Sobre el problema de Navier–Stokes del Premi del Mil·lenni

Compartim una solució al problema de l'existència i la regularitat de Navier–Stokes, un dels Problemes del Premi del Mil·lenni. Aquesta demostració, produïda per un sistema intern d'OpenAI, mostra que la dinàmica de les equacions de Navier-Stokes per al moviment dels fluids pot desenvolupar una singularitat en un temps finit. Compartim tant una explicació escrita de la demostració com una formalització en Lean.

Els Problemes del Premi del Mil·lenni⁠(s'obre en una finestra nova) representen algunes de les qüestions més profundes de les matemàtiques d'avantguarda. La qüestió de si el moviment regular d'un fluid tridimensional pot deixar de ser-ho ha quedat sense resoldre durant uns 90 anys.

Un objectiu essencial de la nostra feina és capacitar els científics perquè impulsin la recerca i la tecnologia en benefici de tota la humanitat. Per resoldre el problema de Navier–Stokes, vam utilitzar un model intern molt més capaç que GPT‑6 Astra. Creiem que és important informar el món sobre el ritme de progrés de la IA i sobre què es pot esperar dels pròxims models.

Les equacions de Navier–Stokes utilitzen la segona llei del moviment de Newton ("F=ma") per descriure com es mouen els fluids. És important destacar que tracten el fluid com un medi continu, en lloc de seguir-ne les molècules individualment. Aquestes equacions s'utilitzen per dissenyar aeronaus, fer prediccions meteorològiques i estudiar el flux sanguini.

Una qüestió fonamental encara oberta sobre aquestes equacions dinàmiques és si l'aproximació contínua del fluid pot deixar de ser vàlida. Concretament, poden les equacions de Navier–Stokes per a un fluid tridimensional incompressible de densitat constant desenvolupar una "singularitat", encara que el moviment comenci de manera regular? Aquí, una singularitat significa que la dinàmica fa que les velocitats del fluid creixin sense límit en un interval de temps finit. La singularitat s'hauria de desenvolupar malgrat la presència de viscositat, que tendeix a suavitzar el moviment. Com que un fluid real no es pot moure a una velocitat infinita, això indicaria que les equacions deixen de modelitzar-lo correctament. Per continuar modelitzant el sistema, caldria seguir individualment el comportament de cada partícula.

Les equacions es remunten als treballs del segle XIX de Claude-Louis Navier i George Gabriel Stokes. El 1934, Jean Leray va demostrar que existeixen solucions en un sentit generalitzat, però la qüestió de si sempre conserven la regularitat va esdevenir un interrogant central sense resposta. L'any 2000, el Clay Mathematics Institute va designar el problema de l'existència i la regularitat de Navier–Stokes com un dels set Problemes del Premi del Mil·lenni.

El nostre sistema va produir una demostració analítica i una formalització en Lean que mostren que un fluid inicialment regular i en repòs pot desenvolupar una singularitat en un temps finit. S'aplica una força suau al fluid, i la seva energia es manté finita durant tota la dinàmica, des del repòs fins a la formació de la singularitat. Això resol el problema de Navier–Stokes del Premi del Mil·lenni en establir l'enunciat "C" (i també el "D") de la formulació oficial del Premi del Mil·lenni⁠(s'obre en una finestra nova).

La solució és un vòrtex, un remolí giratori de fluid, que s'endinsa en espiral i s'allarga cada vegada més, com un espagueti. Aquesta regió central s'encongeix mentre s'accelera de manera que l'energia es manté finita, tal com exigeixen les lleis de la física. El repte tècnic consisteix a fer que les equacions arribin a aquest col·lapse mitjançant el moviment del fluid mateix, i no, per exemple, introduint-hi manualment una força infinita. En termes més matemàtics, els termes de les equacions de Navier–Stokes que descriuen el moviment —acceleració, gradients de pressió, transferència de quantitat de moviment i viscositat— han d'esdevenir grans i, alhora, cancel·lar-se d'una manera precisa. Aquest equilibri detallat permet que la força externa sigui suau fins i tot quan la velocitat del fluid creix sense límit.

Des del 28 d'agost, entrenem un nou model intern que ha mostrat un rendiment sense precedents en les nostres proves de referència, també en matemàtiques. L'entrenament d'aquest model continua i el seu rendiment no deixa de millorar.

El dimarts 1 de setembre, vam sentir rumors que s'havien resolt dos Problemes del Premi del Mil·lenni. Inspirats per aquests rumors i pel salt de rendiment del nostre model intern, vam iniciar un projecte per avaluar-lo en tots els Problemes del Premi del Mil·lenni encara oberts i en alguns altres problemes de gran impacte.

Vam utilitzar un sistema d'agents coordinats impulsat pel nostre model intern. Els agents tenien accés a eines com ara la possibilitat de consultar una versió d'internet emmagatzemada a la memòria cau i d'executar codi. Els agents es van dividir en grups amb capacitat per comunicar-se internament. Els grups tenien mides diferents, i el que va resoldre Navier–Stokes reunia aproximadament 10.000 agents simultanis. En tot moment vam mantenir les mateixes salvaguardes estrictes que apliquem a totes les avaluacions de models d'avantguarda, incloent-hi el monitoratge i l'aïllament.

Per a cada problema, vam presentar a diferents grups d'agents diverses variants de l'enunciat, de manera que quedessin cobertes totes les variants del problema. Per al problema de Navier–Stokes, vam proposar les versions "A" i "B" (formes concretes del problema de Navier–Stokes que donarien lloc a una demostració) i les versions "C" i "D" (que donarien lloc a una refutació) a grups d'agents diferents.

A més dels Problemes del Premi del Mil·lenni complets, vam demanar al nostre sistema multiagent que provés de resoldre un conjunt de problemes "més fàcils". Un d'aquests era una qüestió similar sobre l'aparició de singularitats en el límit del problema de Navier–Stokes quan se n'elimina el terme de viscositat. Això es coneix com el problema de regularitat de les equacions d'Euler, i els nostres agents ens van sorprendre resolent aquesta qüestió. La variant concreta que van resoldre era la versió sense forçament, en què no s'aplica cap força externa al fluid. Prop de 100 agents van treballar plegats durant unes 50 hores per produir la nostra refutació de la regularitat d'Euler¹.

Quan vam veure la solució d'Euler, vam considerar que Navier–Stokes era el problema més prometedor en què podíem treballar. Per tant, vam decidir dedicar els nostres recursos a Navier–Stokes. Per fer-ho, vam traslladar agents dels altres Problemes del Mil·lenni i els vam proporcionar la resolució d'Euler. Quan, al llarg del projecte, va estar disponible una versió més entrenada del nostre model intern, vam actualitzar els agents perquè la utilitzessin.

Vam animar els diferents grups d'agents a explorar enfocaments diversos. Al cap d'un temps, vam afavorir l'intercanvi d'idees entre els grups d'agents utilitzant Codex per consolidar les aportacions més útils de cadascun. Aquestes instruccions de seguiment es basaven en els resultats intermedis dels mateixos agents. El grup que va trobar la solució de Navier–Stokes va rebre orientació d'aquesta manera.

Els agents van arribar a la resolució el dissabte 5 de setembre, unes 88 hores després d'activar els primers agents. La formalització i la verificació en Lean mitjançant GPT‑6 Astra van requerir 17 hores addicionals.

En el conjunt de problemes abordats, els agents van enviar 4,9 milions de missatges i van utilitzar uns 300.000 milions de segments textuals de sortida. Durant la resolució del problema de Navier–Stokes, els agents van enviar 2,7 milions de missatges i van utilitzar aproximadament 130.000 milions de segments textuals de sortida.

El nostre projecte va començar l'1 de setembre, després de sentir un rumor que més endavant vam descobrir que estava relacionat amb Levent Alpöge, empleat d'Anthropic, i Tristan Buckmaster, professor de matemàtiques de la Universitat de Nova York.² Un cop completats tot el projecte i la verificació en Lean (el 6 de setembre), i creient pel rumor que ells també tenien una solució de Navier–Stokes, ens hi vam posar en contacte per proposar-los de publicar els resultats alhora i reconèixer la seva prioritat en un anunci conjunt. Aleshores vam saber que, amb un model intern d'Anthropic, havien resolt el problema d'Euler amb forçament. En aquestes converses, els vam oferir accés a totes les instruccions que havíem utilitzat i, més endavant, a la demostració. Reconeixem la prioritat del seu treball sobre Euler amb forçament i els felicitem per aquesta fita matemàtica extraordinària.

Nosaltres (els investigadors i els agents) no vam tenir accés per cap mitjà a cap part del seu treball fins que el van publicar; en particular, no es va accedir a dades específiques de cap usuari per resoldre aquest problema.

Després d'una investigació, hem confirmat que les instruccions de Buckmaster a Codex durant els dos mesos anteriors a aquest anunci i a l'article del 8 de setembre de 2026 no podrien haver influït de cap manera en el sistema, ni tan sols a través de l'entrenament. El model intern d'OpenAI utilitzat per obtenir aquest resultat es va desenvolupar mitjançant aprenentatge per reforç a gran escala sobre un model preentrenat anteriorment. Les nostres demostracions també difereixen considerablement. En el cas d'Euler, Alpöge i Buckmaster van demostrar un resultat amb forçament extern, mentre que el sistema d'OpenAI en va demostrar un sense forçament extern.

En publicar aquest resultat, volem donar a conèixer els avenços substancials dels nostres models d'IA. No tenim la intenció de reclamar el Premi del Mil·lenni per aquest resultat.

Aquesta fita representa una tasca considerable de matemàtics i investigadors d'IA. Tanmateix, això no és la culminació del desenvolupament de la IA, sinó una instantània del seu progrés en un moment concret.

Creiem que ja som en la pròxima etapa del progrés de la IA⁠, i els resultats d'avui n'aporten més proves. Ens centrem a entendre aquest model i a aprofitar el que n'aprenem per orientar i regular el ritme amb què busquem nous avenços en capacitats. Un dels nostres objectius principals⁠ és crear sistemes d'IA que es puguin orientar, que retin comptes i que estiguin connectats amb les persones. Això pot exigir decisions més deliberades sobre el ritme de progrés mentre continuem amb la missió de garantir que l'AGI beneficiï tota la humanitat.