαμε ότι αφορούσε τον Levent Alpöge, εργαζόμενο της Anthropic, και τον Tristan Buckmaster, καθηγητή μαθηματικών στο NYU.² Μετά την ολοκλήρωση του συνολικού έργου μας και της επαλήθευσης σε Lean (στις 6 Σεπτεμβρίου), πιστεύοντας βάσει της φήμης ότι είχαν κι εκείνοι μια λύση για το πρόβλημα Navier–Stokes, επικοινωνήσαμε μαζί τους και προτείναμε την ταυτόχρονη δημοσίευση του αποτελέσματός μας και την αναγνώριση της προτεραιότητάς τους σε κοινή ανακοίνωση. Τότε μάθαμε ότι, χρησιμοποιώντας ένα εσωτερικό μοντέλο της Anthropic, είχαν επιλύσει το πρόβλημα Euler με εξωτερική δύναμη. Στις συζητήσεις αυτές, τους προσφέραμε πρόσβαση σε όλες τις προτροπές που χρησιμοποιήσαμε και, αργότερα, τη δυνατότητα να δουν την απόδειξη. Αναγνωρίζουμε την προτεραιότητα του έργου τους για το πρόβλημα Euler με εξωτερική δύναμη και τους συγχαίρουμε για το αξιοσημείωτο μαθηματικό επίτευγμά τους.

Εμείς (οι ερευνητές και οι πράκτορες) δεν είχαμε δει με κανέναν τρόπο μέρος της εργασίας τους προτού τη δημοσιοποιήσουν — ειδικότερα, δεν αποκτήθηκε πρόσβαση σε συγκεκριμένα δεδομένα χρηστών για την επίλυση αυτού του μαθηματικού προβλήματος.

Έπειτα από έρευνα, επιβεβαιώσαμε ότι οι προτροπές του Buckmaster στο Codex κατά τους δύο μήνες πριν από αυτήν την ανακοίνωση και τη δημοσίευση της εργασίας στις 8 Σεπτεμβρίου 2026 δεν θα μπορούσαν να έχουν επηρεάσει το σύστημα με κανέναν τρόπο, ούτε μέσω της εκπαίδευσης. Το εσωτερικό μοντέλο της OpenAI που χρησιμοποιήθηκε γι' αυτό το αποτέλεσμα αναπτύχθηκε μέσω ενισχυτικής μάθησης μεγάλης κλίμακας πάνω σε ένα ήδη προεκπαιδευμένο μοντέλο. Οι αποδείξεις μας διαφέρουν επίσης σημαντικά. Στην περίπτωση Euler, οι Alpöge και Buckmaster απέδειξαν ένα αποτέλεσμα με εξωτερική δύναμη, ενώ το σύστημα της OpenAI απέδειξε ένα αποτέλεσμα χωρίς εξωτερική δύναμη.

Ο στόχος μας με τη δημοσίευση αυτού του αποτελέσματος είναι να ενημερώσουμε για τη σημαντική πρόοδο των μοντέλων ΤΝ που διαθέτουμε. Δεν σκοπεύουμε να διεκδικήσουμε το Βραβείο της χιλιετίας για αυτό το αποτέλεσμα.

Αυτό το ορόσημο αντιπροσωπεύει σημαντικό έργο μαθηματικών και ερευνητών ΤΝ. Ωστόσο, δεν αποτελεί το αποκορύφωμα, αλλά ένα στιγμιότυπο της προόδου στην ανάπτυξη της ΤΝ τη δεδομένη χρονική στιγμή.

Πιστεύουμε ότι έχουμε πλέον περάσει στην επόμενη περίοδο προόδου της ΤΝ⁠ και τα σημερινά αποτελέσματα προσφέρουν επιπλέον ενδείξεις γι’ αυτό. Εστιάζουμε στην κατανόηση αυτού του μοντέλου και αξιοποιούμε όσα μαθαίνουμε για να καθοδηγήσουμε και να ορίσουμε τον ρυθμό με τον οποίον επιδιώκουμε περαιτέρω πρόοδο στις δυνατότητες. Ένας από τους βασικούς στόχους⁠ μας είναι να δημιουργούμε συστήματα ΤΝ που μπορούν να καθοδηγούνται, λογοδοτούν και παραμένουν συνδεδεμένα με τους ανθρώπους. Αυτό ενδέχεται να απαιτεί πιο συνειδητές επιλογές ως προς τον ρυθμό της προόδου, καθώς συνεχίζουμε την αποστολή μας να διασφαλίσουμε ότι η AGI ωφελεί το σύνολο της ανθρωπότητας.