數學及理論電腦科學的十項進展

我們希望為科學家和數學家提供工具，加快探索和發現。因此，我們最近宣佈推出 ChatGPT 學術研究人員版⁠，讓 10 萬名科學家和數學家免費使用我們最出色的 ChatGPT 模型。在開發期間，我們亦持續以未解的研究問題評估模型。

今年 5 月，我們分享了 Erdős 單位距離猜想的一項由 AI 生成的反證⁠，這項成果是在評估一個尚未發佈的模型期間發現的。這項成果已啟發數學及理論電腦科學領域的進一步發展¹。今天，我們分享十項精選成果，每項成果均解決一個長期未解的問題，或取得重大進展。這些問題涵蓋高維幾何、編碼理論、算術電路複雜度、群論、算子代數、量子複雜度、格密碼學和極值組合學。這些問題在各自的數學研究社群中均備受重視，其中數項更受到整個數學界廣泛關注。

我們就以下問題提出新的研究成果。這些成果由我們下一個主要模型 Astra 的內部版本取得。以 Sol API 費率計算，找出這些問題解決方案所需的 Token 總量，成本約為 2,000 美元。其後，人員使用同一模型將這些論證整理成論文手稿。之後，模型把每項論證形式化為一份 Lean 證明憑證⁠（在新視窗中開啟）。我們亦會為每項解決方案發佈模型對其思考過程的解說。

1. 高維球體堆積。球體堆積密度的新上界降至 Cohn–Elkies 閾值。
2. 二元碼和球面碼。 在任何指定最小距離下，以指數級幅度改進二元碼最大規模的界限，並就高維球面碼取得類似成果。
3. 非 sofic 群。透過一項構造證明非 sofic 群確實存在，解答群論中的一個核心未解問題。
4. Connes 剛性猜想。反證一項長期存在的猜想：某些群可由其 von Neumann 代數唯一確定。
5. 算術電路複雜度。為使用算術電路和公式計算積和式確立新的下界，其中包括 n⁴/log n 量級的算術公式下界。
6. 量子平行重複。針對一般雙人量子博弈提出指數級平行重複定理，將經典複雜度理論的一項基礎原理延伸至量子領域。
7. 最近向量問題。證明最近向量問題具有多項式因子的近似困難度；這是一項與後量子密碼學相關的基礎格問題。
8. Ehrhart 體積猜想。在每個維度中，確定重心為其唯一內部格點的凸體所能具有的最大體積。
9. 多色 Ramsey 數。為多色三角形 Ramsey 數確立超指數下界，解決 Erdős 問題 183。
10. 極值數猜想。取得極值圖論中緊緻性猜想和退化性猜想的相關成果，解決 Erdős 問題 146 和 180。

AI 系統逐漸具備為數學研究作出貢獻的能力，帶來了無法單憑一家科技公司解答的問題。各界對 AI 在數學領域應扮演的角色有不同看法；對於關注其影響的人士，包括《萊頓 AI 與數學宣言⁠（在新視窗中開啟）》的聯署人，我們深表尊重和理解。我們認為，成果署名應如實反映其產出方式：若將完全由 AI 系統生成的證明聲稱為人類著作，既會歪曲系統的貢獻，也無法真實呈現人類智力工作的本質。我們協助整理論文手稿，並在 Lean 中將證明形式化；我們對其正確性負責，而數學論證本身則由我們的系統生成。我們期望數學界深入探討這些成果，將其置於適當的學術脈絡中，並透過新的研究與發現，進一步發揮背後理念的價值。

隨着 AI 系統發展成更成熟的研究協作夥伴，確保這些系統可供廣泛使用，是支援科學家和數學家在這個變革時代探索並塑造所屬學科未來的基礎。