ఒక OpenAI మోడల్ డిస్క్రీట్ జ్యామితిలోని కేంద్ర ఊహను ఖండించింది

దాదాపు 80 సంవత్సరాలుగా, గణిత శాస్త్రవేత్తలు మోసపూరితంగా సులభంగా కనిపించే ఒక ప్రశ్నను అధ్యయనం చేస్తున్నారు: సమతలంలో మీరు $n$ బిందువులను ఉంచితే, ఎన్ని బిందు-జంటలు ఖచ్చితంగా $1$ దూరంలో ఉండగలవు?

ఇది సమతల యూనిట్ దూర సమస్య, దీనిని 1946లో Paul Erdős మొదట ప్రతిపాదించారు. ఇది కాంబినేటోరియల్ జ్యామితిలో అత్యంత ప్రసిద్ధ ప్రశ్నల్లో ఒకటి. చెప్పడానికి సులభమైనదైనా, పరిష్కరించడానికి అసాధారణంగా క్లిష్టమైనది. Brass, Moser, మరియు Pach రచించిన 2005 పుస్తకం Research Problems in Discrete Geometry దీనిని “కాంబినేటోరియల్ జ్యామితిలో బహుశా అత్యంత ప్రసిద్ధమైన (మరియు వివరించడానికి అత్యంత సులభమైన) సమస్య”గా పేర్కొంది. Princeton‌కు చెందిన ప్రముఖ కాంబినేటోరియలిస్ట్ Noga Alon, దీనిని “Erdős‌కు అత్యంత ఇష్టమైన సమస్యల్లో ఒకటి”గా పేర్కొన్నారు. ఈ సమస్యను పరిష్కరించిన వారికి Erdős నగదు బహుమతిని కూడా ప్రకటించారు.

ఈ రోజు, యూనిట్ దూర సమస్యపై ఒక కీలక పురోగతిని మేము పంచుకుంటున్నాము. ఎర్డోష్ అసలు పనినుంచి, దిగువన చూపిన “చతురస్ర గ్రిడ్” నిర్మాణాలే యూనిట్-దూర జంటల సంఖ్యను గరిష్ఠం చేయడానికి మౌలికంగా ఉత్తమమైనవని ప్రబల నమ్మకం ఉంది. ఒక అంతర్గత OpenAI మోడల్ ఈ దీర్ఘకాలిక ఊహను ఖండించి, బహుపద మెరుగుదలను ఇచ్చే అనంత ఉదాహరణల కుటుంబాన్ని అందించింది. ఈ నిరూపణను బాహ్య గణిత శాస్త్రవేత్తల బృందం పరిశీలించింది. వారు వాదనను వివరిస్తూ, ఫలిత ప్రాముఖ్యతకు సంబంధించిన మరింత నేపథ్యం మరియు సందర్భాన్ని అందించే సహచర పత్రాన్ని కూడా రచించారు.

ఈ ఫలితం ఎలా కనుగొనబడిందన్న దృష్ట్యా కూడా విశేషమైనది. ఈ నిరూపణ ప్రత్యేకంగా గణితానికి శిక్షణ పొందిన వ్యవస్థనుంచి కాదు, నిరూపణ వ్యూహాలను వెతికేలా నిర్మితమైన వ్యవస్థనుంచి కాదు, లేదా ప్రత్యేకంగా యూనిట్ దూర సమస్యను లక్ష్యంగా పెట్టిన వ్యవస్థనుంచి కాదు; బదులుగా ఒక కొత్త సాధారణ-ప్రయోజన రిజనింగ్ మోడల్ నుంచి వచ్చింది. అధునాతన మోడళ్లు అగ్రశ్రేణి పరిశోధనకు తోడ్పడగలవా అని పరీక్షించే విస్తృత ప్రయత్నంలో భాగంగా, మేము దీనిని ఎర్డోష్ సమస్యల సమాహారంపై మూల్యాంకనం చేశాము. ఈ సందర్భంలో, ఇది ఓపెన్ సమస్యను పరిష్కరించే నిరూపణను ఉత్పత్తి చేసింది.

ఈ నిరూపణ గణితం మరియు AI సముదాయాలకు ఒక ముఖ్యమైన మైలురాయి. గణితంలోని ఒక ఉపశాఖకు కేంద్రంగా ఉన్న ప్రముఖ ఓపెన్ సమస్యను AI స్వయంచాలకంగా పరిష్కరించడం ఇదే మొదటిసారి. ఈ వ్యవస్థలు ఇప్పుడు మద్దతు ఇస్తున్న రిజనింగ్ లోతును ఇది కూడా చూపిస్తుంది. రిజనింగ్‌కు గణితం ప్రత్యేకంగా స్పష్టమైన పరీక్షా వేదికను అందిస్తుంది: సమస్యలు ఖచ్చితమైనవి, సాధ్యమైన నిరూపణలను తనిఖీ చేయవచ్చు, మరియు ఒక దీర్ఘ వాదన మొదటి నుంచి చివరి వరకు రిజనింగ్ సమగ్రంగా ఉన్నప్పుడే పనిచేస్తుంది. సమస్య పరిష్కరించబడిన విధానం కూడా విశేషమైనది. ఈ నిరూపణ ఒక ప్రాథమిక జ్యామితీయ ప్రశ్నపై బీజగణిత సంఖ్యా సిద్ధాంతం నుంచి వచ్చిన అనూహ్యమైన, సున్నితమైన ఆలోచనలను ప్రయోగిస్తుంది.

సహచర పత్రంలో రాస్తూ, ఫీల్డ్స్ పతక విజేత టిమ్ గోవర్స్ ఈ ఫలితాన్ని “AI గణితంలో ఒక మైలురాయి”గా పేర్కొన్నారు. ప్రముఖ సంఖ్యా సిద్ధాంతవేత్త అరుల్ శంకర్ ప్రకారం, “నా అభిప్రాయంలో ఈ పత్రం ప్రస్తుత AI మోడళ్లు మానవ గణిత శాస్త్రవేత్తలకు కేవలం సహాయకులకన్నా ముందుకు వెళ్తాయని చూపిస్తుంది – అవి స్వతంత్రమైన చాతుర్యపూర్వక ఆలోచనలను కలిగి ఉండగలవు, ఆపై వాటిని ఫలసిద్ధి వరకు తీసుకెళ్లగలవు”.

ఆ ప్రూఫ్ ఇక్కడ⁠(కొత్త విండోలో తెరుచుకుంటుంది) అందుబాటులో ఉంది. ప్రముఖ బాహ్య గణిత శాస్త్రవేత్తలు రచించిన అనుబంధ పేపర్ ఇక్కడ⁠(కొత్త విండోలో తెరుచుకుంటుంది) అందుబాటులో ఉంది. మోడల్ యొక్క ఆలోచనా శ్రేణి సంక్షిప్త రూపాన్ని మీరు ఇక్కడ⁠(కొత్త విండోలో తెరుచుకుంటుంది) చూడవచ్చు.

సమతలంలోని $n$ బిందువులలో యూనిట్-దూర జంటల గరిష్ఠ సాధ్య సంఖ్యను $u(n)$గా తీసుకుందాం. రేఖీయ వృద్ధి రేటును సాధించే ఉదాహరణలను నిర్మించడం సులభం: $n$ బిందువులను ఒక రేఖలో ఉంచితే $n-1$ జంటలు వస్తాయి, చతురస్ర గ్రిడ్ అయితే సుమారు $2n$ జంటలను ఇస్తుంది. పునఃపరిమాణీకరించిన చతురస్ర గ్రిడ్ నుంచి వచ్చిన, ముందుగా తెలిసిన ఉత్తమ నిర్మాణం ఇంకా ఎక్కువ ఇస్తుందని తేలింది: ఒక స్థిరాంకం $C$ కోసం $n^{1 + C / \log \log(n)}$. $\log \log(n)$, $n$తో పాటు అనంతానికి దారితీస్తుంది కాబట్టి, ఘాతంలో అదనపు పదం $0$ వైపు దారితీస్తుంది; అంటే ఈ నిర్మాణాలు రేఖీయ వృద్ధికన్నా కేవలం స్వల్పంగా వేగంగా మాత్రమే పెరుగుదలను సాధిస్తాయి. దశాబ్దాల పాటు, ఈ రేటే మౌలికంగా సాధ్యమైన ఉత్తమ రేటు అని, చతురస్ర గ్రిడ్‌పై ఏ నిర్మాణమూ గణనీయంగా మెరుగుపరచలేదని విస్తృతంగా నమ్మారు. సాంకేతికంగా చెప్పాలంటే, ఎర్డోష్ $n^{1+o(1)}$ అనే పై పరిమితిని ఊహించారు; ఇందులో అదనపు $o(1)$ అనేది $n$ పెరుగుతున్నప్పుడు $0$ వైపు వెళ్లే పదాన్ని సూచిస్తుంది.

మా కొత్త ఫలితం ఈ ఊహను ఖండిస్తుంది. ఇంకా ఖచ్చితంగా చెప్పాలంటే, అనంతంగా అనేక $n$ విలువల కోసం, ఈ నిరూపణ కొన్ని స్థిర ఘాతం $\delta > 0$కు కనీసం $n^{1+\delta}$ యూనిట్-దూర జంటలతో $n$ బిందువుల అమరికలను నిర్మిస్తుంది. (మూల AI నిరూపణ స్పష్టమైన $\delta$ను ఇవ్వదు, కానీ ప్రిన్స్టన్ గణిత ప్రొఫెసర్ విల్ సావిన్ చేసిన రాబోయే మెరుగుదలలో $\delta=0.014$ తీసుకోవచ్చని చూపించారు.)

ఈ ఫలితం ఎందుకు ఆశ్చర్యకరమో అర్థం చేసుకోవడానికి, ఈ సమస్య చరిత్ర ఉపయోగపడుతుంది. Erdős 1946లో ప్రతిపాదించిన అసలు నిర్మాణం తర్వాత, తెలిసిన అత్యుత్తమ లోయర్ బౌండ్ దాదాపు మార్పులేకుండానే కొనసాగింది. తెలిసిన ఉత్తమ పై పరిమితి, $O(n^{4/3})$, 1984లో స్పెన్సర్, సెమెరెడి, ట్రాటర్ పనికి చెందింది; తరువాత స్జెకెలీ, కాట్జ్ మరియు సిలియర్, పాచ్, రాజ్ మరియు సోలిమోసి తదితరుల మెరుగుదలలు, సంబంధిత నిర్మాణాత్మక పనులు వచ్చినప్పటికీ, పై పరిమితి మౌలికంగా మారలేదు. ఈ ఊహకు అనుకూల సాక్ష్యంగా, మాటౌషెక్ మరియు అలోన్-బుచిచ్-సావెర్మన్ సమతలంలో యూక్లిడియన్ కాని దూరాలతో ఈ సమస్యను అధ్యయనం చేసి, ఈ యూక్లిడియన్ కాని దూరాలలో “చాలావరకు” ఏదో అర్థంలో ఈ ఊహను అనుసరిస్తాయని నిరూపించారు.

ఆశ్చర్యకరంగా, ఈ నిర్మాణంలోని కీలక అంశాలు బీజగణిత సంఖ్యా సిద్ధాంతం అనే గణితంలోని పూర్తిగా భిన్నమైన భాగం నుంచి వస్తాయి; ఇది బీజగణిత సంఖ్యా క్షేత్రాలు అని పిలిచే పూర్ణాంకాల విస్తరణల్లో గుణక విభజన వంటి భావనలను అధ్యయనం చేస్తుంది.

ఉన్నత స్థాయిలో చూస్తే, ఈ నిరూపణ ఒక పరిచిత జ్యామితీయ ఆలోచనతో ప్రారంభమై దాన్ని అనూహ్య దిశలో నెడుతుంది.

ఎర్డోష్ అసలు దిగువ పరిమితిని గౌసియన్ పూర్ణాంకాల ద్వారా అర్థం చేసుకోవచ్చు: $a+bi$ రూపంలోని సంఖ్యలు, ఇక్కడ $a$, $b$ పూర్ణాంకాలు, $i$ అనేది $-1$ యొక్క వర్గమూలం. గౌసియన్ పూర్ణాంకాలు సాధారణ పూర్ణాంకాలను విస్తరింపజేస్తాయి మరియు వాటిలాగే ప్రధాన సంఖ్యలలో ఏకైక గుణక విభజన వంటి లక్షణాలను కలిగి ఉంటాయి. సాధారణ పూర్ణాంకాలు లేదా రేషనల్ సంఖ్యల ఇటువంటి విస్తరణలను బీజగణిత సంఖ్యా క్షేత్రాలు అంటారు. కొత్త వాదన గౌసియన్ పూర్ణాంకాల స్థానంలో, మరింత సమృద్ధమైన సమమితులు కలిగి ఉండి చాలా ఎక్కువ యూనిట్-పొడవు తేడాలను సృష్టించగల బీజగణిత సంఖ్యా సిద్ధాంతంలోని మరింత సంక్లిష్ట సాధారణీకరణలను ఉపయోగిస్తుంది.

ఖచ్చితమైన వాదనలో అనంత తరగతి క్షేత్ర టవర్లు మరియు గోలోడ్–షఫారెవిచ్ సిద్ధాంతం వంటి సాధనాలను ఉపయోగించి, వాదనకు అవసరమైన సంఖ్యా క్షేత్రాలు నిజంగా ఉన్నాయని చూపుతుంది. ఈ ఆలోచనలు బీజగణిత సంఖ్యా సిద్ధాంతవేత్తలకు బాగా తెలిసినవే, కానీ ఈ భావనలకు యూక్లిడియన్ సమతలంలోని జ్యామితీయ ప్రశ్నలపై ప్రభావాలు ఉంటాయని రావడం గొప్ప ఆశ్చర్యంగా మారింది.

ఈ ఫలితం AI మరియు గణితం మధ్య పరస్పర చర్యలో ఒక ముఖ్యమైన క్షణాన్ని సూచిస్తుంది: ఒక AI వ్యవస్థ చురుకైన రంగం కేంద్రంలో ఉన్న దీర్ఘకాలిక ఓపెన్ సమస్యను స్వయంచాలకంగా పరిష్కరించింది. ఇది AI మరియు మానవ గణిత శాస్త్రవేత్తల మధ్య కొత్త రకమైన సహకారానికి ఒక ప్రారంభ చూపును కూడా ఇస్తుంది. ఈ సందర్భంలో, బాహ్య గణిత శాస్త్రవేత్తల సహచర పని, అసలు పరిష్కారం ఒక్కటితో పోలిస్తే గణనీయంగా మరింత సమృద్ధమైన చిత్రాన్ని అందిస్తుంది.

థామస్ బ్లూమ్ సహచర గమనికలో ఇలా రాస్తారు:

“AI సృష్టించిన నిరూపణ యొక్క ప్రాముఖ్యత మరియు ప్రభావాన్ని అంచనా వేస్తున్నప్పుడు, నేను నన్ను నేనే అడిగే ప్రశ్న ఇది: ఈ సమస్య గురించి ఇది మనకు ఏదైనా కొత్తది నేర్పిందా? ఇప్పుడు మనం డిస్క్రీట్ జ్యామితిని మరింత బాగా అర్థం చేసుకుంటున్నామా? నా అభిప్రాయం ప్రకారం సమాధానం మితమైన అవును: ఈ రకమైన ప్రశ్నల గురించి సంఖ్యా సిద్ధాంత నిర్మాణాలు మనం అనుమానించినదానికన్నా చాలా ఎక్కువ చెప్పగలవని ఇది చూపిస్తుంది; అంతేకాక, అవసరమైన సంఖ్యా సిద్ధాంతం చాలా లోతైనదై ఉండవచ్చు. రాబోయే నెలల్లో డిస్క్రీట్ జ్యామితిలోని ఇతర ఓపెన్ సమస్యలను అనేక బీజగణిత సంఖ్యా సిద్ధాంతవేత్తలు దగ్గరగా పరిశీలిస్తారనడంలో సందేహం లేదు.”

పరిష్కారం వెల్లడించిన బీజగణిత సంఖ్యా సిద్ధాంతం మరియు డిస్క్రీట్ జ్యామితి మధ్య అనూహ్య సంబంధం ఈ ఫలితాన్ని విశేషంగా నిలబెడుతున్న అంశాల్లో ఒకటి. ఇది కేవలం ఒక నిర్దిష్ట ఊహను తేల్చడమే కాదు, గణిత శాస్త్రవేత్తలు మరింత సంబంధిత సమస్యలను అన్వేషించడం ప్రారంభించడానికి ఒక వంతెనను కూడా అందించవచ్చు.

బ్లూమ్ మరింత విస్తృతమైన అవకాశాన్ని కూడా సూచిస్తున్నారు:

“జ్ఞాన సరిహద్దులు చాలా ముళ్లతో నిండినవిగా ఉంటాయి, మరియు రాబోయే నెలలు, సంవత్సరాల్లో గణితంలోని అనేక ఇతర రంగాల్లో ఇలాంటి విజయాలు కనిపిస్తాయనడంలో సందేహం లేదు; అక్కడ దీర్ఘకాలిక ఓపెన్ సమస్యలను AI అనూహ్య సంబంధాలను వెలికితీసి, ఉన్న సాంకేతిక యంత్రాంగాన్ని దాని పరాకాష్టకు నెడుతూ పరిష్కరిస్తుంది. శతాబ్దాలుగా మనం నిర్మించిన గణిత మహాగృహాన్ని మరింత సంపూర్ణంగా అన్వేషించడంలో AI మనకు సహాయపడుతోంది; ఇంకా ఏ కనిపించని అద్భుతాలు ఎదురుచూస్తున్నాయి?”

ఈ ఫలితం ఒక ఆశాజనక ఉదాహరణను అందిస్తుంది: AI కేవలం ఒక పరిష్కారాన్నే కాదు, తరువాతి మానవ అవగాహన ద్వారా మరింత స్పష్టంగా, సమృద్ధిగా మారే గణిత ఆవిష్కరణను కూడా అందిస్తోంది.

ఈ సారాంశం ఈ ప్రత్యేక ఫలితానికంటే పెద్దది. మెరుగైన గణిత రిజనింగ్ AIని మరింత బలమైన పరిశోధనా భాగస్వామిగా మార్చగలదు: కఠినమైన ఆలోచనా రేఖలను సమగ్రంగా ఉంచగల, జ్ఞానంలోని దూర ప్రాంతాల మధ్య ఆలోచనలను కలుపగల, నిపుణులు ప్రాధాన్యం ఇవ్వకపోయి ఉండే ఆశాజనక మార్గాలను వెలికి తీయగల, మరియు లేకపోతే చాలా సంక్లిష్టం లేదా సమయభక్షకంగా ఉండే సమస్యలపై పరిశోధకులు పురోగతి సాధించడంలో సహాయపడగల భాగస్వామిగా.

ఆ సామర్థ్యాలు గణితానికి అతీతంగా కూడా ముఖ్యమైనవే. ఒక మోడల్ సంక్లిష్టమైన వాదనను సమగ్రంగా ఉంచగలిగితే, జ్ఞానంలోని దూర ప్రాంతాల మధ్య ఆలోచనలను కలుపగలిగితే, మరియు నిపుణుల పరిశీలనను తట్టుకునే పనిని ఉత్పత్తి చేయగలిగితే, అవి జీవశాస్త్రం, భౌతికశాస్త్రం, పదార్థ శాస్త్రం, ఇంజినీరింగ్, వైద్యం వంటి రంగాల్లో కూడా ఉపయోగకరమైన సామర్థ్యాలే; అలాగే అవి మరింత స్వయంచాలక పరిశోధన వైపు మా దీర్ఘకాలిక మార్గంలో భాగం: శాస్త్రవేత్తలు, ఇంజినీర్లు మరిన్ని ఆలోచనలను అన్వేషించడానికి, మరింత కఠినమైన సాంకేతిక ప్రశ్నలను అనుసరించడానికి సహాయపడగల వ్యవస్థలు.

పరిశోధనలోని సృజనాత్మక భాగాల్లో, ముఖ్యంగా AI పరిశోధనలోనే, AI చాలా గంభీరమైన పాత్రను స్వీకరించబోతోంది. ఈ పురోగతి అనూహ్యమైనది కాకపోయినా, AI అభివృద్ధి యొక్క ఈ తదుపరి దశను అర్థం చేసుకోవడం, అత్యంత మేధావి వ్యవస్థలను సమలేఖనం చేయడంలోని సవాళ్లు, మరియు మానవ-AI సహకార భవిష్యత్తు గురించి మేము అనుభవిస్తున్న అత్యవసరతను ఇది మరింత బలపరుస్తుంది.

ఆ భవిష్యత్తు ఇంకా మానవ నిర్ణయంపైనే ఆధారపడి ఉంది. నైపుణ్యం విలువ తగ్గదు, మరింత పెరుగుతుంది. AI శోధించడంలో, సూచించడంలో, ధృవీకరించడంలో సహాయపడగలదు. ఏ సమస్యలు ముఖ్యమో మనుషులే ఎంచుకుంటారు, ఫలితాలను అర్థం చేసుకుంటారు, తదుపరి ఏ ప్రశ్నలను అనుసరించాలో నిర్ణయిస్తారు.