Deset dostignuća u matematici i teorijskom računarstvu

Želimo da naučnicima i matematičarima pružimo alate koji ubrzavaju otkrića. Zato smo nedavno najavili inicijativu ChatGPT za akademske istraživače⁠, koja omogućava da 100.000 naučnika i matematičara besplatno koristi naše najbolje ChatGPT modele. Takođe nastavljamo da tokom razvoja proveravamo naše modele na otvorenim istraživačkim problemima.

U maju smo predstavili kontraprimer koji je generisala veštačka inteligencija⁠ za Erdoševu hipotezu o jediničnim rastojanjima, otkriven tokom evaluacije još neobjavljenog modela. Ovaj rad je već podstakao dalji napredak u matematici i teorijskom računarstvu¹. Danas predstavljamo deset rezultata, od kojih svaki rešava neki dugogodišnji otvoreni problem ili donosi znatan napredak u njegovom rešavanju. Ovi problemi obuhvataju geometriju velikih dimenzija, teoriju kodiranja, složenost aritmetičkih kola, teoriju grupa, operatorske algebre, kvantnu složenost, kriptografiju zasnovanu na rešetkama i ekstremalnu kombinatoriku. Svi ovi problemi veoma su značajni za odgovarajuće matematičke zajednice, a nekoliko njih je od opšteg značaja za matematiku u celini.

Predstavljamo nove rezultate za sledeće probleme. Rezultate je postigla interna verzija Astre, našeg sledećeg velikog modela. Ukupan broj tokena potreban za pronalaženje rešenja ovih problema koštao bi približno 2.000 USD po cenama Sol API-ja. Ljudi su zatim uz pomoć istog modela pripremili ove argumente u obliku rukopisa. Model je potom formalizovao svaki argument u vidu Lean sertifikata⁠(отвара се у новом прозору). Za svako rešenje objavljujemo i modelov prikaz njegovog procesa razmišljanja.

1. Pakovanje sfera u velikim dimenzijama. Nove gornje granice gustine pakovanja sfera sve do Kon–Elkisovog praga.
2. Binarni i sferni kodovi: Eksponencijalno poboljšane granice najveće veličine binarnih kodova za svako zadato minimalno rastojanje, uz analogne rezultate za sferne kodove u velikim dimenzijama.
3. Nesofičke grupe. Konstrukcija kojom se dokazuje postojanje nesofičkih grupa i rešava jedno od centralnih otvorenih pitanja teorije grupa.
4. Konova hipoteza o rigidnosti. Kontraprimer za dugogodišnju hipotezu da su određene grupe jednoznačno određene svojim fon Nojmanovim algebrama.
5. Složenost aritmetičkih kola. Nove donje granice za izračunavanje permanenta pomoću aritmetičkih kola i formula, uključujući donju granicu reda n⁴/log n za aritmetičke formule.
6. Kvantno paralelno ponavljanje. Teorema o eksponencijalnom paralelnom ponavljanju za opšte kvantne igre sa dva igrača, kojom se osnovni princip klasične teorije složenosti proširuje na kvantni slučaj.
7. Problem najbližeg vektora. Teškoća aproksimacije problema najbližeg vektora do na polinomni faktor, temeljnog problema rešetki povezanog s postkvantnom kriptografijom.
8. Erhartova hipoteza o zapremini. Određivanje, u svakoj dimenziji, najveće moguće zapremine konveksnog tela čije je težište njegova jedina unutrašnja tačka rešetke.
9. Višebojni Remzijevi brojevi. Supereksponencijalna donja granica višebojnih Remzijevih brojeva za trouglove, čime se rešava Erdošev problem 183.
10. Hipoteze o ekstremalnim brojevima. Rezultati o hipotezama kompaktnosti i degenerisanosti u ekstremalnoj teoriji grafova, kojima se rešavaju Erdoševi problemi 146 i 180.

Pojava sistema sposobnih da doprinose matematičkim istraživanjima otvara pitanja na koja tehnološka kompanija ne može sama da odgovori. Postoje različiti stavovi o ulozi veštačke inteligencije u matematici i duboko poštujemo i razumemo zabrinutost zbog njenog uticaja, uključujući zabrinutost potpisnika Lajdenske deklaracije o veštačkoj inteligenciji i matematici⁠(отвара се у новом прозору). Smatramo da navođenje autorstva treba verno da odražava način na koji je rezultat nastao: pripisivanje ljudskog autorstva dokazu koji je u celosti generisao sistem veštačke inteligencije pogrešno bi predstavilo i doprinos sistema i prirodu istinskog ljudskog intelektualnog rada. Pomogli smo u pripremi rukopisa i formalizovanju dokaza u Leanu i preuzimamo odgovornost za njihovu ispravnost, dok je same matematičke argumente generisao naš sistem. Nadamo se da će matematička zajednica temeljno razmotriti ove rezultate, smestiti ih u odgovarajući kontekst i kroz nova istraživanja i otkrića dalje razviti ideje na kojima počivaju.

Dok se sistemi veštačke inteligencije razvijaju u sve naprednije istraživačke saradnike, obezbeđivanje široke dostupnosti presudno je za podršku naučnicima i matematičarima dok u ovom preobražavajućem dobu usmeravaju i oblikuju budućnost svojih disciplina.