Deu avenços en matemàtiques i informàtica teòrica

Volem oferir eines als científics i als matemàtics per accelerar els descobriments. Per això, fa poc vam anunciar ChatGPT per a investigadors acadèmics⁠, una iniciativa que ofereix a 100.000 científics i matemàtics accés gratuït als nostres millors models de ChatGPT. També continuem avaluant els nostres models amb problemes de recerca oberts durant el desenvolupament.

Al maig, vam compartir una refutació generada per IA⁠ de la conjectura d'Erdős sobre la distància unitària, descoberta mentre avaluàvem un model encara no publicat. Aquest treball ja ha inspirat nous avenços en matemàtiques i informàtica teòrica¹. Avui compartim una selecció de deu resultats, cadascun dels quals resol o permet avançar substancialment en un problema obert de llarga data. Aquests problemes abasten la geometria d'alta dimensió, la teoria de codis, la complexitat dels circuits aritmètics, la teoria de grups, les àlgebres d'operadors, la complexitat quàntica, la criptografia de reticles i la combinatòria extremal. Tots aquests problemes són de gran interès per a les comunitats matemàtiques corresponents, i alguns tenen un interès ampli per al conjunt de les matemàtiques.

Presentem nous resultats per als problemes següents. Els resultats s'han obtingut amb una versió interna d'Astra, el nostre pròxim gran model. El nombre total de segments textuals necessaris per trobar solucions a aquests problemes tindria un cost aproximat de 2.000 dòlars amb les tarifes de l'API de Sol. Després, persones van preparar aquests arguments en forma de manuscrits amb el mateix model. A continuació, el model va formalitzar cada argument en un certificat de Lean⁠(s'obre en una finestra nova). També publiquem, per a cada solució, el relat d'un model sobre el seu procés de pensament.

1. Empaquetament d'esferes d'alta dimensió. Noves cotes superiors per a la densitat d'empaquetament d'esferes fins al llindar de Cohn–Elkies.
2. Codis binaris i esfèrics: cotes millorades exponencialment per a la mida màxima dels codis binaris amb qualsevol distància mínima prescrita, amb resultats anàlegs per als codis esfèrics d'alta dimensió.
3. Grups no sòfics. Una construcció que demostra l'existència de grups no sòfics i aborda una qüestió oberta central de la teoria de grups.
4. Conjectura de rigidesa de Connes. Refutació d'una conjectura de llarga data segons la qual certs grups estan determinats de manera única per les seves àlgebres de von Neumann.
5. Complexitat dels circuits aritmètics. Noves cotes inferiors per calcular el permanent mitjançant circuits i fórmules aritmètiques, inclosa una cota inferior d'ordre n⁴/log n per a les fórmules aritmètiques.
6. Repetició paral·lela quàntica. Un teorema de repetició paral·lela exponencial per a jocs quàntics generals de dos jugadors, que amplia un principi fonamental de la teoria clàssica de la complexitat.
7. Problema del vector més proper. Duresa d'aproximació amb factor polinòmic per al problema del vector més proper, una qüestió fonamental sobre reticles relacionada amb la criptografia postquàntica.
8. Conjectura del volum d'Ehrhart. Determinació, en cada dimensió, del volum màxim possible d'un cos convex el centroide del qual és l'únic punt del reticle situat al seu interior.
9. Nombres de Ramsey multicolor. Una cota inferior superexponencial per als nombres de Ramsey multicolor de triangles, que resol el problema 183 d'Erdős.
10. Conjectures sobre nombres extremals. Resultats sobre les conjectures de compacitat i degeneració en teoria extremal de grafs, que resolen els problemes 146 i 180 d'Erdős.

L'aparició de sistemes capaços de contribuir a la recerca matemàtica planteja preguntes que una empresa tecnològica no pot respondre tota sola. Hi ha moltes opinions sobre el paper de la IA en les matemàtiques, i respectem profundament i comprenem les persones preocupades per l'impacte que pot tenir, inclosos els signants de la Declaració de Leiden sobre la IA i les matemàtiques⁠(s'obre en una finestra nova). Creiem que l'atribució ha de reflectir honestament com s'ha obtingut un resultat: atribuir autoria humana a una demostració generada íntegrament per un sistema d'IA falsejaria tant la contribució del sistema com la naturalesa del veritable treball intel·lectual humà. Hem ajudat a preparar els manuscrits i a formalitzar les demostracions en Lean, i n'assumim la responsabilitat pel que fa a la correctesa, mentre que els arguments matemàtics els ha generat el nostre sistema. Esperem que la comunitat matemàtica estudiï a fons aquests resultats, els situï en context i doni vida a les idees que els sustenten mitjançant noves recerques i descobriments.

A mesura que els sistemes d'IA evolucionen i es converteixen en col·laboradors de recerca més sofisticats, garantir-hi un accés ampli és essencial per donar suport als científics i matemàtics mentre exploren i defineixen el futur de les seves disciplines en aquesta era transformadora.