గణితం, సైద్ధాంతిక కంప్యూటర్ సైన్స్‌లో పది పురోగతులు

ఆవిష్కరణలను వేగవంతం చేసే సాధనాలతో శాస్త్రవేత్తలు, గణిత శాస్త్రవేత్తలకు సాధికారత కల్పించాలని మేము కోరుకుంటున్నాం. అందుకే మా అత్యుత్తమ ChatGPT మోడల్‌లను 100,000 మంది శాస్త్రవేత్తలు, గణిత శాస్త్రవేత్తలు ఉచితంగా ఉపయోగించుకునేలా చేసే విద్యా పరిశోధకుల కోసం ChatGPT⁠ కార్యక్రమాన్ని ఇటీవల ప్రకటించాం. అభివృద్ధి సమయంలో పరిష్కారం కాని బహిరంగ పరిశోధన సమస్యలపై మా మోడల్‌లను మూల్యాంకనం చేయడం కూడా కొనసాగిస్తున్నాం.

మేలో, విడుదల కాని ఒక మోడల్‌ను మూల్యాంకనం చేస్తున్నప్పుడు కనుగొన్న ఎర్డోష్ ఏకక-దూర పరికల్పనకు సంబంధించిన కృత్రిమ మేధ రూపొందించిన ఖండనను⁠ పంచుకున్నాం. ఈ కృషి ఇప్పటికే గణితం, సైద్ధాంతిక కంప్యూటర్ సైన్స్‌లలో తదుపరి పురోగతులకు ప్రేరణనిచ్చింది¹. దీర్ఘకాలంగా పరిష్కారం కాని ఒక్కో సమస్యను పరిష్కరించిన లేదా దానిపై గణనీయమైన పురోగతి సాధించిన పది ఫలితాలను నేడు పంచుకుంటున్నాం. ఈ సమస్యలు అధిక-డైమెన్షనల్ జ్యామితి, కోడింగ్ సిద్ధాంతం, అంకగణిత సర్క్యూట్ సంక్లిష్టత, సమూహ సిద్ధాంతం, Operator ఆల్జీబ్రాలు, క్వాంటం సంక్లిష్టత, లాటిస్ క్రిప్టోగ్రఫీ, విపరీత సంయోజకశాస్త్రం వంటి రంగాలకు విస్తరించాయి. ఈ సమస్యలన్నీ సంబంధిత గణిత సముదాయాలకు ఎంతో ఆసక్తికరమైనవి. వాటిలో అనేకం గణిత రంగమంతటికీ విస్తృతంగా ఆసక్తి కలిగించేవి.

కింది సమస్యలకు సంబంధించి కొత్త ఫలితాలను అందిస్తున్నాం. మా తదుపరి ప్రధాన మోడల్ అయిన ఆస్ట్రా అంతర్గత సంస్కరణ ఈ ఫలితాలను సాధించింది. ఈ సమస్యలకు పరిష్కారాలను కనుగొనడానికి అవసరమైన మొత్తం టోకెన్‌లకు సోల్ ఏపీఐ ధరల ప్రకారం సుమారు $2,000 ఖర్చవుతుంది. ఆ తర్వాత అదే మోడల్‌ను ఉపయోగించి మనుషులు ఈ వాదనలను పరిశోధనా పత్రాలుగా రూపొందించారు. అనంతరం, మోడల్ ప్రతి వాదనను ఒక లీన్ ధ్రువపత్రంగా⁠(కొత్త విండోలో తెరుచుకుంటుంది) లాంఛనీకరించింది. ప్రతి పరిష్కారానికీ మోడల్ తన ఆలోచనా ప్రక్రియను వివరించిన కథనాన్ని కూడా విడుదల చేస్తున్నాం.

1. అధిక-డైమెన్షనల్ గోళాల ప్యాకింగ్. కోన్–ఎల్కీస్ పరిమితి వరకు గోళాల ప్యాకింగ్ సాంద్రతకు కొత్త ఎగువ హద్దులు.
2. ద్విమాన, గోళాకార కోడ్‌లు: నిర్దేశించిన ఏ కనిష్ఠ దూరానికైనా ద్విమాన కోడ్‌ల గరిష్ఠ పరిమాణంపై ఘాతీయంగా మెరుగైన హద్దులు, అలాగే అధిక-డైమెన్షనల్ గోళాకార కోడ్‌లకు సమానమైన ఫలితాలు.
3. సోఫిక్ కాని సమూహాలు. సమూహ సిద్ధాంతంలోని కీలకమైన పరిష్కారం కాని ప్రశ్నకు సమాధానమిస్తూ, సోఫిక్ కాని సమూహాలు ఉనికిలో ఉన్నాయని నిర్ధారించే నిర్మాణం.
4. కాన్స్ దృఢత్వ పరికల్పన. కొన్ని సమూహాలను వాటి వాన్ న్యూమాన్ ఆల్జీబ్రాలు అద్వితీయంగా నిర్ధారిస్తాయనే దీర్ఘకాల పరికల్పనకు ఖండన.
5. అంకగణిత సర్క్యూట్ సంక్లిష్టత. అంకగణిత సర్క్యూట్‌లు, సూత్రాలను ఉపయోగించి పర్మనెంట్‌ను గణించడానికి కొత్త దిగువ హద్దులు. వీటిలో n⁴/log n క్రమానికి చెందిన అంకగణిత-సూత్ర దిగువ హద్దు కూడా ఉంది.
6. క్వాంటం సమాంతర పునరావృత్తి. సాంప్రదాయ సంక్లిష్టత సిద్ధాంతంలోని మౌలిక సూత్రాన్ని విస్తరిస్తూ, సాధారణ ఇద్దరు ఆటగాళ్ల క్వాంటం ఆటలకు ఘాతీయ సమాంతర పునరావృత్తి సిద్ధాంతం.
7. అత్యంత సమీప సదిశ సమస్య. క్వాంటం అనంతర క్రిప్టోగ్రఫీకి సంబంధించిన మౌలిక లాటిస్ ప్రశ్న అయిన అత్యంత సమీప సదిశ సమస్యకు బహుపది-గుణక ఉజ్జాయింపు కాఠిన్యం.
8. ఎర్హార్ట్ ఘనపరిమాణ పరికల్పన. ప్రతి డైమెన్షన్‌లోనూ, తన కేంద్రకం మాత్రమే అంతర్గత లాటిస్ బిందువుగా ఉండే కుంభాకార వస్తువుకు సాధ్యమయ్యే గరిష్ఠ ఘనపరిమాణాన్ని నిర్ధారించడం.
9. బహువర్ణ రామ్సే సంఖ్యలు. ఎర్డోష్ సమస్య 183ను పరిష్కరిస్తూ, బహువర్ణ త్రిభుజ రామ్సే సంఖ్యలకు అతిఘాతీయ దిగువ హద్దు.
10. విపరీత సంఖ్యా పరికల్పనలు. ఎర్డోష్ సమస్యలు 146, 180లను పరిష్కరిస్తూ, విపరీత గ్రాఫ్ సిద్ధాంతంలోని సాంద్రత, క్షీణత పరికల్పనలపై ఫలితాలు.

గణిత పరిశోధనకు తోడ్పడగల వ్యవస్థల ఆవిర్భావం, ఒక సాంకేతిక సంస్థ మాత్రమే సమాధానం ఇవ్వలేని ప్రశ్నలను లేవనెత్తుతోంది. గణితంలో కృత్రిమ మేధ పాత్రపై అనేక అభిప్రాయాలు ఉన్నాయి. దాని ప్రభావం గురించి ఆందోళన చెందుతున్న వారిని, అలాగే కృత్రిమ మేధ, గణితంపై లైడెన్ ప్రకటనపై⁠(కొత్త విండోలో తెరుచుకుంటుంది) సంతకం చేసిన వారిని మేము ఎంతో గౌరవిస్తున్నాం, వారి ఆందోళనలను అర్థం చేసుకుంటున్నాం. ఒక ఫలితం ఎలా రూపొందిందో కర్తృత్వ గుర్తింపు నిజాయతీగా ప్రతిబింబించాలని మేము విశ్వసిస్తున్నాం. పూర్తిగా కృత్రిమ మేధ వ్యవస్థ రూపొందించిన నిరూపణకు మానవ కర్తృత్వాన్ని ప్రకటించడం, ఆ వ్యవస్థ తోడ్పాటునూ నిజమైన మానవ మేధోకృషి స్వభావాన్నీ తప్పుగా చూపిస్తుంది. పరిశోధనా పత్రాలను సిద్ధం చేయడంలో, నిరూపణలను లీన్‌లో లాంఛనీకరించడంలో మేము సహాయపడ్డాం. వాటి సరైనతకు బాధ్యత వహిస్తున్నాం. అయితే గణిత వాదనలను మా వ్యవస్థే రూపొందించింది. గణిత సముదాయం ఈ ఫలితాలను లోతుగా పరిశీలించి, వాటిని సందర్భానుసారంగా అర్థం చేసుకుని, వాటి వెనుక ఉన్న ఆలోచనలకు కొత్త పరిశోధనలు, ఆవిష్కరణల ద్వారా ప్రాణం పోస్తుందని ఆశిస్తున్నాం.

కృత్రిమ మేధ వ్యవస్థలు మరింత అధునాతన పరిశోధన సహకారులుగా పరిణమిస్తున్న ఈ పరివర్తనాత్మక యుగంలో, శాస్త్రవేత్తలు, గణిత శాస్త్రవేత్తలు తమ రంగాల భవిష్యత్తును అన్వేషించి, నిర్వచించేందుకు తోడ్పడటంలో విస్తృత ప్రాప్యతను నిర్ధారించడం మౌలికమైనది.