О Миленијумском наградном проблему Навије–Стоксових једначина

Објављујемо решење проблема постојања и глаткоће Навије–Стоксових једначина, једног од Миленијумских наградних проблема. Овај доказ, који је израдио интерни систем привредног друштва OpenAI, показује да динамика Навије–Стоксових једначина за кретање флуида може у коначном времену развити сингуларност. Објављујемо и приказ доказа и његову формализацију у програмском језику Lean.

Миленијумски наградни проблеми⁠(отвара се у новом прозору) представљају нека од најдубљих питања на граници математичких сазнања. Питање да ли глатко тродимензионално кретање флуида може престати да буде регуларно остаје нерешено већ око 90 година.

Један од главних циљева нашег рада јесте да научницима омогућимо да унапређују истраживања и технологију на добробит целог човечанства. За решавање Навије–Стоксовог проблема користили смо интерни модел који је знатно способнији од модела GPT‑6 Astra. Сматрамо да је важно обавестити јавност о брзини напретка вештачке интелигенције и о томе шта може да очекује од предстојећих модела.

Навије-Стоксове једначине користе Њутнов други закон кретања („F=ma”) да опишу кретање флуида. Важно је да оне флуид посматрају као непрекидну средину, уместо да прате појединачне молекуле. Ове једначине се користе у пројектовању авиона, временској прогнози и проучавању протока крви.

Основно отворено питање у вези с овим динамичким једначинама јесте да ли апроксимација флуида као непрекидне средине може престати да важи. Конкретно, могу ли Навије-Стоксове једначине за тродимензионални нестишљиви флуид константне густине развити „сингуларност”, чак и када кретање почиње глатко? Сингуларност овде значи да динамика доводи до тога да брзине у флуиду постану неограничене у коначном времену. Сингуларност би морала настати упркос вискозности, која тежи да изглади кретање. Пошто стварни флуид не може да се креће бесконачно брзо, то би означило тачку у којој једначине више не описују флуид ваљано. Да би се моделирање система наставило, било би потребно појединачно пратити понашање сваке честице.

Једначине потичу из радова Клод-Луја Навијеа и Џорџа Габријела Стокса из деветнаестог века. Жан Лере је 1934. доказао да решења постоје у уопштеном смислу, али је питање да ли она увек остају глатка постало једно од кључних нерешених питања. Институт за математику Клеј је 2000. године уврстио проблем постојања и глаткоће Навије–Стоксових једначина међу седам Миленијумских наградних проблема.

Наш систем је израдио аналитички доказ и формализацију у програмском језику Lean да првобитно миран флуид с глатким почетним стањем може развити сингуларност у коначном времену. На флуид делује глатка сила, а његова енергија остаје коначна током целокупне динамике, од мировања до настанка сингуларности. Овим се решава Миленијумски наградни проблем Навије-Стоксових једначина утврђивањем изјаве „C” (као и „D”) из званичне формулације Миленијумске награде⁠(отвара се у новом прозору).

Решење је вртлог — ротирајући ковитлац флуида који спирално иде ка унутра и све се више издужује, попут шпагета. Ова средишња област се скупља док убрзава, и то тако да њена енергија ипак остаје коначна, како налажу закони физике. Технички изазов је у томе да једначине изгубе регуларност услед кретања самог флуида, а не, на пример, тако што бисмо ручно увели бесконачну силу. Математички речено, чланови Навије–Стоксових једначина који описују кретање – убрзање, градијенти притиска, пренос импулса и вискозност – морају истовремено постати велики и прецизно се поништити. Ова прецизна равнотежа омогућава да спољашња сила остане глатка иако брзина флуида расте без ограничења.

Од 28. августа обучавамо нови интерни модел који је на нашим тестовима, укључујући математичке, показао до сада незабележене резултате. Обука овог модела и даље траје, а његове перформансе настављају да се побољшавају.

У уторак, 1. септембра, чули смо гласине да су решена два Миленијумска наградна проблема. Подстакнути тим гласинама и наглим скоком перформанси нашег интерног модела, покренули смо пројекат да га оценимо на свим отвореним Миленијумским наградним проблемима и још неколико проблема од великог значаја.

Користили смо систем координисаних агената заснованих на нашем интерном моделу. Агенти су имали приступ алатима, попут читања кеширане верзије интернета и покретања кода. Агенти су били подељени у групе и могли су да комуницирају унутар своје групе. Групе су биле различитих величина, а у групи која је решила Навије–Стоксов проблем истовремено је радило око 10.000 агената. Све време смо примењивали исте строге заштитне мере као и при свим проценама наших граничних модела, укључујући надзор и изолацију.

За сваки проблем смо различитим групама агената задавали различите формулације задатка, тако да обухватимо све његове варијанте. За Навије-Стоксов проблем смо засебним групама агената предложили верзије „A” и „B” (посебне облике проблема који би довели до доказа), као и верзије „C” и „D” (које би довеле до оповргавања).

Поред потпуних Миленијумских наградних проблема, затражили смо од нашег вишеагентског система да покуша да реши и скуп „лакших” проблема. Један од њих био је сличан проблем настанка сингуларности у граничном случају Навије-Стоксовог проблема из којег је уклоњен члан вискозности. То је познато као проблем регуларности Ојлерових једначина, а наши агенти су нас изненадили решивши га. Конкретна варијанта коју су решили била је верзија без спољашње силе, у којој на флуид не делује никаква спољашња сила. Скоро 100 агената сарађивало је око 50 сати да би израдили наше оповргавање регуларности Ојлерових једначина¹.

Када смо видели решење за Ојлерове једначине, закључили смо да је Навије–Стоксов проблем најперспективнији за даљи рад. Зато смо одлучили да своје ресурсе усмеримо на Навије–Стоксов проблем. У ту сврху смо агенте повукли са других Миленијумских проблема и дали им решење за Ојлерове једначине као полазиште. Када је током рада постала доступна додатно обучена верзија нашег интерног модела, пребацили смо агенте на њу.

Подстицали смо различите групе агената да истражују разноврсне приступе. После извесног времена повезали смо идеје међу групама агената тако што смо помоћу услуге Codex објединили најкорисније увиде сваке групе. Ови накнадни упити ослањали су се на међурезултате самих агената. На тај начин усмеравана је и група која је пронашла решење Навије-Стоксовог проблема.

Агенти су дошли до решења у суботу, 5. септембра, око 88 сати након покретања првих агената. Формализација и провера у програмском језику Lean помоћу модела GPT‑6 Astra трајале су још 17 сати.

У раду на свим разматраним проблемима агенти су послали 4,9 милиона порука и употребили око 300 милијарди излазних токена. Током решавања Навије–Стоксовог проблема агенти су послали 2,7 милиона порука и употребили приближно 130 милијарди излазних токена.

Наш рад је почео 1. септембра, након што смо чули гласину за коју смо касније схватили да се односила на Левента Алпегеа, запосленог у предузећу Anthropic, и Тристана Бакмастера, професора математике на Универзитету Њујорк.² Пошто смо завршили цео пројекат и проверу у Lean-у 6. септембра, обратили смо им се јер смо на основу гласине веровали да и они имају решење Навије–Стоксовог проблема. Понудили смо да истовремено објавимо свој резултат и у заједничком саопштењу признамо првенство њиховог рада. Тада смо сазнали да су помоћу интерног модела предузећа Anthropic решили Ојлеров проблем са спољашњом силом. Током тих разговора понудили смо им увид у све упите које смо користили, а касније и у сам доказ. Признајемо првенство њиховог рада на Ојлеровом проблему са спољашњом силом и честитамо им на изузетном математичком достигнућу.

Ни ми истраживачи ни агенти нисмо ни на који начин видели њихов рад пре него што су га јавно објавили – конкретно, ради решавања овог проблема нису коришћени никакви посебни кориснички подаци.

Истрагом смо потврдили да Бакмастерови упити у услузи Codex током два месеца пре овог саопштења и рада од 8. септембра 2026. нису могли ни на који начин да утичу на систем, па ни кроз обуку. Интерни модел привредног друштва OpenAI коришћен за овај резултат развијен је подстицајним учењем великих размера над претходно унапред обученим моделом. И наши докази се знатно разликују. У случају Ојлерових једначина, Алпеге и Бакмастер доказали су резултат са спољашњом силом, док је систем привредног друштва OpenAI доказао резултат без спољашње силе.

Објављивањем овог резултата желимо да известимо о значајном напретку наших модела вештачке интелигенције. Не намеравамо да за овај резултат затражимо Миленијумску награду.

Ова прекретница је плод значајног рада математичара и истраживача вештачке интелигенције. Ипак, ово није врхунац, већ само снимак напретка у развоју вештачке интелигенције у једном тренутку.

Верујемо да смо сада ушли у наредно раздобље напретка вештачке интелигенције⁠, а данашњи резултати то додатно потврђују. Усредсређени смо на разумевање овог модела и коришћење стечених сазнања како бисмо усмеравали и одређивали темпо даљег унапређивања способности. Један од наших кључних циљева⁠ јесте изградња система вештачке интелигенције који се могу усмеравати, који су одговорни и повезани с људима. То може захтевати промишљеније одлуке о темпу напретка док настављамо своју мисију да обезбедимо да AGI користи целом човечанству.