Matematik ve teorik bilgisayar biliminde on ilerleme

Bilim insanlarına ve matematikçilere keşifleri hızlandıran araçlar sunmak istiyoruz. Bu nedenle kısa süre önce, 100.000 bilim insanı ve matematikçiye en iyi ChatGPT modellerimize ücretsiz erişim sağlayan Akademik Araştırmacılar için ChatGPT⁠ girişimini duyurduk. Ayrıca geliştirme sürecinde modellerimizi çözülmemiş araştırma problemleri üzerinde değerlendirmeyi sürdürüyoruz.

Mayıs ayında, henüz yayımlanmamış bir modeli değerlendirirken keşfedilen ve Erdős'ün birim uzaklık varsayımını çürüten yapay zekâ üretimi bir kanıt⁠ paylaştık. Bu çalışma, matematik ve teorik bilgisayar bilimindeki yeni gelişmelere şimdiden ilham verdi¹. Bugün, her biri uzun süredir çözülmemiş bir problemi çözen veya bu problemde önemli ilerleme sağlayan on sonuçtan oluşan bir seçki paylaşıyoruz. Bu problemler yüksek boyutlu geometri, kodlama teorisi, aritmetik devre karmaşıklığı, grup teorisi, operatör cebirleri, kuantum karmaşıklığı, kafes kriptografisi ve ekstremal kombinatoriği kapsıyor. Bu problemlerin tümü ilgili matematik toplulukları açısından büyük önem taşıyor; bazıları ise matematiğin bütünü için geniş bir ilgi alanı oluşturuyor.

Aşağıdaki problemlere ilişkin yeni sonuçlar sunuyoruz. Sonuçlar, bir sonraki büyük modelimiz Astra'nın şirket içi bir sürümüyle elde edildi. Bu problemlerin çözümlerini bulmak için gereken toplam token sayısının Sol API tarifesiyle maliyeti yaklaşık 2.000 dolar olurdu. Ardından insanlar, aynı modeli kullanarak bu argümanları makale hâline getirdi. Daha sonra model, her argümanı bir Lean sertifikasıyla⁠(yeni bir pencerede açılır) biçimselleştirdi. Ayrıca her çözüm için modelin düşünme sürecini anlattığı bir metin yayımlıyoruz.

1. Yüksek boyutlu küre paketleme. Küre paketleme yoğunluğu için Cohn–Elkies eşiğine kadar inen yeni üst sınırlar.
2. İkili ve küresel kodlar: Belirlenmiş herhangi bir minimum uzaklıkta ikili kodların azami boyutuna ilişkin üstel ölçüde iyileştirilmiş sınırlar ve yüksek boyutlu küresel kodlar için benzer sonuçlar.
3. Sofik olmayan gruplar. Sofik olmayan grupların varlığını ortaya koyan ve grup teorisindeki temel bir açık soruyu ele alan bir inşa.
4. Connes'in katılık varsayımı. Belirli grupların von Neumann cebirleri tarafından benzersiz biçimde belirlendiğini öne süren köklü bir varsayımın çürütülmesi.
5. Aritmetik devre karmaşıklığı. Permanent fonksiyonunun aritmetik devreler ve formüllerle hesaplanmasına yönelik, n⁴/log n mertebesinde bir aritmetik formül alt sınırı da içeren yeni alt sınırlar.
6. Kuantum paralel tekrarı. Genel iki oyunculu kuantum oyunları için klasik karmaşıklık teorisinin temel ilkelerinden birini genişleten üstel bir paralel tekrar teoremi.
7. En yakın vektör problemi. Kuantum sonrası kriptografiyle ilişkili temel bir kafes problemi olan en yakın vektör problemi için polinom çarpanı ölçeğinde yaklaşım zorluğu.
8. Ehrhart'ın hacim varsayımı. Ağırlık merkezi, içerideki tek kafes noktası olan bir dışbükey cismin mümkün olan en büyük hacminin her boyutta belirlenmesi.
9. Çok renkli Ramsey sayıları. Çok renkli üçgen Ramsey sayıları için süper üstel bir alt sınır; Erdős'ün 183. problemini çözüyor.
10. Ekstremal sayı varsayımları. Ekstremal çizge teorisindeki kompaktlık ve dejenerasyon varsayımlarına ilişkin, Erdős'ün 146. ve 180. problemlerini çözen sonuçlar.

Matematik araştırmalarına katkıda bulunabilen sistemlerin ortaya çıkışı, bir teknoloji şirketinin tek başına yanıtlayamayacağı soruları gündeme getiriyor. Yapay zekânın matematikteki rolüne ilişkin pek çok görüş var. Yapay zekânın etkileri konusunda kaygı duyanlara, bu kapsamda Yapay Zekâ ve Matematik Üzerine Leiden Bildirgesi⁠(yeni bir pencerede açılır)'ni imzalayanlara derin saygı duyuyor ve kaygılarını anlıyoruz. Bir sonucun nasıl üretildiği, katkı beyanında dürüstçe yansıtılmalıdır. Tümüyle bir yapay zekâ sistemi tarafından oluşturulan bir kanıtın insanlara ait olduğunu ileri sürmek, hem sistemin katkısını hem de gerçek insan emeğine dayalı düşünsel çalışmanın niteliğini yanlış yansıtır. Makalelerin hazırlanmasına ve kanıtların Lean'de biçimselleştirilmesine yardımcı olduk; doğruluklarının sorumluluğunu üstleniyoruz. Matematiksel argümanları ise sistemimiz oluşturdu. Matematik topluluğunun bu sonuçları derinlemesine incelemesini, bağlamına oturtmasını ve bunların ardındaki fikirleri yeni araştırma ve keşiflerle hayata geçirmesini umuyoruz.

Yapay zekâ sistemleri daha gelişmiş araştırma ortaklarına dönüşürken, bilim insanları ve matematikçilerin bu dönüştürücü çağda alanlarının geleceğine yön verip onu tanımlayabilmelerini desteklemek için geniş erişim sağlamak temel önem taşıyor.