Deset iskoraka u matematici i teorijskom računarstvu

Želimo naučnicima i matematičarima pružiti alate koji ubrzavaju otkrića. Zato smo nedavno najavili inicijativu ChatGPT za akademske istraživače⁠, koja će za 100.000 naučnika i matematičara omogućiti besplatan pristup našim najboljim ChatGPT modelima. Tokom razvoja također nastavljamo ocjenjivati naše modele na otvorenim istraživačkim problemima.

U maju smo predstavili dokaz koji je generirala umjetna inteligencija i kojim je opovrgnuta⁠ Erdősova hipoteza o jediničnim udaljenostima, otkriven dok smo ocjenjivali još neobjavljeni model. Ovaj rad već je potaknuo daljnji razvoj matematike i teorijskog računarstva¹. Danas predstavljamo deset odabranih rezultata, od kojih svaki rješava neki dugogodišnji otvoreni problem ili donosi znatan napredak u njegovom rješavanju. Ovi problemi obuhvataju geometriju visokih dimenzija, teoriju kodiranja, složenost aritmetičkih kola, teoriju grupa, algebre operatora, kvantnu složenost, kriptografiju zasnovanu na rešetkama i ekstremalnu kombinatoriku. Svi ovi problemi izuzetno su važni za odgovarajuće matematičke zajednice, a nekoliko ih je značajno i za matematiku u cjelini.

Donosimo nove rezultate za sljedeće probleme. Rezultate je postigla interna verzija Astre, našeg sljedećeg velikog modela. Ukupan broj tokena potreban za pronalaženje rješenja ovih problema koštao bi približno 2.000 USD prema cijenama Sol API-ja. Ljudi su zatim uz pomoć istog modela pripremili ove argumente u obliku rukopisa. Nakon toga model je svaki argument formalizirao u obliku Lean certifikata⁠(otvara se u novom prozoru). Za svako rješenje objavljujemo i modelov prikaz njegovog procesa razmišljanja.

1. Pakovanje sfera u visokim dimenzijama. Nove gornje granice gustoće pakovanja sfera sve do Cohn–Elkiesovog praga.
2. Binarni i sferni kodovi: Eksponencijalno poboljšane granice maksimalne veličine binarnih kodova pri bilo kojoj zadatoj minimalnoj udaljenosti, uz analogne rezultate za sferne kodove u visokim dimenzijama.
3. Nesofičke grupe. Konstrukcija kojom se utvrđuje postojanje nesofičkih grupa i rješava jedno od ključnih otvorenih pitanja u teoriji grupa.
4. Connesova hipoteza o krutosti. Opovrgavanje dugogodišnje hipoteze da su određene grupe jednoznačno određene svojim von Neumannovim algebrama.
5. Složenost aritmetičkih kola. Nove donje granice za izračunavanje permanente pomoću aritmetičkih kola i formula, uključujući donju granicu za aritmetičke formule reda n⁴/log n.
6. Kvantno paralelno ponavljanje. Teorem o eksponencijalnom paralelnom ponavljanju za opće kvantne igre s dva igrača, kojim se temeljni princip klasične teorije složenosti proširuje na kvantne igre.
7. Problem najbližeg vektora. Teškoća aproksimacije problema najbližeg vektora do na polinomni faktor, što je temeljno pitanje o rešetkama povezano s postkvantnom kriptografijom.
8. Ehrhartova hipoteza o zapremini. Određivanje najveće moguće zapremine, u svakoj dimenziji, konveksnog tijela čije je težište njegova jedina unutrašnja tačka rešetke.
9. Višebojni Ramseyjevi brojevi. Supereksponencijalna donja granica za višebojne Ramseyjeve brojeve trouglova, čime se rješava Erdősov problem 183.
10. Hipoteze o ekstremalnim brojevima. Rezultati o hipotezama kompaktnosti i degeneriranosti u ekstremalnoj teoriji grafova, kojima se rješavaju Erdősovi problemi 146 i 180.

Pojava sistema sposobnih da doprinose matematičkim istraživanjima otvara pitanja na koja tehnološka kompanija ne može sama odgovoriti. Postoje brojna gledišta o ulozi umjetne inteligencije u matematici, a mi duboko poštujemo i razumijemo one koji su zabrinuti zbog njenog utjecaja, uključujući potpisnike Leidenske deklaracije o umjetnoj inteligenciji i matematici⁠(otvara se u novom prozoru). Vjerujemo da navođenje zasluga treba iskreno odražavati način na koji je rezultat nastao: pripisivanje ljudskog autorstva dokazu koji je u cijelosti generirao sistem umjetne inteligencije pogrešno bi predstavilo i doprinos sistema i prirodu istinskog ljudskog intelektualnog rada. Pomogli smo u pripremi rukopisa i formaliziranju dokaza u Leanu te preuzimamo odgovornost za njihovu ispravnost, dok je same matematičke argumente generirao naš sistem. Nadamo se da će matematička zajednica temeljito razmotriti ove rezultate, smjestiti ih u odgovarajući kontekst te ideje na kojima počivaju oživjeti kroz nova istraživanja i otkrića.

Dok sistemi umjetne inteligencije prerastaju u sve naprednije istraživačke saradnike, osiguravanje široke dostupnosti ključno je za podršku naučnicima i matematičarima dok u ovom preobražavajućem razdoblju usmjeravaju i oblikuju budućnost svojih disciplina.