నావియర్–స్టోక్స్ సహస్రాబ్ది బహుమతి సమస్య గురించి

సహస్రాబ్ది బహుమతి సమస్యల్లో ఒకటైన నావియర్–స్టోక్స్ అస్తిత్వం, సున్నితత్వం సమస్యకు పరిష్కారాన్ని పంచుకుంటున్నాం. OpenAI అంతర్గత వ్యవస్థ రూపొందించిన ఈ నిరూపణ, ద్రవ చలనానికి సంబంధించిన నావియర్–స్టోక్స్ సమీకరణాల గతిశీలత పరిమిత సమయంలో సింగ్యులారిటీని సృష్టించగలదని చూపుతుంది. నిరూపణ వివరణతోపాటు Leanలో దాని లాంఛనీకరణను కూడా పంచుకుంటున్నాం.

సహస్రాబ్ది బహుమతి సమస్యలు⁠(కొత్త విండోలో తెరుచుకుంటుంది) అత్యాధునిక గణితశాస్త్రంలోని అత్యంత లోతైన ప్రశ్నల్లో కొన్ని. సున్నితమైన త్రిమితీయ ద్రవ చలనం విచ్ఛిన్నం కాగలదా అనే ప్రశ్న దాదాపు 90 ఏళ్లుగా పరిష్కారం కాలేదు.

మానవాళి అంతటికీ ప్రయోజనం చేకూర్చే పరిశోధన, సాంకేతికతను ముందుకు తీసుకెళ్లేందుకు శాస్త్రవేత్తలను శక్తిమంతం చేయడం మా ప్రధాన లక్ష్యం. నావియర్–స్టోక్స్ సమస్యను పరిష్కరించేందుకు GPT‑6 Astra కంటే ఎంతో సామర్థ్యవంతమైన అంతర్గత మోడల్‌ను ఉపయోగించాం. AI పురోగతి వేగం, రాబోయే మోడల్స్ నుంచి ఆశించదగిన విషయాల గురించి ప్రపంచానికి తెలియజేయడం ముఖ్యమని మేము నమ్ముతున్నాం.

ద్రవాలు ఎలా కదులుతాయో వివరించేందుకు నావియర్–స్టోక్స్ సమీకరణాలు న్యూటన్ రెండో చలన నియమాన్ని (“F=ma”) ఉపయోగిస్తాయి. ముఖ్యంగా, అవి ఒక్కో అణువును అనుసరించకుండా ద్రవాన్ని నిరంతర మాధ్యమంగా పరిగణిస్తాయి. ఈ సమీకరణాలను విమాన రూపకల్పన, వాతావరణ అంచనా, రక్తప్రవాహ అధ్యయనంలో ఉపయోగిస్తారు.

ద్రవానికి చేసే నిరంతర మాధ్యమ ఉజ్జాయింపు విచ్ఛిన్నం కాగలదా అనేది ఈ గతిశీల సమీకరణాలకు సంబంధించిన ప్రాథమిక అపరిష్కృత ప్రశ్న. ముఖ్యంగా, స్థిర సాంద్రతగల త్రిమితీయ అసంపీడనీయ ద్రవ చలనం సున్నితంగా మొదలైనా, నావియర్–స్టోక్స్ సమీకరణాలు “సింగ్యులారిటీ”ని సృష్టించగలవా? ఇక్కడ సింగ్యులారిటీ అంటే, గతిశీలత కారణంగా పరిమిత సమయంలోనే ద్రవ వేగాలు హద్దులేకుండా పెరగడం. చలనాన్ని సున్నితం చేసే స్నిగ్ధత ఉన్నప్పటికీ సింగ్యులారిటీ ఏర్పడాలి. నిజమైన ద్రవం అనంత వేగంతో కదలలేదు కాబట్టి, ఇది సమీకరణాలు ద్రవాన్ని ప్రతిరూపించే విధానం విచ్ఛిన్నమైనట్లు సూచిస్తుంది. ఆ తర్వాత వ్యవస్థను ప్రతిరూపించడం కొనసాగించాలంటే ప్రతి కణం ప్రవర్తనను విడిగా అనుసరించాలి.

ఈ సమీకరణాలు పందొమ్మిదో శతాబ్దంలో క్లాడ్-లూయి నావియర్, జార్జ్ గాబ్రియెల్ స్టోక్స్ చేసిన కృషి నాటివి. 1934లో జీన్ లెరే సాధారణీకృత అర్థంలో పరిష్కారాలు ఉన్నాయని నిరూపించారు. అయితే అవి ఎల్లప్పుడూ సున్నితంగా ఉంటాయా అనేది ప్రధాన అపరిష్కృత ప్రశ్నగా మారింది. 2000లో క్లే గణితశాస్త్ర సంస్థ నావియర్–స్టోక్స్ అస్తిత్వం, సున్నితత్వం సమస్యను ఏడు సహస్రాబ్ది బహుమతి సమస్యల్లో ఒకటిగా ప్రకటించింది.

తొలుత నిశ్చలంగా, సున్నితంగా ఉన్న ద్రవంలో పరిమిత సమయంలో సింగ్యులారిటీ ఏర్పడగలదని చూపే విశ్లేషణాత్మక నిరూపణను, Lean లాంఛనీకరణను మా వ్యవస్థ రూపొందించింది. ద్రవంపై సున్నితమైన బలం ప్రయోగిస్తారు. నిశ్చల స్థితి నుంచి సింగ్యులారిటీ ఏర్పడేవరకు మొత్తం గతిశీలతలో దాని శక్తి పరిమితంగానే ఉంటుంది. అధికారిక సహస్రాబ్ది బహుమతి సూత్రీకరణలో⁠(కొత్త విండోలో తెరుచుకుంటుంది) “C” (అలాగే “D”) ప్రకటనను స్థాపించడం ద్వారా ఇది నావియర్–స్టోక్స్ సహస్రాబ్ది బహుమతి సమస్యను పరిష్కరిస్తుంది.

పరిష్కారం ఒక సుడిగుండం. అది తిరిగే ద్రవ సుడిలా లోపలికి చుట్టుకుంటూ, స్పఘెట్టి మాదిరిగా మరింత పొడవవుతుంది. ఈ కేంద్ర ప్రాంతం కుంచించుకుంటూనే వేగం పెంచుకుంటుంది. అయినా భౌతికశాస్త్ర నియమాల ప్రకారం దాని శక్తి పరిమితంగానే ఉంటుంది. ఉదాహరణకు మనమే అనంత బలాన్ని ప్రవేశపెట్టడం వల్ల కాకుండా, ద్రవం సొంత చలనం ద్వారానే సమీకరణాల్లో విచ్ఛిన్నం ఏర్పడేలా చేయడం సాంకేతిక సవాలు. మరింత గణితపరంగా చెప్పాలంటే, చలనాన్ని వివరించే నావియర్–స్టోక్స్ సమీకరణాల పదాలు—త్వరణం, పీడన ప్రవణతలు, ద్రవ్యవేగ బదిలీ, స్నిగ్ధత—భారీగా మారుతూనే నిర్దిష్ట రీతిలో ఒకదానినొకటి రద్దు చేసుకోవాలి. ద్రవ వేగం హద్దులేకుండా పెరిగినా, ఈ కచ్చితమైన సమతుల్యత బాహ్య బలాన్ని సున్నితంగానే ఉంచుతుంది.

ఆగస్టు 28 నుంచి గణితశాస్త్రంతో సహా మా ప్రమాణ పరీక్షల్లో అపూర్వ పనితీరు చూపిన కొత్త అంతర్గత మోడల్‌కు శిక్షణ ఇస్తున్నాం. ఈ మోడల్ శిక్షణ కొనసాగుతోంది. దాని పనితీరు నిరంతరం మెరుగవుతోంది.

సెప్టెంబర్ 1, మంగళవారం రెండు సహస్రాబ్ది బహుమతి సమస్యలు పరిష్కారమయ్యాయనే వదంతులు విన్నాం. ఈ వదంతులు, మా అంతర్గత మోడల్ పనితీరులో వచ్చిన భారీ మార్పు స్ఫూర్తితో, అపరిష్కృత సహస్రాబ్ది బహుమతి సమస్యలన్నింటిపైనా, మరికొన్ని అధిక ప్రభావం గల సమస్యలపైనా దాన్ని మదింపు చేసే ప్రయత్నం ప్రారంభించాం.

మా అంతర్గత మోడల్‌తో పనిచేసే సమన్వయ ఏజెంట్ల వ్యవస్థను ఉపయోగించాం. ఇంటర్నెట్ నిల్వ ప్రతిని చదవడం, కోడ్‌ను అమలు చేయడం వంటి సాధనాలు ఏజెంట్లకు అందుబాటులో ఉన్నాయి. సమూహంలో పరస్పరం సంభాషించగల ఏజెంట్లను వేర్వేరు సమూహాలుగా విభజించాం. సమూహాల పరిమాణాలు వేర్వేరుగా ఉన్నాయి. నావియర్–స్టోక్స్ పరిష్కారాన్ని రూపొందించిన సమూహంలో సుమారు 10,000 మంది ఏకకాల ఏజెంట్లు పాల్గొన్నారు. పర్యవేక్షణ, వేరుచేయడం సహా మా అత్యాధునిక మోడల్ మదింపులన్నింటికీ వర్తించే కఠిన రక్షణ చర్యలను నిరంతరం పాటించాం.

ప్రతి సమస్యకు సంబంధించిన అన్ని రూపాలను కవర్ చేస్తూ, సమస్య ప్రకటనలోని వేర్వేరు రూపాలను వేర్వేరు ఏజెంట్ సమూహాలకు సూచనలుగా ఇచ్చాం. నావియర్–స్టోక్స్ సమస్యకు నిరూపణకు దారితీసే ప్రత్యేక రూపాలైన “A”, “B”లను, ఖండనకు దారితీసే “C”, “D”లను వేర్వేరు ఏజెంట్ సమూహాలకు సూచించాం.

పూర్తి సహస్రాబ్ది బహుమతి సమస్యలతోపాటు కొన్ని “సులభమైన” సమస్యలను ప్రయత్నించమని మా బహుళ ఏజెంట్ వ్యవస్థను కోరాం. వీటిలో ఒకటి, స్నిగ్ధత పదాన్ని తొలగించిన నావియర్–స్టోక్స్ సమస్య పరిమితికి సంబంధించిన ఇలాంటి విస్ఫోటన ప్రశ్న. దీనిని ఆయిలర్ సమీకరణాల క్రమబద్ధత సమస్యగా పిలుస్తారు. మా ఏజెంట్లు ఈ ప్రశ్నను పరిష్కరించి మమ్మల్ని ఆశ్చర్యపరిచారు. వారు పరిష్కరించిన నిర్దిష్ట రూపం ద్రవంపై బాహ్య బలం ప్రయోగించని బలరహిత రూపం. దాదాపు 100 మంది ఏజెంట్లు సుమారు 50 గంటలు కలిసి పనిచేసి ఆయిలర్ క్రమబద్ధత ఖండనను రూపొందించారు¹.

ఆయిలర్ పరిష్కారాన్ని చూశాక, నావియర్–స్టోక్స్‌పై పనిచేయడమే అత్యంత ఆశాజనకమని భావించాం. అందుకే మా వనరులను నావియర్–స్టోక్స్‌కు కేటాయించాలని నిర్ణయించాం. అందుకోసం ఇతర సహస్రాబ్ది సమస్యల నుంచి ఏజెంట్లను మళ్లించి, వారికి ఆయిలర్ పరిష్కారాన్ని సూచనగా ఇచ్చాం. ఈ ప్రయత్నం కొనసాగుతుండగా మరింత శిక్షణ పొందిన మా అంతర్గత మోడల్ రూపం అందుబాటులోకి రావడంతో, ఏజెంట్లను ఆ మోడల్‌కు నవీకరించాం.

విభిన్న విధానాలను అన్వేషించమని వేర్వేరు ఏజెంట్ సమూహాలను ప్రోత్సహించాం. కొంతకాలం తర్వాత, ప్రతి ఏజెంట్ సమూహంలోని అత్యంత ఉపయోగకరమైన అంతర్దృష్టులను Codexతో ఏకీకృతం చేసి, సమూహాల మధ్య ఆలోచనల మార్పిడిని కల్పించాం. ఈ తదుపరి సూచనలు ఏజెంట్ల సొంత మధ్యంతర ఫలితాలపై ఆధారపడ్డాయి. నావియర్–స్టోక్స్ పరిష్కారాన్ని కనుగొన్న సమూహానికి ఈ విధంగానే మార్గనిర్దేశం చేశాం.

మొదటి ఏజెంట్లను ప్రారంభించిన దాదాపు 88 గంటల తర్వాత, సెప్టెంబర్ 5 శనివారం ఏజెంట్లు పరిష్కారాన్ని సాధించారు. GPT‑6 Astra ద్వారా Lean లాంఛనీకరణ, ధృవీకరణకు మరో 17 గంటలు పట్టింది.

ప్రయత్నించిన అన్ని సమస్యల్లో ఏజెంట్లు 49 లక్షల సందేశాలు పంపి, దాదాపు 300 బిలియన్ అవుట్‌పుట్ టోకెన్లను ఉపయోగించారు. నావియర్–స్టోక్స్ సమస్య పరిష్కార ప్రక్రియలో ఏజెంట్లు 27 లక్షల సందేశాలు పంపి, సుమారు 130 బిలియన్ అవుట్‌పుట్ టోకెన్లను ఉపయోగించారు.

సెప్టెంబర్ 1న ఒక వదంతి విని మా ప్రయత్నం ప్రారంభించాం. అది Anthropic ఉద్యోగి లెవెంట్ ఆల్పోగే, NYU గణిత ఆచార్యుడు ట్రిస్టన్ బక్‌మాస్టర్‌లకు సంబంధించినదని తర్వాత తెలిసింది.² మా పూర్తి ప్రాజెక్టు, Lean ధృవీకరణ సెప్టెంబర్ 6న పూర్తయ్యాక, వారి వద్ద కూడా నావియర్–స్టోక్స్ పరిష్కారం ఉందని ఆ వదంతి ఆధారంగా భావించాం. మా ఫలితాన్ని ఏకకాలంలో విడుదల చేయడానికి, ఉమ్మడి ప్రకటనలో వారి ప్రాధాన్యాన్ని గుర్తించడానికి వారిని సంప్రదించాం. అప్పుడు, అంతర్గత Anthropic మోడల్‌ను ఉపయోగించి వారు బలప్రయోగిత ఆయిలర్ సమస్యకు పరిష్కారం రూపొందించారని తెలిసింది. ఈ చర్చల్లో మేము ఉపయోగించిన సూచనలన్నింటినీ వారికి చూపిస్తామని, తర్వాత నిరూపణను కూడా చూడనిస్తామని తెలిపాం. బలప్రయోగిత ఆయిలర్‌పై వారి కృషి ప్రాధాన్యాన్ని గుర్తిస్తూ, వారి విశేష గణిత విజయానికి అభినందనలు తెలియజేస్తున్నాం.

వారు తమ కృషిని బహిరంగంగా విడుదల చేసేవరకు మేము—పరిశోధకులు, ఏజెంట్లు—దాన్ని ఏ మార్గంలోనూ చూడలేదు. ముఖ్యంగా, ఈ సమస్యను పరిష్కరించేందుకు నిర్దిష్ట వినియోగదారు డేటాను యాక్సెస్ చేయలేదు.

దర్యాప్తు అనంతరం, 2026 సెప్టెంబర్ 8న ఈ ప్రకటన, పరిశోధన పత్రం వెలువడటానికి ముందటి రెండు నెలల్లో బక్‌మాస్టర్ ఇచ్చిన Codex సూచనలు శిక్షణతో సహా ఏ విధంగానూ వ్యవస్థను ప్రభావితం చేయలేదని నిర్ధారించాం. ఈ ఫలితానికి ఉపయోగించిన OpenAI అంతర్గత మోడల్‌ను, గతంలో ముందస్తు శిక్షణ పొందిన మోడల్‌పై భారీ స్థాయి రీఇన్‌ఫోర్స్‌మెంట్ లెర్నింగ్ ద్వారా అభివృద్ధి చేశారు. మా నిరూపణలు కూడా గణనీయంగా భిన్నంగా ఉన్నాయి. ఆయిలర్ విషయంలో ఆల్పోగే, బక్‌మాస్టర్ బాహ్య బలంతో కూడిన ఫలితాన్ని నిరూపించగా, OpenAI వ్యవస్థ బాహ్య బలం లేని ఫలితాన్ని నిరూపించింది.

మా AI మోడల్స్ సాధించిన గణనీయ పురోగతిని తెలియజేయడమే ఈ ఫలితాన్ని విడుదల చేయడంలో మా లక్ష్యం. ఈ ఫలితానికి సహస్రాబ్ది బహుమతిని కోరే ఉద్దేశం మాకు లేదు.

ఈ మైలురాయి గణితశాస్త్రవేత్తలు, AI పరిశోధకుల విస్తృత కృషికి ప్రతీక. అయితే, ఇది ముగింపు కాదు. AI అభివృద్ధి పురోగతిలో ఒక నిర్దిష్ట క్షణానికి ప్రతిబింబం మాత్రమే.

మనం ఇప్పుడు AI పురోగతిలో తదుపరి దశలో ఉన్నామని నమ్ముతున్నాం⁠. నేటి ఫలితాలు దీనికి మరింత ఆధారాన్ని అందిస్తున్నాయి. ఈ మోడల్‌ను అర్థం చేసుకోవడంపై దృష్టి పెడుతున్నాం. సామర్థ్యాల్లో తదుపరి పురోగతిని ఎలా సాధించాలో, దాని వేగాన్ని ఎలా నిర్దేశించాలో మార్గనిర్దేశం చేసేందుకు నేర్చుకున్న విషయాలను ఉపయోగిస్తున్నాం. AGI మానవాళి అంతటికీ ప్రయోజనం చేకూర్చేలా చూడాలనే మా లక్ష్యాన్ని కొనసాగిస్తూ, నియంత్రించగల, జవాబుదారీగా ఉండే, ప్రజలతో అనుసంధానమైన AI వ్యవస్థలను నిర్మించడం మా కీలక లక్ష్యాల్లో⁠ ఒకటి. ఇందుకు పురోగతి వేగం గురించి మరింత ఆలోచనాత్మక నిర్ణయాలు అవసరం కావచ్చు.