Navier–Stokes Milenyum Ödülü Problemi Üzerine

Milenyum Ödülü Problemleri’nden biri olan Navier–Stokes varlık ve düzgünlük problemine yönelik bir çözümü paylaşıyoruz. OpenAI’ın şirket içi bir sistemi tarafından üretilen bu kanıt, akışkan hareketini tanımlayan Navier–Stokes denklemlerinin dinamiklerinde sonlu sürede tekillik oluşabileceğini gösteriyor. Hem kanıtın açıklamasını hem de Lean’deki biçimselleştirmesini paylaşıyoruz.

Milenyum Ödülü Problemleri⁠(yeni bir pencerede açılır), matematiğin en üst seviyesindeki en derin sorulardan bazılarıdır. Düzgün üç boyutlu akışkan hareketinin bozulup bozulamayacağı yaklaşık 90 yıldır çözülememiştir.

Çalışmalarımızın temel amaçlarından biri, bilim insanlarının tüm insanlığa fayda sağlayan araştırma ve teknolojileri ilerletmesine olanak tanımaktır. Navier–Stokes problemini çözmek için GPT‑6 Astra’dan çok daha yetenekli şirket içi bir model kullandık. Yapay zekadaki ilerlemenin hızı ve gelecek modellerden neler beklenebileceği konusunda dünyayı bilgilendirmenin önemli olduğuna inanıyoruz.

Navier–Stokes denklemleri, akışkanların nasıl hareket ettiğini açıklamak için Newton’ın ikinci hareket yasasını (“F=ma”) kullanır. Önemli bir nokta, tek tek molekülleri izlemek yerine akışkanı sürekli bir ortam olarak ele almalarıdır. Bu denklemler uçak tasarımında, hava tahmininde ve kan akışının incelenmesinde kullanılır.

Bu dinamik denklemlerle ilgili temel açık sorulardan biri, akışkanın sürekli ortam yaklaşımının bozulup bozulamayacağıdır. Daha açık ifadeyle, sabit yoğunluklu, üç boyutlu ve sıkıştırılamaz bir akışkana ait Navier–Stokes denklemlerinde, hareket düzgün başlasa bile bir “tekillik” oluşabilir mi? Burada tekillik, dinamiklerin akışkan içindeki hızları sonlu bir süre içinde sınırsız biçimde artırması anlamına gelir. Tekillik, hareketi düzgünleştirme eğilimindeki viskoziteye rağmen oluşmak zorundadır. Gerçek bir akışkan sonsuz hızda hareket edemeyeceğinden bu durum, denklemlerin akışkanı modelleme biçiminin bozulduğunu gösterir. Sistemi modellemeyi sürdürmek için bundan sonra her parçacığın davranışını ayrı ayrı izlemek gerekir.

Denklemlerin kökeni, Claude-Louis Navier ve George Gabriel Stokes’un 19. yüzyıldaki çalışmalarına dayanır. Jean Leray 1934’te çözümlerin genelleştirilmiş anlamda var olduğunu kanıtladı; ancak bunların her zaman düzgün kalıp kalmadığı, yanıtlanmamış temel bir soru hâline geldi. Clay Matematik Enstitüsü, 2000 yılında Navier–Stokes varlık ve düzgünlük problemini yedi Milenyum Ödülü Problemi’nden biri ilan etti.

Sistemimiz, başlangıçta hareketsiz ve düzgün bir akışkanda sonlu sürede tekillik oluşabileceğini gösteren analitik bir kanıt ve Lean biçimselleştirmesi üretti. Akışkana düzgün bir kuvvet uygulanıyor ve enerjisi, hareketsizlikten tekilliğin oluşumuna kadar tüm dinamik boyunca sonlu kalıyor. Bu çözüm, resmî Milenyum Ödülü formülasyonundaki⁠(yeni bir pencerede açılır) “C” (ve ayrıca “D”) önermesini kanıtlayarak Navier–Stokes Milenyum Ödülü Problemi’ni çözüyor.

Çözüm, spagetti gibi içe doğru sarmal çizerek giderek uzayan, dönel bir akışkan girdabıdır. Bu merkezî bölge küçülürken hızlanır; ancak enerjisi, fizik yasalarının gerektirdiği gibi sonlu kalır. Teknik güçlük, bozulmanın örneğin elle sonsuz bir kuvvet eklenmesiyle değil, akışkanın kendi hareketi yoluyla denklemlerde ortaya çıkmasını sağlamaktır. Daha matematiksel bir ifadeyle, Navier–Stokes denklemlerinde hareketi tanımlayan terimler —ivme, basınç gradyanları, momentum aktarımı ve viskozite— hem büyümeli hem de hassas biçimde birbirini götürmelidir. Bu hassas denge, akışkanın hızı sınırsız biçimde artarken bile dış kuvvetin düzgün kalmasını sağlar.

28 Ağustos’tan bu yana, matematik dâhil karşılaştırmalı değerlendirmelerimizde benzeri görülmemiş performans sergileyen yeni bir şirket içi model eğitiyoruz. Bu modelin eğitimi sürüyor ve performansı gelişmeye devam ediyor.

1 Eylül Salı günü, iki Milenyum Ödülü Problemi’nin çözüldüğüne dair söylentiler duyduk. Bu söylentilerden ve şirket içi modelimizin performansındaki sıçramadan ilham alarak modeli tüm açık Milenyum Ödülü Problemleri ile yüksek etkili birkaç başka problemde değerlendirmeye başladık.

Şirket içi modelimizle çalışan, koordineli ajanlardan oluşan bir sistem kullandık. Ajanlar, internetin önbelleğe alınmış bir sürümünü okuma ve kod çalıştırma gibi araçlara erişebiliyordu. Ajanlar, kendi içlerinde iletişim kurabilen gruplara ayrıldı. Grupların büyüklükleri değişiyordu; Navier–Stokes çözümünü üreten grupta yaklaşık 10.000 eşzamanlı ajan yer aldı. İzleme ve izolasyon dâhil, tüm en üst seviye model değerlendirmelerimizde uyguladığımız sıkı güvenlik önlemlerini süreç boyunca koruduk.

Her problem için farklı ajan gruplarına, problemin tüm çeşitlerini kapsayan farklı ifade biçimleri sunduk. Navier–Stokes problemi için ayrı ajan gruplarına “A” ve “B” sürümlerini (kanıtla sonuçlanacak özel problem biçimleri) ve “C” ile “D” sürümlerini (çürütmeyle sonuçlanacak biçimler) sunduk.

Milenyum Ödülü Problemleri’nin tam hâllerine ek olarak, çok ajanlı sistemimizden bir dizi “daha kolay” problemi denemesini istedik. Bunlardan biri, Navier–Stokes probleminden viskozite teriminin çıkarıldığı limitteki benzer bir patlama sorusuydu. Bu soru Euler denklemlerinin düzenlilik problemi olarak bilinir; ajanlarımız bu soruyu çözerek bizi şaşırttı. Çözdükleri özel biçim, akışkana dış kuvvet uygulanmayan kuvvetsiz sürümdü. Yaklaşık 100 ajan, Euler düzenliliğini çürüten kanıtımızı üretmek için yaklaşık 50 saat birlikte çalıştı¹.

Euler çözümünü gördüğümüzde üzerinde çalışılabilecek en umut verici problemin Navier–Stokes olduğunu düşündük. Bu nedenle kaynaklarımızı Navier–Stokes’a ayırmaya karar verdik. Bunun için ajanları diğer Milenyum Problemleri’nden çekip onlara Euler çözümünü sunduk. Çalışma sırasında şirket içi modelimizin daha fazla eğitilmiş bir sürümü kullanıma sunulunca ajanlarımızı bu modele geçirdik.

Farklı ajan gruplarını çeşitli yaklaşımları araştırmaya teşvik ettik. Bir süre sonra Codex’i kullanarak her ajan grubunun en yararlı bulgularını birleştirdik ve gruplar arasında bilgi alışverişi sağladık. Bu takip istemleri, ajanların kendi ara sonuçlarından yararlandı. Navier–Stokes çözümünü bulan grup bu şekilde yönlendirildi.

Ajanlar, ilk ajanların başlatılmasından yaklaşık 88 saat sonra, 5 Eylül Cumartesi günü çözüme ulaştı. Lean biçimselleştirmesi ve doğrulaması, GPT‑6 Astra aracılığıyla 17 saat daha sürdü.

Denenen tüm problemlerde ajanlar 4,9 milyon mesaj gönderdi ve yaklaşık 300 milyar çıktı tokenı kullandı. Navier–Stokes problemini çözme sürecinde ajanlar 2,7 milyon mesaj gönderdi ve yaklaşık 130 milyar çıktı tokenı kullandı.

Çalışmamız 1 Eylül’de, sonradan Anthropic çalışanı Levent Alpöge ve NYU matematik profesörü Tristan Buckmaster ile ilgili olduğunu anladığımız bir söylentinin ardından başladı.² Projemizin ve Lean doğrulamasının tamamlanmasından sonra (6 Eylül’de), söylenti nedeniyle onların da Navier–Stokes çözümü olduğunu düşünerek sonucumuzu eşzamanlı yayımlamayı önermek ve ortak bir duyuruda önceliklerini tanımak üzere kendileriyle iletişime geçtik. O noktada, şirket içi bir Anthropic modeli kullanarak kuvvet uygulanmış Euler problemini çözdüklerini öğrendik. Bu görüşmelerde kullandığımız tüm istemleri ve daha sonra kanıtı kendileriyle paylaşmayı teklif ettik. Kuvvet uygulanmış Euler konusundaki çalışmalarının önceliğini kabul ediyor ve bu olağanüstü matematiksel başarılarından dolayı onları kutluyoruz.

Biz (araştırmacılar ve ajanlar), onlar çalışmalarını kamuya açıklayana kadar hiçbir yolla bu çalışmalardan herhangi birini görmedik; özellikle bu problemi çözmek amacıyla hiçbir belirli kullanıcı verisine erişilmedi.

Yaptığımız inceleme sonucunda, Buckmaster’ın 8 Eylül 2026 tarihli duyuru ve makaleden önceki iki ay boyunca Codex’e verdiği istemlerin, eğitim dâhil hiçbir yolla sistemi etkileyemeyeceğini doğruladık. Bu sonuçta kullanılan OpenAI şirket içi modeli, önceden eğitilmiş bir model üzerine büyük ölçekli pekiştirmeli öğrenme uygulanarak geliştirildi. Kanıtlarımız da önemli ölçüde farklıdır. Euler durumunda Alpöge ve Buckmaster dış kuvvet içeren bir sonucu, OpenAI sistemi ise dış kuvvet içermeyen bir sonucu kanıtladı.

Bu sonucu yayımlamaktaki amacımız, yapay zeka modellerimizin kaydettiği önemli ilerlemeyi bildirmektir. Bu sonuçla Milenyum Ödülü’nü talep etmeyi düşünmüyoruz.

Bu dönüm noktası, matematikçilerin ve yapay zeka araştırmacılarının önemli çalışmalarını temsil ediyor. Ancak bu bir nihai nokta değil, yapay zeka geliştirme sürecindeki ilerlemenin belirli bir andaki görüntüsüdür.

Artık yapay zeka ilerlemesinin bir sonraki döneminde olduğumuza inanıyoruz⁠ ve bugünkü sonuçlar bunu destekleyen yeni kanıtlar sunuyor. Bu modeli anlamaya ve öğrendiklerimizi, yeteneklerdeki yeni ilerlemeleri nasıl yönlendireceğimizi ve hızını nasıl ayarlayacağımızı belirlemekte kullanmaya odaklanıyoruz. Temel hedeflerimizden biri⁠, yönlendirilebilir, hesap verebilir ve insanlarla bağlantılı yapay zeka sistemleri geliştirmektir. AGI (genel yapay zeka)’nin tüm insanlığa fayda sağlamasını güvence altına alma misyonumuzu sürdürürken bu hedef, ilerleme hızı konusunda daha bilinçli seçimler yapmamızı gerektirebilir.