K Navierovu–Stokesovu problému tisíciletí

Zveřejňujeme řešení problému existence a hladkosti Navierových–Stokesových rovnic, jednoho z problémů tisíciletí. Tento důkaz vytvořil interní systém OpenAI a dokazuje, že v dynamice Navierových–Stokesových rovnic popisujících proudění tekutin může v konečném čase vzniknout singularita. Zveřejňujeme jak popis důkazu, tak jeho formalizaci v Leanu.

Problémy tisíciletí⁠(otevře se v novém okně) patří k nejhlubším otázkám průkopnické matematiky. Otázka, zda se hladké trojrozměrné proudění tekutiny může zhroutit, zůstávala nevyřešená přibližně 90 let.

Jedním z hlavních cílů naší práce je umožnit vědcům rozvíjet výzkum a technologie ku prospěchu celého lidstva. K vyřešení Navierova–Stokesova problému jsme použili interní model, který je výrazně schopnější než GPT‑6 Astra. Považujeme za důležité informovat svět o tempu pokroku AI a o tom, co lze očekávat od chystaných modelů.

Navierovy–Stokesovy rovnice popisují pohyb tekutin pomocí druhého Newtonova pohybového zákona („F=ma“). Podstatné je, že tekutinu chápou jako spojité prostředí, místo aby sledovaly jednotlivé molekuly. Tyto rovnice se používají při navrhování letadel, předpovídání počasí a studiu proudění krve.

Základní otevřenou otázkou těchto dynamických rovnic bylo, zda může aproximace tekutiny spojitým prostředím selhat. Konkrétně: může v Navierových–Stokesových rovnicích pro trojrozměrnou nestlačitelnou tekutinu s konstantní hustotou vzniknout „singularita“, i když je proudění zpočátku hladké? Singularita zde znamená, že dynamika vede k neomezenému růstu rychlosti tekutiny během konečného času. K singularitě by muselo dojít navzdory viskozitě, která má tendenci pohyb vyhlazovat. Protože se skutečná tekutina nemůže pohybovat nekonečně rychle, znamenalo by to selhání způsobu, jakým rovnice tekutinu modelují. Pro další modelování systému by pak bylo nutné sledovat chování každé částice zvlášť.

Rovnice vycházejí z prací Claude-Louise Naviera a George Gabriela Stokese z 19. století. Jean Leray v roce 1934 dokázal existenci řešení v zobecněném smyslu, ale otázka, zda zůstávají vždy hladká, se stala jedním z hlavních nevyřešených problémů. Clayův matematický institut v roce 2000 zařadil problém existence a hladkosti Navierových–Stokesových rovnic mezi sedm problémů tisíciletí.

Náš systém vytvořil analytický důkaz a formalizaci v Leanu, podle nichž může v původně hladké tekutině v klidu vzniknout za konečný čas singularita. Na tekutinu působí hladká síla a její energie zůstává po celou dobu vývoje konečná, od klidu až po vznik singularity. Tím je Navierův–Stokesův problém tisíciletí vyřešen prokázáním tvrzení „C“ (a také „D“) v oficiálním zadání problémů tisíciletí⁠(otevře se v novém okně).

Řešením je vír, tedy rotující proud tekutiny, který se spirálovitě stáčí dovnitř a stále více se protahuje jako špageta. Tato centrální oblast se zmenšuje a zrychluje tak, že její energie zůstává konečná, jak vyžadují fyzikální zákony. Technickou výzvou je, aby zhroucení rovnic vyvolal samotný pohyb tekutiny, nikoli například ručně zadaná nekonečná síla. Matematičtěji řečeno, členy Navierových–Stokesových rovnic popisující pohyb — zrychlení, tlakové gradienty, přenos hybnosti a viskozita — se musejí zároveň stát velkými a přitom se přesně vyrušit. Díky této přesné rovnováze zůstává vnější síla hladká, i když rychlost tekutiny roste bez omezení.

Od 28. srpna trénujeme nový interní model, který v našich srovnávacích testech včetně matematiky dosahuje bezprecedentních výsledků. Trénování tohoto modelu pokračuje a jeho výkon se dále zlepšuje.

V úterý 1. září jsme zaslechli zvěsti, že byly vyřešeny dva problémy tisíciletí. Tyto zvěsti a skokové zlepšení výkonu našeho interního modelu nás přiměly otestovat jej na všech otevřených problémech tisíciletí a několika dalších významných problémech.

Použili jsme systém spolupracujících agentů využívajících náš interní model. Agenti měli k dispozici nástroje, například přístup k nacachované kopii internetu a možnost spouštět kód. Agenti byli rozděleni do skupin, v nichž mohli navzájem komunikovat. Skupiny měly různou velikost; na řešení Navierova–Stokesova problému pracovalo řádově 10 000 agentů současně. Po celou dobu jsme zachovávali stejně přísná bezpečnostní opatření jako při všech hodnoceních našich průkopnických modelů, včetně monitorování a izolace.

U každého problému jsme různým skupinám agentů zadali odlišné varianty jeho znění, abychom pokryli všechny podoby problému. U Navierova–Stokesova problému jsme samostatným skupinám agentů zadali verze „A“ a „B“ (konkrétní podoby problému, které by vedly k důkazu) a verze „C“ a „D“ (které by vedly k vyvrácení).

Vedle úplných problémů tisíciletí jsme náš multiagentní systém požádali, aby se pokusil vyřešit soubor „snazších“ problémů. Jedním z nich byla podobná otázka vzniku singularity v limitě Navierova–Stokesova problému bez členu viskozity. Jde o problém regularity Eulerových rovnic a naši agenti nás překvapili tím, že jej vyřešili. Vyřešili konkrétně nevynucenou variantu, v níž na tekutinu nepůsobí žádná vnější síla. Téměř 100 agentů spolupracovalo přibližně 50 hodin, než vytvořili naše vyvrácení problému regularity Eulerových rovnic¹.

Když jsme viděli řešení Eulerova problému, usoudili jsme, že nejslibnější bude pracovat na Navierově–Stokesově problému. Rozhodli jsme se proto věnovat naše zdroje Navierovu–Stokesovu problému. Agenty jsme přesunuli od ostatních problémů tisíciletí a zadali jim řešení Eulerova problému. Když během projektu začala být k dispozici nově natrénovaná verze našeho interního modelu, převedli jsme naše agenty na tuto verzi.

Jednotlivé skupiny agentů jsme vybídli, aby zkoumaly různé přístupy. Po určité době jsme skupiny agentů vzájemně propojili: pomocí Codexu jsme konsolidovali nejužitečnější poznatky z každé skupiny. Tyto následné prompty vycházely z průběžných výsledků samotných agentů. Takto byla vedena i skupina, která našla řešení Navierova–Stokesova problému.

Agenti dospěli k řešení v sobotu 5. září, asi 88 hodin po spuštění prvních agentů. Formalizace v Leanu a ověření pomocí GPT‑6 Astra zabraly dalších 17 hodin.

Při řešení všech zadaných problémů odeslali agenti 4,9 milionu zpráv a využili přibližně 300 miliard výstupních tokenů. Při řešení Navierova–Stokesova problému odeslali agenti 2,7 milionu zpráv a využili přibližně 130 miliard výstupních tokenů.

Naše práce začala 1. září poté, co jsme zaslechli zvěst, o níž jsme později zjistili, že se týká Leventa Alpögeho, zaměstnance společnosti Anthropic, a Tristana Buckmastera, profesora matematiky na NYU.² Po dokončení celého projektu a ověření v Leanu 6. září jsme se na ně v domnění, že i oni vyřešili Navierův–Stokesův problém, obrátili s nabídkou souběžného zveřejnění výsledků a uznání jejich prvenství ve společném oznámení. Tehdy jsme zjistili, že pomocí interního modelu společnosti Anthropic vyřešili problém vynucených Eulerových rovnic. Během těchto rozhovorů jsme jim nabídli přístup ke všem našim promptům a později také možnost prostudovat důkaz. Uznáváme prvenství jejich práce na vynucených Eulerových rovnicích a blahopřejeme jim k pozoruhodnému matematickému úspěchu.

My (výzkumníci ani agenti) jsme se s jejich prací žádným způsobem neseznámili, dokud ji nezveřejnili — a zejména nebylo při řešení tohoto problému přistoupeno k žádným konkrétním uživatelským datům.

Vyšetřováním jsme potvrdili, že Buckmasterovy prompty pro Codex z období dvou měsíců před tímto oznámením a zveřejněním článku 8. září 2026 nemohla systém nijak ovlivnit, a to ani prostřednictvím trénování. Interní model OpenAI použitý k dosažení tohoto výsledku vznikl rozsáhlým učením posilováním nad dříve předtrénovaným modelem. Výrazně se liší také naše důkazy. V případě Eulerových rovnic dokázali Alpöge a Buckmaster výsledek s vnějším vynucením, zatímco systém OpenAI prokázal výsledek bez něj.

Zveřejněním tohoto výsledku chceme informovat o výrazném pokroku našich AI modelů. Za tento výsledek nehodláme žádat udělění Ceny tisíciletí.

Tento milník je výsledkem rozsáhlé práce matematiků a výzkumníků AI. Nejde však o završení vývoje, ale pouze o momentální zachycení pokroku ve vývoji AI.

Domníváme se, že nyní vstupujeme do dalšího období pokroku v AI⁠, a dnešní výsledky to dále dokládají. Soustředíme se na pochopení tohoto modelu a získané poznatky využíváme k řízení dalšího rozvoje schopností a jeho tempa. Jedním z našich hlavních cílů⁠ je vytvářet AI systémy, které lze řídit, které nesou odpovědnost a jsou propojené s lidmi. Při pokračování našeho poslání zajistit, aby AGI prospívala celému lidstvu, to může vyžadovat uvážlivější rozhodování o tempu pokroku.