За Задачата на хилядолетието за Навие–Стокс

Споделяме решение на задачата за съществуването и гладкостта на решенията на уравненията на Навие–Стокс — една от Задачите на хилядолетието. Това доказателство, създадено от вътрешна система на OpenAI, показва, че динамиката на уравненията на Навие–Стокс за движението на флуиди може да развие сингулярност за крайно време. Споделяме както изложение на доказателството, така и формализация в Lean.

Задачите на хилядолетието⁠(отваря се в нов прозорец) са сред най-дълбоките въпроси в авангардната математика. Въпросът дали гладкото триизмерно движение на флуид може да претърпи срив остава нерешен от близо 90 години.

Основна цел на работата ни е да дадем на учените възможност да развиват изследвания и технологии в полза на цялото човечество. За да решим задачата на Навие–Стокс, използвахме вътрешен модел със значително по-големи възможности от GPT‑6 Astra. Смятаме, че е важно светът да бъде информиран за темпа на напредъка при ИИ и какво да очаква от предстоящите модели.

Уравненията на Навие–Стокс използват втория закон на Нютон за движението („F=ma“), за да опишат как се движат флуидите. Важно е, че те разглеждат флуида като непрекъсната среда, вместо да проследяват отделните молекули. Тези уравнения се използват при проектирането на самолети, прогнозирането на времето и изследването на кръвния поток.

Основен нерешен въпрос за тези динамични уравнения е дали приближението на флуида като непрекъсната среда може да се разпадне. По-конкретно, могат ли уравненията на Навие–Стокс за триизмерен несвиваем флуид с постоянна плътност да развият „сингулярност“, дори ако движението започва гладко? Тук сингулярност означава, че динамиката води до неограничено нарастване на скоростите във флуида за крайно време. Сингулярността би трябвало да възникне въпреки наличието на вискозитет, който обикновено изглажда движението. Тъй като реален флуид не може да се движи безкрайно бързо, това би означавало срив в начина, по който уравненията го моделират. За да се продължи моделирането на системата, тогава ще е необходимо поведението на всяка частица да се проследява поотделно.

Уравненията водят началото си от работата на Клод-Луи Навие и Джордж Габриел Стоукс през XIX век. През 1934 г. Жан Лере доказва, че решения съществуват в обобщен смисъл, но въпросът дали винаги остават гладки се превръща в основен нерешен проблем. През 2000 г. Математическият институт „Клей“ обявява задачата за съществуването и гладкостта на решенията на уравненията на Навие–Стокс за една от седемте Задачи на хилядолетието.

Системата ни създаде аналитично доказателство и формализация в Lean, че първоначално гладък флуид в покой може да развие сингулярност за крайно време. Върху флуида действа гладка сила, а енергията му остава крайна през цялата динамика — от покоя до образуването на сингулярността. Това решава Задачата на хилядолетието за Навие–Стокс, като установява твърдение „C“ (както и „D“) от официалната формулировка на Задачата на хилядолетието⁠(отваря се в нов прозорец).

Решението представлява вихър — въртящ се поток от флуид, който се движи спираловидно навътре и се издължава все повече като спагети. Тази централна област се свива и ускорява така, че енергията ѝ остава крайна, както изискват законите на физиката. Техническото предизвикателство е уравненията да стигнат до срив чрез самото движение на флуида, а не например чрез ръчно задаване на безкрайна сила. Казано по-математически, членовете в уравненията на Навие–Стокс, които описват движението — ускорение, градиенти на налягането, пренос на импулс и вискозитет — трябва едновременно да станат големи и да се компенсират по точно определен начин. Този прецизен баланс запазва външната сила гладка дори когато скоростта на флуида нараства без ограничение.

От 28 август обучаваме нов вътрешен модел, който показва безпрецедентни резултати в нашите тестове, включително по математика. Обучението на този модел продължава и резултатите му непрекъснато се подобряват.

Във вторник, 1 септември, чухме слухове, че две от Задачите на хилядолетието са решени. Вдъхновени от тези слухове и от рязкото подобрение в резултатите на вътрешния ни модел, започнахме да го оценяваме по всички нерешени Задачи на хилядолетието и още няколко важни задачи.

Използвахме система от координирани агенти, задвижвани от вътрешния ни модел. Агентите разполагаха с инструменти, включително възможност да четат кеширана версия на интернет и да изпълняват код. Агентите бяха разделени на групи и можеха да комуникират в рамките на своята група. Групите бяха с различен размер, а в тази, която реши задачата на Навие–Стокс, участваха около 10 000 едновременно работещи агенти. През цялото време поддържахме същите строги мерки за безопасност, които прилагаме при всички оценки на авангардни модели, включително наблюдение и изолация.

За всяка задача зададохме на различни групи агенти различни варианти на условието, обхващащи всички разновидности на задачата. За задачата на Навие–Стокс предложихме на отделни групи агенти версии „A“ и „B“ (конкретни форми на задачата, които биха довели до доказателство) и версии „C“ и „D“ (които биха довели до опровержение).

Освен пълните Задачи на хилядолетието възложихме на многоагентната си система да изпробва и набор от „по-лесни“ задачи. Една от тях беше сходен въпрос за възникването на сингулярност в граничния случай на задачата на Навие–Стокс без члена за вискозитет. Това е известно като задачата за регулярността на уравненията на Ойлер и агентите ни ни изненадаха, като го решиха. Конкретният вариант, който решиха, беше без външна сила, тоест върху флуида не се прилага външна сила. Близо 100 агенти работиха заедно около 50 часа, за да създадат нашето опровержение за регулярността при Ойлер¹.

След като видяхме решението за Ойлер, преценихме, че задачата на Навие–Стокс е най-обещаваща за по-нататъшна работа. Затова решихме да насочим ресурсите си към Навие–Стокс. За целта пренасочихме агенти от останалите Задачи на хилядолетието и им предоставихме решението за Ойлер. Когато в хода на работата стана достъпна допълнително обучена версия на вътрешния ни модел, прехвърлихме агентите към нея.

Насърчихме различните групи агенти да проучват разнообразни подходи. След известно време организирахме обмен на идеи между групите, като използвахме Codex, за да обединим най-полезните прозрения от всяка от тях. Тези последващи подкани използваха собствените междинни резултати на агентите. По този начин беше насочвана и групата, която намери решението на задачата на Навие–Стокс.

Агентите стигнаха до решението си в събота, 5 септември, около 88 часа след стартирането на първите агенти. Формализацията и проверката в Lean отнеха още 17 часа с помощта на GPT‑6 Astra.

При работата по всички изпробвани задачи агентите изпратиха 4,9 милиона съобщения и използваха около 300 милиарда изходни токена. При решаването на задачата на Навие–Стокс агентите изпратиха 2,7 милиона съобщения и използваха приблизително 130 милиарда изходни токена.

Работата ни започна на 1 септември, след като чухме слух, за който по-късно разбрахме, че е свързан с Левент Алпьоге, служител на Anthropic, и Тристан Бъкмастър, професор по математика в Нюйоркския университет.² След като завършихме целия проект и проверката в Lean (на 6 септември), и понеже от слуха смятахме, че и те имат решение на задачата на Навие–Стокс, се свързахме с тях. Предложихме едновременно да публикуваме резултатите си и в общо съобщение да признаем, че те са стигнали първи до своето решение. Тогава разбрахме, че с помощта на вътрешен модел на Anthropic те са решили задачата на Ойлер с външна сила. В тези разговори им предложихме достъп до всички използвани от нас подкани, а по-късно — и до доказателството. Признаваме приоритета на работата им по уравненията на Ойлер с външна сила и ги поздравяваме за забележителното им математическо постижение.

Ние — изследователите и агентите — не бяхме виждали по никакъв начин тяхната работа, преди да я публикуват. По-специално, за решаването на тази задача не са използвани конкретни потребителски данни.

След разследване потвърдихме, че подканите на Бъкмастър към Codex през двата месеца преди това съобщение и публикацията от 8 септември 2026 г. не биха могли да повлияят на системата по никакъв начин, включително чрез обучението ѝ. Вътрешният модел на OpenAI, използван за този резултат, е разработен чрез мащабно обучение с утвърждение върху предварително обучен модел. Доказателствата ни също се различават значително. В случая с Ойлер Алпьоге и Бъкмастър доказват резултат с външна сила, докато системата на OpenAI доказва резултат без външна сила.

Целта ни с публикуването на този резултат е да съобщим за значителния напредък на нашите модели с ИИ. Не възнамеряваме да претендираме за Наградата на хилядолетието за този резултат.

Това постижение е плод на значителната работа на математици и изследователи в областта на ИИ. Това обаче не е кулминация, а моментна снимка на напредъка в разработването на ИИ.

Смятаме, че вече сме навлезли в следващия период от развитието на ИИ⁠, а днешните резултати са още едно доказателство за това. Съсредоточаваме се върху разбирането на този модел и използваме наученото, за да определяме посоката и темпа на по-нататъшното развитие на възможностите му. Една от основните ни цели⁠ е да създаваме системи с ИИ, които могат да бъдат насочвани, носят отговорност и са свързани с хората. Това може да изисква по-обмислен избор на темп на напредъка, докато продължаваме мисията си да гарантираме, че AGI е от полза за цялото човечество.