O Milenijskom Navier–Stokesovom problemu

Objavljujemo rješenje problema postojanja i glatkoće Navier–Stokesovih jednačina, jednog od Milenijskih problema. Ovaj dokaz, koji je izradio interni sistem kompanije OpenAI, pokazuje da dinamika Navier–Stokesovih jednačina za kretanje fluida može razviti singularnost u konačnom vremenu. Objavljujemo i opis dokaza i njegovu formalizaciju u Leanu.

Milenijski problemi⁠(otvara se u novom prozoru) predstavljaju neka od najdubljih pitanja na granici savremene matematike. Pitanje može li doći do sloma glatkog trodimenzionalnog kretanja fluida ostalo je neriješeno oko 90 godina.

Jedan od glavnih ciljeva našeg rada jeste omogućiti naučnicima da unaprijede istraživanja i tehnologiju koji koriste cijelom čovječanstvu. Za rješavanje Navier–Stokesovog problema koristili smo interni model koji je znatno sposobniji od modela GPT‑6 Astra. Smatramo da je važno obavijestiti svijet o brzini napretka umjetne inteligencije i o tome šta se može očekivati od predstojećih modela.

Navier–Stokesove jednačine koriste drugi Newtonov zakon kretanja („F=ma“) da opišu kretanje fluida. Važno je da fluid posmatraju kao neprekidnu sredinu, umjesto da prate pojedinačne molekule. Ove jednačine koriste se u projektovanju aviona, prognoziranju vremena i proučavanju protoka krvi.

Temeljno otvoreno pitanje za ove dinamičke jednačine bilo je može li aproksimacija fluida kao kontinuuma prestati važiti. Konkretno, mogu li Navier–Stokesove jednačine za trodimenzionalni nestišljivi fluid konstantne gustoće razviti „singularnost“ čak i ako kretanje počne glatko? Singularnost ovdje znači da dinamika dovodi do neograničenog rasta brzina u fluidu tokom konačnog vremenskog perioda. Singularnost bi se morala razviti uprkos viskoznosti, koja teži izravnavanju kretanja. Budući da se stvarni fluid ne može kretati beskonačno brzo, to bi označilo slom načina na koji jednačine modeliraju fluid. Za nastavak modeliranja sistema tada bi bilo potrebno pojedinačno pratiti ponašanje svake čestice.

Jednačine potječu iz radova Claudea-Louisa Naviera i Georgea Gabriela Stokesa iz devetnaestog stoljeća. Jean Leray je 1934. dokazao da rješenja postoje u generaliziranom smislu, ali pitanje ostaju li uvijek glatka postalo je jedno od ključnih neriješenih pitanja. Institut za matematiku Clay je 2000. proglasio problem postojanja i glatkoće Navier–Stokesovih jednačina jednim od sedam Milenijskih problema.

Naš sistem izradio je analitički dokaz i formalizaciju u Leanu da prvobitno gladak fluid u mirovanju može razviti singularnost u konačnom vremenu. Na fluid djeluje glatka sila, a njegova energija ostaje konačna tokom cijele dinamike, od mirovanja do nastanka singularnosti. Time se rješava Milenijski problem Navier–Stokesovih jednačina dokazivanjem tvrdnje „C“ (kao i „D“) iz službene formulacije Milenijskog problema⁠(otvara se u novom prozoru).

Rješenje je vrtlog, rotirajući vir fluida, koji spiralno ide prema unutra i sve se više izdužuje poput špageta. Ovo središnje područje smanjuje se dok ubrzava tako da njegova energija i dalje ostaje konačna, kako zahtijevaju zakoni fizike. Tehnički izazov je da jednačine dovedu do sloma samim kretanjem fluida, a ne tako što bismo, naprimjer, ručno uveli beskonačnu silu. Matematički preciznije, članovi Navier–Stokesovih jednačina koji opisuju kretanje — ubrzanje, gradijenti pritiska, prijenos količine kretanja i viskoznost — moraju postati veliki, ali se pritom precizno poništavati. Ova precizna ravnoteža ostavlja glatku vanjsku silu čak i dok brzina fluida neograničeno raste.

Od 28. augusta obučavamo novi interni model koji je na našim testovima, uključujući matematiku, pokazao dosad nezabilježene rezultate. Obuka ovog modela još traje, a njegove performanse nastavljaju se poboljšavati.

U utorak, 1. septembra, čuli smo glasine da su riješena dva Milenijska problema. Potaknuti tim glasinama i naglim poboljšanjem performansi našeg internog modela, pokrenuli smo procjenu modela na svim otvorenim Milenijskim problemima i još nekoliko veoma značajnih problema.

Koristili smo sistem koordiniranih agenata koje je pokretao naš interni model. Agenti su imali pristup alatima kao što su čitanje keširane verzije interneta i pokretanje koda. Agenti su bili podijeljeni u grupe čiji su članovi mogli međusobno komunicirati. Grupe su bile različite veličine, a grupa koja je riješila Navier–Stokesov problem uključivala je oko 10.000 agenata koji su radili istovremeno. Sve vrijeme održavali smo iste stroge zaštitne mjere koje primjenjujemo pri svim procjenama graničnih modela, uključujući nadzor i izolaciju.

Za svaki problem različitim grupama agenata zadali smo različite verzije formulacije, obuhvativši sve varijante problema. Za Navier–Stokesov problem odvojenim grupama agenata predložili smo verzije „A“ i „B“ (posebne oblike problema koji bi doveli do dokaza) te verzije „C“ i „D“ (koje bi dovele do opovrgavanja).

Osim potpunih Milenijskih problema, od našeg višeagentskog sistema zatražili smo da pokuša riješiti skup „lakših“ problema. Jedan od njih bilo je slično pitanje razvoja singularnosti u graničnom slučaju Navier–Stokesovog problema bez člana viskoznosti. To je poznato kao problem regularnosti Eulerovih jednačina, a naši agenti iznenadili su nas riješivši ga. Konkretna varijanta koju su riješili bila je verzija bez vanjske sile, u kojoj na fluid ne djeluje nikakva vanjska sila. Gotovo 100 agenata sarađivalo je približno 50 sati kako bi izradili naše opovrgavanje regularnosti Eulerovih jednačina¹.

Nakon što smo vidjeli rješenje Eulerovih jednačina, zaključili smo da Navier–Stokesov problem najviše obećava. Stoga smo odlučili usmjeriti svoje resurse na Navier–Stokesov problem. Zato smo agente preusmjerili s drugih Milenijskih problema i dali im rješenje Eulerovih jednačina kao polaznu osnovu. Kada je tokom rada postala dostupna dodatno obučena verzija našeg internog modela, agente smo prebacili na nju.

Poticali smo različite grupe agenata da istražuju raznovrsne pristupe. Nakon nekog vremena povezali smo ideje među grupama agenata tako što smo pomoću Codexa objedinili najkorisnije uvide svake grupe. Ovi naknadni upiti oslanjali su se na vlastite međurezultate agenata. Grupa koja je pronašla rješenje Navier–Stokesovog problema vođena je na taj način.

Agenti su došli do rješenja u subotu, 5. septembra, oko 88 sati nakon pokretanja prvih agenata. Formalizacija u Leanu i provjera putem modela GPT‑6 Astra trajale su još 17 sati.

Na svim isprobavanim problemima agenti su poslali 4,9 miliona poruka i upotrijebili oko 300 milijardi izlaznih tokena. Tokom rješavanja Navier–Stokesovog problema agenti su poslali 2,7 miliona poruka i upotrijebili približno 130 milijardi izlaznih tokena.

Naš rad počeo je 1. septembra nakon glasine za koju smo kasnije shvatili da se odnosila na Leventa Alpögea, zaposlenika Anthropica, i Tristana Buckmastera, profesora matematike na NYU-u.² Nakon završetka cijelog projekta i provjere u Leanu 6. septembra, vjerujući na osnovu glasine da i oni imaju rješenje Navier–Stokesovog problema, obratili smo im se i ponudili istovremenu objavu naših rezultata te priznavanje njihovog prvenstva u zajedničkom saopćenju. Tada smo saznali da su pomoću internog modela Anthropica riješili Eulerov problem s vanjskom silom. Tokom tih razgovora ponudili smo im uvid u sve upite koje smo koristili, a kasnije i u dokaz. Priznajemo prvenstvo njihovog rada na Eulerovom problemu s vanjskom silom i čestitamo im na izvanrednom matematičkom dostignuću.

Mi, istraživači i agenti, ni na koji način nismo vidjeli njihov rad prije njegove javne objave — posebno naglašavamo da radi rješavanja ovog problema nije pristupljeno nikakvim konkretnim korisničkim podacima.

Istragom smo potvrdili da Buckmasterovi upiti za Codex tokom dva mjeseca prije ove objave i rada od 8. septembra 2026. nisu mogli ni na koji način utjecati na sistem, pa ni kroz obuku. Interni model kompanije OpenAI korišten za ovaj rezultat razvijen je opsežnim učenjem s potkrepljivanjem nad prethodno obučenim modelom. I naši se dokazi znatno razlikuju. U slučaju Eulerovih jednačina, Alpöge i Buckmaster dokazali su rezultat s vanjskom silom, dok je sistem kompanije OpenAI dokazao rezultat bez vanjske sile.

Objavom ovog rezultata želimo izvijestiti o značajnom napretku naših modela umjetne inteligencije. Ne namjeravamo tražiti Milenijsku nagradu za ovaj rezultat.

Ova prekretnica predstavlja rezultat opsežnog rada matematičara i istraživača umjetne inteligencije. Međutim, ovo nije vrhunac, nego tek trenutni presjek napretka u razvoju umjetne inteligencije.

Vjerujemo da smo sada ušli u naredno razdoblje napretka umjetne inteligencije⁠, a današnji rezultati pružaju dodatne dokaze za to. Usmjereni smo na razumijevanje ovog modela i primjenu stečenih saznanja kako bismo odredili smjer i tempo daljnjeg razvoja sposobnosti. Jedan od naših ključnih ciljeva⁠ jeste izgraditi sisteme umjetne inteligencije koji su usmjerivi, odgovorni i povezani s ljudima. Dok nastavljamo misiju da osiguramo da AGI koristi cijelom čovječanstvu, to može zahtijevati promišljenije odluke o tempu napretka.