نموذج من OpenAI يدحض حدسية محورية في الهندسة المتقطعة

على مدى ما يقرب من 80 عامًا، درس علماء الرياضيات سؤالًا يبدو بسيطًا على نحو خادع: إذا وضعت $n$ نقطة في المستوى، فكم عدد أزواج النقاط التي يمكن أن تفصل بينها مسافة $1$ بالضبط؟

هذه هي مسألة المسافات الواحدة في المستوى، التي طرحها بول إردوش لأول مرة عام 1946. وهي واحدة من أشهر المسائل في الهندسة التوافقية؛ يسهل عرضها، لكنها صعبة الحل على نحو لافت. ويصفها كتاب Research Problems in Discrete Geometry الصادر عام 2005، من تأليف Brass وMoser وPach، بأنها "ربما أشهر مسألة في الهندسة التوافقية وأبسطها شرحًا". كما يصفها نوغا ألون، أحد أبرز علماء التوافقيات في برينستون، بأنها "إحدى المسائل المفضلة لدى إردوش". بل إن إردوش عرض جائزة مالية لمن يحل هذه المسألة.

نشارك اليوم تقدمًا كبيرًا في مسألة المسافة الواحدة. منذ العمل الأصلي لإردوش، كان الاعتقاد السائد أن تراكيب «الشبكة المربعة» الموضحة أدناه لاحقًا كانت في الأساس مثلى لتعظيم عدد أزواج المسافة الواحدة. لقد دحض نموذج داخلي من OpenAI هذه الحدسية الراسخة، مقدمًا عائلة لا نهائية من الأمثلة التي تحقق تحسنًا كثير الحدود. وقد راجعت البرهان مجموعة من علماء الرياضيات الخارجيين. كما كتبوا ورقة مصاحبة تشرح الحجة وتقدم مزيدًا من الخلفية والسياق حول أهمية النتيجة.

واللافت في النتيجة أيضًا هو الكيفية التي تم بها التوصل إليها. جاء البرهان من نموذج استدلال جديد للأغراض العامة، لا من نظام دُرّب خصيصًا للرياضيات، أو دُعم للبحث عبر استراتيجيات البرهان، أو وُجّه إلى مسألة المسافة الواحدة تحديدًا. وكجزء من جهد أوسع لاختبار ما إذا كانت النماذج المتقدمة تستطيع الإسهام في الأبحاث المتقدمة، قيّمناه على مجموعة من مسائل إردوش. وفي هذه الحالة، أنتج برهانًا يحل المسألة المفتوحة.

يمثل هذا البرهان محطة مهمة لمجتمعي الرياضيات والذكاء الاصطناعي. فهذه هي المرة الأولى التي تُحل فيها ذاتيًا بواسطة الذكاء الاصطناعي مسألة مفتوحة بارزة ومحورية في أحد فروع الرياضيات. كما يبرهن على عمق الاستدلال الذي تدعمه هذه الأنظمة الآن. توفر الرياضيات بيئة اختبار واضحة على نحو خاص للاستدلال: فالمسائل دقيقة، ويمكن التحقق من البراهين المحتملة، والحجة الطويلة لا تنجح إلا إذا ظل الاستدلال متماسكًا من البداية إلى النهاية. كما أن الطريقة التي حُلّت بها المسألة جديرة بالملاحظة. يستعين البرهان بأفكار غير متوقعة ومتقدمة من نظرية الأعداد الجبرية لمعالجة سؤال هندسي أولي.

ويصف الحائز على ميدالية فيلدز تيم غاورز، في الورقة المصاحبة، النتيجة بأنها «محطة بارزة في رياضيات الذكاء الاصطناعي». ووفقًا لعالم نظرية الأعداد البارز أرول شانكار، «في رأيي تُظهر هذه الورقة أن نماذج الذكاء الاصطناعي الحالية تتجاوز مجرد كونها مساعدين لعلماء الرياضيات البشر — فهي قادرة على امتلاك أفكار أصلية بارعة، ثم تنفيذها حتى تكتمل».

البرهان متاح هنا⁠(يفتح في نافذة جديدة). والورقة البحثية المرافقة التي أعدّها رياضيون خارجيون بارزون متاحة هنا⁠(يفتح في نافذة جديدة). ويمكنك العثور على نسخة مختصرة من سلسلة أفكار النموذج هنا⁠(يفتح في نافذة جديدة).

لتكن $u(n)$ أكبر عدد ممكن من أزواج المسافة الواحدة بين $n$ نقطة في المستوى. من السهل بناء أمثلة تحقق معدل نمو خطيًا: فوضع $n$ نقطة على خط يعطي $n-1$ زوجًا، بينما تعطي شبكة مربعة نحو $2n$ زوجًا. واتضح أن أفضل بناء معروف سابقًا، الآتي من شبكة مربعة معاد تحجيمها، يعطي أكثر من ذلك: $n^{1 + C / \log \log(n)}$ لثابت $C$. وبما أن $\log \log(n)$ يتجه إلى اللانهاية مع $n$، فإن الحد الإضافي في الأس يقترب من $0$، ما يعني أن هذه التراكيب تحقق نموًا أسرع قليلًا فقط من الخطي. ولعقود، كان الاعتقاد السائد على نطاق واسع أن هذا المعدل هو في الأساس الأفضل الممكن، وأنه لا يمكن لأي بناء أن يحسن كثيرًا على الشبكة المربعة. وبصياغة تقنية، افترض إردوش حدًا أعلى مقداره $n^{1+o(1)}$، حيث يشير الحد الإضافي $o(1)$ إلى مقدار يقترب من $0$ مع $n$.

نتيجتنا الجديدة تدحض هذه الحدسية. وبشكل أدق، يبني البرهان، لعدد لا نهائي من قيم $n$، تشكيلات من $n$ نقطة فيها على الأقل $n^{1+\delta}$ من أزواج المسافة الواحدة، لبعض الأس الثابت $\delta > 0$. (لا يعطي برهان الذكاء الاصطناعي الأصلي قيمة صريحة لـ $\delta$، لكن تحسينًا مرتقبًا يعود إلى أستاذ الرياضيات في برينستون ويل ساوين أظهر أنه يمكن أخذ $\delta=0.014$.)

يساعد تاريخ هذه المسألة على فهم سبب كون النتيجة مفاجئة. كان أفضل حدٍّ أدنى معروف قد ظل دون تغيير يُذكر منذ بناء إردوش الأصلي عام 1946. أما أفضل حد أعلى، $O(n^{4/3})$، فيعود إلى عمل سبنسر وسيميريدي وتروتر عام 1984، وعلى الرغم من التحسينات اللاحقة والأعمال البنيوية ذات الصلة التي قدمها سيكيلي وكاتس وسيليير، وباخ وراز وسوليموشي وغيرهم، فقد ظل الحد الأعلى في جوهره بلا تغيير. وكدليل مؤيد للحدسية، درس ماتوشيك وألون-بوتشيتش-زاورمان المسألة مع مسافات غير إقليدية في المستوى، وأثبتوا أن "معظم" هذه المسافات غير الإقليدية تخضع للحدسية بمعنى ما.

والمفاجئ أن المكونات الأساسية للبناء تأتي من جزء مختلف جدًا من الرياضيات يُعرف بنظرية الأعداد الجبرية، التي تدرس مفاهيم مثل التحليل إلى عوامل في امتدادات الأعداد الصحيحة المعروفة باسم حقول الأعداد الجبرية.

على مستوى عام، يبدأ البرهان بفكرة هندسية مألوفة ويدفعها في اتجاه غير متوقع.

يمكن فهم الحد الأدنى الأصلي لإردوش من خلال الأعداد الصحيحة الغاوسية: أعداد من الشكل $a+bi$، حيث $a$ و$b$ عددان صحيحان و$i$ هو الجذر التربيعي لـ $-1$. توسّع الأعداد الصحيحة الغاوسية الأعداد الصحيحة العادية، وتتمتع مثلها بخصائص مثل التحليل الفريد إلى أعداد أولية. وتُعرف مثل هذه الامتدادات للأعداد الصحيحة العادية أو النسبية باسم حقول الأعداد الجبرية. تستبدل الحجة الجديدة الأعداد الصحيحة الغاوسية بتعميمات أكثر تعقيدًا من نظرية الأعداد الجبرية ذات تناظرات أغنى يمكنها توليد فروق أكثر بكثير بطول وحدة.

وتستخدم الحجة الدقيقة أدوات مثل أبراج حقول الأصناف اللانهائية ونظرية غولود–شافاريفيتش لإظهار أن حقول الأعداد المطلوبة للحجة موجودة فعلًا. كانت هذه الأفكار معروفة جيدًا لدى المتخصصين في نظرية الأعداد الجبرية، لكن كان من المفاجئ جدًا أن تكون لهذه المفاهيم تبعات على أسئلة هندسية في المستوى الإقليدي.

تمثل هذه النتيجة لحظة مهمة في التفاعل بين الذكاء الاصطناعي والرياضيات: فقد حل نظام ذكاء اصطناعي ذاتيًا مسألة مفتوحة قديمة تقع في صميم مجال نشط. كما أنها تقدم لمحة مبكرة عن نوع جديد من التعاون بين الذكاء الاصطناعي وعلماء الرياضيات البشر. في هذه الحالة، ترسم الأعمال المصاحبة التي كتبها علماء رياضيات خارجيون صورة أكثر ثراءً بكثير من الحل الأصلي وحده.

وكما يكتب توماس بلوم في المذكرة المصاحبة:

«عند تقييم أهمية وتأثير برهان مولّد بالذكاء الاصطناعي، فإن السؤال الذي أطرحه على نفسي هو: هل علّمنا هذا شيئًا جديدًا عن المسألة؟ هل نفهم الهندسة المتقطعة الآن على نحو أفضل؟ أعتقد أن الجواب نعم، ولكن بتحفظ: فهذا يبين أن لدى البنى المستندة إلى نظرية الأعداد ما هو أكثر بكثير لتقوله عن هذه الأنواع من الأسئلة مما كنا نظن؛ وعلاوة على ذلك، فإن نظرية الأعداد المطلوبة قد تكون عميقة جدًا. ولا شك أن كثيرًا من المتخصصين في نظرية الأعداد الجبرية سيلقون نظرة فاحصة على مسائل مفتوحة أخرى في الهندسة المتقطعة خلال الأشهر المقبلة.»

إن الصلة غير المتوقعة بين نظرية الأعداد الجبرية والهندسة المتقطعة التي كشف عنها الحل هي جزء مما يجعل النتيجة لافتة. فهي لا تحسم حدسية محددة فحسب، بل قد تزود علماء الرياضيات بجسر لبدء استكشاف مزيد من المسائل المرتبطة.

ويشير بلوم أيضًا إلى احتمال أوسع:

«حدود المعرفة شديدة التعرج، ولا شك أن الأشهر والسنوات المقبلة ستشهد نجاحات مماثلة في كثير من المجالات الأخرى في الرياضيات، حيث تُحل مسائل مفتوحة قديمة بواسطة ذكاء اصطناعي يكشف روابط غير متوقعة ويدفع الآلة التقنية القائمة إلى أقصى حدودها. يساعدنا الذكاء الاصطناعي على استكشاف كاتدرائية الرياضيات التي بنيناها عبر القرون على نحو أكمل؛ فما العجائب الأخرى غير المرئية التي تنتظر خلف الستار؟»

تقدم هذه النتيجة مثالًا واعدًا: إسهام الذكاء الاصطناعي ليس في حل فحسب، بل في اكتشاف رياضي تتضح أهميته وتزداد ثراءً عبر الفهم البشري اللاحق.

الخلاصة أكبر من هذه النتيجة بعينها. يمكن للاستدلال الرياضي الأفضل أن يجعل الذكاء الاصطناعي شريكًا بحثيًا أقوى: شيئًا يستطيع الحفاظ على تماسك مسارات فكرية صعبة، وربط الأفكار عبر مجالات معرفية متباعدة، وإبراز مسارات واعدة ربما لم يعطها الخبراء أولوية، ومساعدة الباحثين على إحراز تقدم في مسائل كانت ستظل معقدة جدًا أو مستهلكة للوقت بحيث يتعذر تناولها.

وتتجاوز أهمية هذه القدرات حدود الرياضيات. فإذا كان بوسع نموذج أن يحافظ على تماسك حجة معقدة، ويربط الأفكار عبر مجالات معرفية متباعدة، وينتج عملًا يصمد أمام تدقيق الخبراء، فهذه أيضًا قدرات مفيدة في الأحياء والفيزياء وعلوم المواد والهندسة والطب، وهي جزء من مسارنا الأطول أمدًا نحو أبحاث أكثر أتمتة: أنظمة يمكنها مساعدة العلماء والمهندسين على استكشاف مزيد من الأفكار ومتابعة أسئلة تقنية أشد صعوبة.

الذكاء الاصطناعي على وشك أن يبدأ في أداء دور جاد جدًا في الجوانب الإبداعية من البحث، والأهم من ذلك في أبحاث الذكاء الاصطناعي نفسها. ورغم أن هذا التقدم ليس غير متوقع، فإنه يعزز الإلحاح الذي نشعر به لفهم هذه المرحلة التالية من تطور الذكاء الاصطناعي، وتحديات مواءمة الأنظمة شديدة الذكاء، ومستقبل التعاون بين الإنسان والذكاء الاصطناعي.

وما يزال ذلك المستقبل يعتمد على الحكم البشري. تصبح الخبرة أكثر قيمة، لا أقل. يمكن للذكاء الاصطناعي أن يساعد في البحث والاقتراح والتحقق. والبشر هم من يختارون المسائل المهمة، ويفسرون النتائج، ويقررون أي الأسئلة ينبغي متابعتها بعد ذلك.