Bir OpenAI modeli, ayrık geometride merkezi bir varsayımı çürüttü

Yaklaşık 80 yıldır matematikçiler aldatıcı derecede basit bir soruyu inceliyor: düzleme $n$ nokta yerleştirirseniz, kaç nokta çifti tam olarak $1$ uzaklıkta olabilir?

Bu problem, ilk kez 1946'da Paul Erdős tarafından ortaya atılan düzlemsel birim uzaklık problemidir. Kombinatoryal geometrinin en bilinen sorularından biridir: İfade etmesi kolay, çözmesi ise son derece zordur. Brass, Moser ve Pach'ın 2005 tarihli Research Problems in Discrete Geometry adlı kitabında bu problem, "kombinatoryal geometride muhtemelen en iyi bilinen (ve açıklaması en kolay) problem" olarak tanımlanır. Princeton'da önde gelen bir kombinatoryalist olan Noga Alon, bu problemi "Erdős'ün en sevdiği problemlerden biri" olarak tanımlıyor. Erdős, bu problemi çözen kişiye para ödülü bile teklif etmişti.

Bugün, birim uzaklık problemiyle ilgili bir atılımı paylaşıyoruz. Erdős'ün özgün çalışmasından bu yana, aşağıda gösterilen “kare ızgara” yapılarının birim uzaklıktaki çiftlerin sayısını en üst düzeye çıkarmak için esasen optimal olduğuna inanılıyordu. Dahili bir OpenAI modeli, polinomsal bir iyileşme sağlayan sonsuz bir örnek ailesi sunarak bu uzun süredir kabul gören varsayımı çürüttü. İspat, dışarıdan bir matematikçi grubu tarafından kontrol edildi. Ayrıca argümanı açıklayan ve sonucun önemine dair ek arka plan ve bağlam sunan ek bir makale de yazdılar.

Sonuç, bulunma biçimi açısından da dikkat çekicidir. İspat, özellikle matematik için eğitilmiş, ispat stratejileri arasında arama yapacak şekilde yapılandırılmış ya da özel olarak birim uzaklık problemine hedeflenmiş bir sistemden değil, yeni ve genel amaçlı bir akıl yürütme modelinden geldi. Gelişmiş modellerin en üst seviye araştırmalara katkı sağlayıp sağlayamayacağını test etmeye yönelik daha geniş bir çabanın parçası olarak, onu Erdős problemlerinden oluşan bir koleksiyon üzerinde değerlendirdik. Bu durumda, açık problemi çözen bir ispat üretti.

Bu ispat, matematik ve yapay zeka toplulukları için önemli bir dönüm noktasıdır. Bu, matematiğin bir alt alanının merkezindeki öne çıkan bir açık problemin ilk kez yapay zeka tarafından otonom şekilde çözülmesine işaret ediyor. Ayrıca bu sistemlerin artık desteklediği akıl yürütmenin derinliğini de gösteriyor. Matematik, akıl yürütme için özellikle net bir test ortamı sunar: problemler kesindir, olası ispatlar kontrol edilebilir ve uzun bir argüman ancak akıl yürütme baştan sona tutarlıysa işe yarar. Problemin çözülme yöntemi de ayrıca dikkat çekicidir. İspat, cebirsel sayı teorisinden gelen beklenmedik ve sofistike fikirleri temel bir geometrik soruya uygular.

Ek makalenin yazarlarından Fields Madalyası sahibi Tim Gowers, sonucu "yapay zeka matematiğinde bir dönüm noktası" olarak nitelendiriyor. Önde gelen sayı kuramcısı Arul Shankar ise şöyle diyor: "Bana göre bu makale, mevcut yapay zeka modellerinin insan matematikçilere yalnızca yardımcı olmanın ötesine geçtiğini gösteriyor. Bu modeller özgün ve dahiyane fikirler üretebiliyor, ardından bu fikirleri sonuca ulaştırabiliyor."

İspata buradan⁠(yeni bir pencerede açılır) ulaşabilirsiniz. Bu konuya ilişkin önde gelen bağımsız matematikçiler tarafından hazırlanan makaleye buradan⁠(yeni bir pencerede açılır) ulaşabilirsiniz. Modelin düşünme zincirinin kısaltılmış bir versiyonunu burada⁠(yeni bir pencerede açılır) bulabilirsiniz.

Düzlemdeki $n$ nokta arasında bulunabilecek en fazla birim uzaklık çifti sayısı $u(n)$ olsun. Doğrusal büyüme oranına ulaşan örnekler kolayca oluşturulabilir: $n$ nokta bir doğru üzerine yerleştirildiğinde $n-1$ çift elde edilirken, kare ızgara yaklaşık $2n$ çift verir. Yeniden ölçeklendirilmiş kare ızgaraya dayanan ve daha önce bilinen en iyi oluşturma yönteminin ise bundan daha fazlasını sağladığı ortaya çıkar: Bir $C$ sabiti için $n^{1 + C / \log \log(n)}$. $\log \log(n)$, $n$ ile birlikte sonsuza gittiğinden, üstteki ek terim $0$ değerine yaklaşır. Bu da bu oluşturma yöntemlerinin doğrusal büyümeden yalnızca biraz daha hızlı bir büyüme sağladığı anlamına gelir. Onlarca yıl boyunca bu oranın esasen mümkün olan en iyi oran olduğu ve hiçbir yapının kare ızgaraya göre anlamlı bir iyileşme sağlayamayacağı yaygın olarak düşünülüyordu. Teknik olarak Erdős, $n$ ile birlikte $0$ değerine yaklaşan bir terimi ifade eden $o(1)$ ek terimiyle, $n^{1+o(1)}$ biçiminde bir üst sınır olduğunu öne sürmüştü.

Yeni sonucumuz bu varsayımı çürütüyor. Daha kesin olarak ispat, sonsuz sayıda $n$ değeri için sabit bir $\delta > 0$ üssüyle en az $n^{1+\delta}$ birim uzaklık çifti içeren $n$ noktalı konfigürasyonlar oluşturuyor. (Özgün yapay zeka ispatı, açık bir $\delta$ değeri vermiyor, ancak Princeton matematik profesörü Will Sawin'in yakında yayınlanacak iyileştirmesiyle $\delta=0.014$ alınabileceği gösterildi.)

Problemin tarihçesi, sonucun neden şaşırtıcı olduğunu anlamaya yardımcı olur. Bilinen en iyi alt sınır, Erdős'ün 1946 tarihli özgün oluşturma yönteminden bu yana temelde değişmeden kalmıştı. Bilinen en iyi üst sınır olan $O(n^{4/3})$; Spencer, Szemerédi ve Trotter'ın 1984 tarihli çalışmasına dayanır. Sékely, Katz ve Silier, Pach, Raz ve Solymosi gibi araştırmacıların daha sonra yaptığı iyileştirmelere ve ilgili yapısal çalışmalara rağmen üst sınır temelde değişmemiştir. Varsayımı destekleyen bir kanıt olarak Matoušek ve Alon-Bucić-Sauermann, problemi düzlemde Öklidyen olmayan uzaklıklar üzerinden incelemiş ve bu Öklidyen olmayan uzaklıkların "çoğunun" varsayımla bir anlamda uyumlu olduğunu kanıtlamıştır.

Şaşırtıcı biçimde, oluşturma yönteminin temel bileşenleri, matematiğin çok farklı bir alanından, yani cebirsel sayı teorisinden gelir. Bu alan, cebirsel sayı cisimleri olarak bilinen tam sayı genişlemelerinde çarpanlara ayırma gibi kavramları inceler.

İspat, genel hatlarıyla tanıdık bir geometrik fikirden yola çıkıyor ve bu fikri beklenmedik bir yöne taşıyor.

Erdős'ün özgün alt sınırı, Gauss tamsayıları üzerinden anlaşılabilir. Bunlar, $a+bi$ biçimindeki sayılardır; burada $a$ ve $b$ tamsayı, $i$ ise $-1$ değerinin kareköküdür. Gauss tamsayıları, sıradan tamsayıların kapsamını genişletir ve onlar gibi asal çarpanlara tekil ayrışım gibi özelliklere sahiptir. Sıradan tamsayıların ya da rasyonel sayıların bu tür uzantıları, cebirsel sayı cisimleri olarak bilinir. Yeni argüman, Gauss tamsayılarının yerine cebirsel sayı teorisinden gelen daha karmaşık genellemeleri kullanır. Daha zengin simetrilere sahip olan bu yapılar, çok daha fazla birim uzunlukta fark oluşturabilir.

Kesin argüman, sonsuz sınıf cisim kuleleri ve Golod–Shafarevich teorisi gibi araçları kullanarak, argüman için gereken sayı cisimlerinin gerçekten var olduğunu gösteriyor. Bu fikirler cebirsel sayı kuramcıları tarafından iyi biliniyordu, ancak bu kavramların Öklid düzlemindeki geometrik sorular için sonuçlar doğurması büyük bir sürpriz oldu.

Bu sonuç, yapay zeka ile matematik arasındaki etkileşim açısından önemli bir ana işaret ediyor: Bir yapay zeka sistemi, aktif bir araştırma alanının merkezinde yer alan ve uzun süredir açık olan bir problemi otonom biçimde çözdü. Ayrıca yapay zeka ile insan matematikçiler arasında ortaya çıkabilecek yeni bir iş birliği biçimine dair erken bir örnek sunuyor. Bu örnekte, bağımsız matematikçilerin sonuca ilişkin çalışması, özgün çözümün tek başına sunduğundan çok daha kapsamlı bir tablo ortaya koyuyor.

Thomas Bloom'un eşlik eden notta yazdığı gibi:

“Yapay zeka tarafından üretilen bir ispatın önemini ve etkisini değerlendirirken kendime şu soruyu soruyorum: Bu ispat bize problem hakkında yeni bir şey öğretti mi? Ayrık geometriyi artık daha iyi anlıyor muyuz? Bence yanıt, temkinli bir evet. Bu sonuç, sayı kuramsal oluşturma yöntemlerinin bu tür sorular hakkında tahmin ettiğimizden çok daha fazla şey söyleyebileceğini gösteriyor. Üstelik gerekli sayı teorisinin çok derin olabileceğini de ortaya koyuyor. Kuşkusuz önümüzdeki aylarda birçok cebirsel sayı kuramcısı, ayrık geometrideki diğer açık problemlere daha yakından bakacaktır.”

Çözümün ortaya çıkardığı cebirsel sayı teorisi ile ayrık geometri arasındaki beklenmedik bağlantı, sonucu dikkat çekici kılan unsurlardan biridir. Bu, yalnızca belirli bir varsayımı sonuçlandırmakla kalmıyor; matematikçilere daha fazla ilişkili problemi keşfetmeye başlamak için bir köprü de sağlayabilir.

Bloom ayrıca daha geniş bir olasılığa da işaret ediyor:

“Bilginin sınırları çok keskin çıkıntılara sahiptir. Kuşkusuz önümüzdeki aylar ve yıllarda, matematiğin daha birçok alanında benzer başarılar göreceğiz: Uzun süredir çözülmemiş olan problemler, beklenmedik bağlantıları ortaya çıkaran ve mevcut teknik araçları sınırlarına kadar zorlayan yapay zeka sayesinde çözülecek. Yapay zeka, yüzyıllar boyunca inşa ettiğimiz matematik katedralini daha eksiksiz keşfetmemize yardımcı oluyor. Perde arkasında bizi bekleyen başka hangi görünmeyen harikalar var?”

Bu sonuç umut verici bir örnek sunuyor: Yapay zeka yalnızca bir çözüm üretmekle kalmıyor, insan matematikçilerin katkısıyla önemi daha açık ve daha zengin hale gelen bir matematiksel keşfe de imza atıyor.

Bu sonuçtan çıkarılacak ders, tek bir matematiksel buluşun ötesine geçiyor. Daha güçlü matematiksel akıl yürütme, yapay zekayı daha etkili bir araştırma ortağı haline getirebilir: Zorlu düşünce süreçlerini bir arada tutabilen, bilginin uzak alanları arasında bağlantılar kurabilen, uzmanların öncelik vermemiş olabileceği umut vadeden yolları ortaya çıkarabilen ve araştırmacıların aksi halde ele alınamayacak kadar karmaşık ya da zaman alıcı problemler üzerinde ilerleme kaydetmesine yardımcı olabilen bir ortak.

Bu yetenekler matematiğin ötesinde de önem taşır. Bir model karmaşık bir argümanı tutarlı biçimde sürdürebiliyor, bilginin uzak alanları arasında bağlantılar kurabiliyor ve uzman incelemesinden geçebilecek çalışmalar üretebiliyorsa, bu yetenekler biyoloji, fizik, malzeme bilimi, mühendislik ve tıp gibi alanlarda da değerli olabilir. Aynı zamanda bu yetenekler, daha otomatik araştırmaya uzanan uzun vadeli yolumuzun da bir parçasıdır: Bilim insanlarının ve mühendislerin daha fazla fikri keşfetmesine ve daha zorlu teknik soruların peşinden gitmesine yardımcı olabilecek sistemler geliştirmek.

Yapay zeka, araştırmanın yaratıcı aşamalarında ve en önemlisi yapay zeka araştırmasının kendisinde çok daha önemli bir rol üstlenmeye hazırlanıyor. Bu ilerleme beklenmedik olmasa da, yapay zeka gelişiminin bu yeni aşamasını, çok zeki sistemleri uyumlandırmanın zorluklarını ve insan-yapay zeka iş birliğinin geleceğini anlama konusundaki aciliyet duygumuzu güçlendiriyor.

Yine de bu gelecek, insan muhakemesine bağlı. Uzmanlık daha az değil, daha değerli hale geliyor. Yapay zeka, aramaya, önermeye ve doğrulamaya yardımcı olabilir. İnsanlar hangi problemlerin önemli olduğunu seçer, sonuçları yorumlar ve sırada hangi soruların izleneceğine karar verir.