Десет постижения в математиката и теоретичната информатика

Искаме да дадем на учените и математиците инструменти, които ускоряват откритията. Затова наскоро обявихме ChatGPT за академични изследователи⁠ — инициатива, която предоставя на 100 000 учени и математици безплатен достъп до най-добрите ни модели на ChatGPT. По време на разработването продължаваме да оценяваме моделите си и върху нерешени изследователски проблеми.

През май споделихме генерирано от ИИ опровержение⁠ на хипотезата на Ердьош за единичните разстояния, открито при оценяването на все още непубликуван модел. Тази работа вече вдъхнови по-нататъшни разработки в математиката и теоретичната информатика¹. Днес представяме десет резултата, всеки от които решава или постига съществен напредък по отдавна нерешен проблем. Тези проблеми обхващат многомерната геометрия, теорията на кодовете, сложността на аритметичните схеми, теорията на групите, операторните алгебри, квантовата сложност, решетъчната криптография и екстремалната комбинаторика. Всички тези проблеми представляват значителен интерес за съответните математически общности, а някои са от голямо значение за математиката като цяло.

Представяме нови резултати по следните проблеми. Резултатите бяха постигнати от вътрешна версия на Astra — следващия ни голям модел. Общият брой токени, необходими за намирането на решения на тези проблеми, би струвал приблизително 2000 щ.д. по тарифите за Sol API. След това хора подготвиха тези аргументи като ръкописи с помощта на същия модел. Впоследствие моделът формализира всеки аргумент в сертификат на Lean⁠(отваря се в нов прозорец). За всяко решение публикуваме и разказ на модела за процеса му на мислене.

1. Опаковане на сфери във високи измерения. Нови горни граници за плътността на опаковане на сфери до прага на Кон–Елкис.
2. Двоични и сферични кодове: Експоненциално подобрени граници за максималния размер на двоични кодове при всяко зададено минимално разстояние, с аналогични резултати за многомерни сферични кодове.
3. Несофични групи. Конструкция, която доказва съществуването на несофични групи и дава отговор на основен нерешен въпрос в теорията на групите.
4. Хипотеза на Кон за ригидността. Опровержение на дългогодишна хипотеза, според която определени групи се определят еднозначно от своите алгебри на фон Нойман.
5. Сложност на аритметичните схеми. Нови долни граници за изчисляване на перманентата чрез аритметични схеми и формули, включително долна граница от порядък n⁴/log n за аритметични формули.
6. Квантово паралелно повторение. Теорема за експоненциално паралелно повторение при общи квантови игри с двама играчи, която разширява основополагащ принцип от класическата теория на сложността.
7. Проблем за най-близкия вектор. Трудност на апроксимацията с полиномиален множител за проблема за най-близкия вектор — основополагащ въпрос за решетките, свързан с постквантовата криптография.
8. Хипотеза на Ерхарт за обема. Определяне във всяко измерение на максималния възможен обем на изпъкнало тяло, чийто центроид е единствената му вътрешна точка от решетката.
9. Многоцветни числа на Рамзи. Свръхекспоненциална долна граница за многоцветните триъгълни числа на Рамзи, която решава проблем 183 на Ердьош.
10. Хипотези за екстремални числа. Резултати по хипотезите за компактност и дегенерираност в екстремалната теория на графите, които решават проблеми 146 и 180 на Ердьош.

Появата на системи, способни да допринасят за математическите изследвания, повдига въпроси, на които една технологична компания не може да отговори сама. Съществуват много виждания за ролята на ИИ в математиката и ние дълбоко уважаваме и разбираме хората, обезпокоени от въздействието му, включително подписалите Лайденската декларация за ИИ и математиката⁠(отваря се в нов прозорец). Смятаме, че посочването на авторството трябва честно да отразява начина, по който е получен даден резултат: приписването на човешко авторство на доказателство, изцяло генерирано от система с ИИ, би представило невярно както приноса на системата, така и същността на истинския човешки интелектуален труд. Помогнахме за подготовката на ръкописите и формализирането на доказателствата в Lean и поемаме отговорност за тяхната коректност, а самите математически аргументи бяха генерирани от нашата система. Надяваме се математическата общност да разгледа задълбочено тези резултати, да ги постави в контекст и чрез нови изследвания и открития да вдъхне живот на идеите зад тях.

Докато системите с ИИ се превръщат във все по-усъвършенствани партньори в изследванията, осигуряването на широк достъп е от основно значение за подкрепата на учените и математиците, които се ориентират в бъдещето на своите области и го определят през тази преобразяваща епоха.