Desať pokrokov v matematike a teoretickej informatike

Chceme vedcom a matematikom poskytnúť nástroje, ktoré urýchlia objavovanie. Preto sme nedávno predstavili iniciatívu ChatGPT pre akademických výskumníkov⁠, ktorá 100 000 vedcom a matematikom poskytuje bezplatný prístup k našim najlepším modelom ChatGPT. Naše modely počas vývoja naďalej hodnotíme aj na otvorených výskumných problémoch.

V máji sme zverejnili dôkaz vytvorený umelou inteligenciou, ktorý vyvracia⁠ Erdősovu domnienku o jednotkových vzdialenostiach. Objavili sme ho pri hodnotení zatiaľ nevydaného modelu. Táto práca už podnietila ďalší vývoj v matematike a teoretickej informatike¹. Dnes predstavujeme desať vybraných výsledkov, z ktorých každý rieši dlhodobo otvorený problém alebo pri jeho riešení prináša výrazný pokrok. Tieto problémy zahŕňajú geometriu vysokých dimenzií, teóriu kódovania, zložitosť aritmetických obvodov, teóriu grúp, algebry operátorov, kvantovú zložitosť, mriežkovú kryptografiu a extremálnu kombinatoriku. Všetky tieto problémy sú veľmi dôležité pre príslušné matematické komunity a viaceré majú veľký význam aj pre matematiku ako celok.

Prinášame nové výsledky týkajúce sa nasledujúcich problémov. Výsledky dosiahla interná verzia Astry, nášho ďalšieho významného modelu. Celkový počet tokenov potrebných na nájdenie riešení týchto problémov by pri sadzbách rozhrania Sol API stál približne 2 000 USD. Ľudia potom s pomocou toho istého modelu spracovali tieto argumenty do podoby rukopisov. Model následne každý argument formalizoval ako certifikát v systéme Lean⁠(otvorí sa v novom okne). Ku každému riešeniu zverejňujeme aj opis procesu uvažovania modelu.

1. Usporiadanie gúľ vo vysokorozmernom priestore. Nové horné hranice hustoty usporiadania gúľ až po Cohnovu–Elkiesovu hranicu.
2. Binárne a sférické kódy: Exponenciálne lepšie hranice maximálnej veľkosti binárnych kódov pri ľubovoľnej predpísanej minimálnej vzdialenosti a obdobné výsledky pre sférické kódy vo vysokých dimenziách.
3. Nesofické grupy. Konštrukcia dokazujúca existenciu nesofických grúp, ktorá rieši jednu z ústredných otvorených otázok teórie grúp.
4. Connesova domnienka o rigidite. Vyvrátenie dlhoročnej domnienky, podľa ktorej sú určité grupy jednoznačne určené svojimi von Neumannovými algebrami.
5. Zložitosť aritmetických obvodov. Nové dolné hranice výpočtu permanentu pomocou aritmetických obvodov a formúl vrátane dolnej hranice rádu n⁴/log n pre aritmetické formuly.
6. Kvantové paralelné opakovanie. Veta o exponenciálnom paralelnom opakovaní pre všeobecné kvantové hry dvoch hráčov, ktorá rozširuje základný princíp klasickej teórie zložitosti.
7. Problém najbližšieho vektora. Obtiažnosť aproximácie problému najbližšieho vektora s polynomiálnym faktorom, čo je základná otázka teórie mriežok súvisiaca s postkvantovou kryptografiou.
8. Ehrhartova domnienka o objeme. Určenie maximálneho možného objemu konvexného telesa v každej dimenzii, ak je jeho ťažisko jediným vnútorným bodom mriežky.
9. Viacfarebné Ramseyho čísla. Superexponenciálna dolná hranica viacfarebných trojuholníkových Ramseyho čísel, ktorá rieši Erdősov problém č. 183.
10. Domnienky o extremálnych číslach. Výsledky týkajúce sa domnienok o kompaktnosti a degenerovanosti v extremálnej teórii grafov, ktoré riešia Erdősove problémy č. 146 a 180.

Vznik systémov schopných prispievať k matematickému výskumu prináša otázky, na ktoré samotná technologická spoločnosť nedokáže odpovedať. Na úlohu umelej inteligencie v matematike existuje mnoho názorov. Hlboko si vážime a chápeme tých, ktorí majú obavy z jej vplyvu, vrátane signatárov Leidenskej deklarácie o umelej inteligencii a matematike⁠(otvorí sa v novom okne). Sme presvedčení, že uvedenie autorstva by malo pravdivo odrážať spôsob vzniku výsledku: pripísať človeku autorstvo dôkazu, ktorý celý vytvoril systém umelej inteligencie, by skresľovalo prínos systému aj povahu skutočnej ľudskej intelektuálnej práce. Pomohli sme pripraviť rukopisy a formalizovať dôkazy v systéme Lean a preberáme zodpovednosť za ich správnosť, samotné matematické argumenty však vytvoril náš systém. Dúfame, že matematická komunita sa bude týmito výsledkami dôkladne zaoberať, zasadí ich do kontextu a prostredníctvom nového výskumu a objavov rozvinie myšlienky, na ktorých sú založené.

Keďže sa systémy umelej inteligencie vyvíjajú na čoraz vyspelejších partnerov vo výskume, zabezpečenie širokého prístupu je nevyhnutné na podporu vedcov a matematikov pri formovaní budúcnosti ich odborov v tejto transformačnej ére.