Deset pokroků v matematice a teoretické informatice

Chceme vědcům a matematikům poskytnout nástroje, které urychlí objevy. Proto jsme nedávno oznámili iniciativu ChatGPT pro akademické výzkumníky⁠, která 100 000 vědců a matematiků bezplatně zpřístupní naše nejlepší modely ChatGPT. Naše modely během vývoje také nadále hodnotíme na nevyřešených výzkumných problémech.

V květnu jsme zveřejnili vyvrácení vytvořené AI⁠ pro Erdősovu hypotézu o jednotkových vzdálenostech, které vzniklo při posuzování dosud nevydaného modelu. Tato práce již podnítila další rozvoj matematiky a teoretické informatiky¹. Dnes představujeme deset výsledků, z nichž každý řeší některý dlouhodobě nevyřešený problém nebo v jeho řešení přináší podstatný pokrok. Tyto problémy zahrnují vysokodimenzionální geometrii, teorii kódování, teorii složitosti aritmetických obvodů, teorii grup, operátorové algebry, teorii kvantové složitosti, mřížkovou kryptografii a extremální kombinatoriku. Všechny tyto problémy jsou velmi významné pro příslušné matematické obory a několik z nich má široký význam pro matematiku jako celek.

Přinášíme nové výsledky k následujícím problémům. Výsledků dosáhla interní verze Astry, našeho příštího významného modelu. Celkový počet tokenů potřebných k nalezení řešení těchto problémů by při cenách rozhraní Sol API stál přibližně 2 000 dolarů. Lidé pak s pomocí stejného modelu zpracovali tyto argumenty do podoby rukopisů. Model následně každý argument formalizoval jako certifikát v systému Lean⁠(otevře se v novém okně). Ke každému řešení také zveřejňujeme popis procesu uvažování modelu.

1. Uspořádání koulí ve vysokých dimenzích. Nové horní meze hustoty uspořádání koulí až po Cohnovu–Elkiesovu mez.
2. Binární a sférické kódy: Exponenciálně lepší meze maximální velikosti binárních kódů při libovolné předepsané minimální vzdálenosti a obdobné výsledky pro vysokodimenzionální sférické kódy.
3. Nesofické grupy. Konstrukce dokazující existenci nesofických grup, která řeší jednu z ústředních nevyřešených otázek teorie grup.
4. Connesova hypotéza rigidity. Vyvrácení dlouholeté hypotézy, podle níž jsou určité grupy jednoznačně určeny svými von Neumannovými algebrami.
5. Složitost aritmetických obvodů. Nové dolní meze pro výpočet permanentu pomocí aritmetických obvodů a formulí, včetně dolní meze řádu n⁴/log n pro aritmetické formule.
6. Kvantové paralelní opakování. Věta o exponenciálním paralelním opakování pro obecné kvantové hry dvou hráčů, která rozšiřuje základní princip klasické teorie složitosti.
7. Problém nejbližšího vektoru. Obtížnost aproximace problému nejbližšího vektoru v polynomiálním faktoru, tedy zásadní otázky teorie mříží související s postkvantovou kryptografií.
8. Ehrhartova hypotéza o objemu. Určení maximálního možného objemu konvexního tělesa v každé dimenzi, jehož těžiště je jeho jediným vnitřním mřížovým bodem.
9. Vícebarevná Ramseyova čísla. Superexponenciální dolní mez vícebarevných Ramseyových čísel pro trojúhelníky, která řeší Erdősův problém 183.
10. Hypotézy o extremálních číslech. Výsledky týkající se hypotéz kompaktnosti a degenerace v extremální teorii grafů, které řeší Erdősovy problémy 146 a 180.

Vznik systémů schopných přispívat k matematickému výzkumu vyvolává otázky, na které nemůže technologická firma odpovědět sama. Na úlohu AI v matematice existuje mnoho názorů. Hluboce respektujeme a chápeme ty, kdo mají obavy z jejího dopadu, včetně signatářů Leidenské deklarace o AI a matematice⁠(otevře se v novém okně). Jsme přesvědčeni, že uvedení autorství by mělo pravdivě odrážet způsob vzniku výsledku: připisovat člověku autorství důkazu, který celý vytvořil systém AI, by zkreslovalo jak přínos systému, tak povahu skutečné lidské intelektuální práce. Pomohli jsme připravit rukopisy a formalizovat důkazy v systému Lean a neseme odpovědnost za jejich správnost, samotné matematické argumenty však vytvořil náš systém. Doufáme, že se matematická komunita bude těmito výsledky důkladně zabývat, zasadí je do souvislostí a prostřednictvím nového výzkumu a objevů dá život myšlenkám, na nichž jsou založeny.

AI systémy se vyvíjejí ve stále vyspělejší partnery pro výzkum. Proto je nezbytné zajistit široký přístupu na podporu vědců a matematiků, aby se během této éry transformace orientovali v budoucnosti svých disciplín a pomáhali ji utvářet.